중학 수학 5문제 풀이 — 방정식, 그래프, 규칙, 넓이

사진 속 5문제를 한 글로 정리합니다. 단순히 답만 맞히는 방식이 아니라, 왜 그런 식을 세우는지, 그래프에서는 무엇을 보는지, 틀리기 쉬운 부분이 어디인지까지 같이 보겠습니다.

다룰 문제는 다음 다섯 가지입니다.

1. 세 식이 모두 같은 방정식에서 $k$ 구하기
2. 두 직선과 정사각형에서 $a+b$ 구하기
3. 나선형으로 찍히는 점의 규칙 찾기
4. 운동 시간과 열량을 연립방정식으로 구하기
5. 세 직선이 둘러싼 사각형의 넓이 구하기

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1. 세 식이 모두 같은 방정식

문제의 핵심 식은 다음과 같습니다.

$$\frac{3x-2y-3}{4} = -\frac{x+2y+4}{3} = \frac{3(x-y)}{2}+3$$

이 방정식의 해가

$$2x-y+k=0$$

을 만족할 때 $k$를 구하는 문제입니다.

핵심 개념

등호가 두 개 있다는 것은 세 덩어리가 모두 같은 값이라는 뜻입니다. 그래서 세 식을 한꺼번에 처리하려고 하지 말고, 두 쌍씩 나누면 됩니다.

첫 번째 식과 두 번째 식을 같게 둡니다.

$$\frac{3x-2y-3}{4} = -\frac{x+2y+4}{3}$$

양변에 12를 곱하면

$$3(3x-2y-3)=-4(x+2y+4)$$

정리해서

$$13x+2y+7=0$$

을 얻습니다.

이번에는 첫 번째 식과 세 번째 식을 같게 둡니다.

$$\frac{3x-2y-3}{4} = \frac{3(x-y)}{2}+3$$

양변에 4를 곱하면

$$3x-2y-3=6(x-y)+12$$

정리해서

$$3x-4y+15=0$$

을 얻습니다.

따라서 다음 연립방정식을 풀면 됩니다.

$$13x+2y+7=0$$ $$3x-4y+15=0$$

첫 번째 식에 2를 곱합니다.

$$26x+4y+14=0$$

두 번째 식과 더하면 $y$가 사라집니다.

$$(26x+4y+14)+(3x-4y+15)=0$$ $$29x+29=0$$ $$x=-1$$

$x=-1$을 $13x+2y+7=0$에 넣습니다.

$$13(-1)+2y+7=0$$ $$2y=6$$ $$y=3$$

이제 $2x-y+k=0$에 대입합니다.

$$2(-1)-3+k=0$$ $$-5+k=0$$ $$k=5$$

그래프로 보면 두 직선

$$13x+2y+7=0$$ $$3x-4y+15=0$$

의 교점이 $(-1,3)$입니다. 연립방정식의 해는 두 직선을 동시에 만족하는 점이므로, 그래프에서도 같은 답이 나옵니다.

따라서 정답은 ③ 5입니다.

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2. 두 직선과 정사각형 문제

두 점 $A$, $D$가 각각

$$y=x+4$$ $$y=-2x+7$$

위에 있습니다. $A$, $D$에서 $x$축에 내린 수선의 발을 각각 $B$, $C$라고 할 때, $ABCD$가 정사각형입니다. $A=(a,b)$일 때 $a+b$를 구합니다.

핵심 개념

$A=(a,b)$이고 $A$가 $y=x+4$ 위에 있으므로

$$b=a+4$$

입니다.

또 $A$에서 $x$축까지의 높이는 $b$입니다. 정사각형이므로 세로 길이 $AB$와 가로 길이 $AD$가 같습니다. 따라서 $AD$의 길이도 $b$입니다.

$A$의 $x$좌표가 $a$이고 오른쪽으로 $b$만큼 가면 $D$의 $x$좌표는 $a+b$가 됩니다. $D$의 $y$좌표는 여전히 $b$입니다.

즉

$$D=(a+b,b)$$

입니다.

$D$는 $y=-2x+7$ 위에 있으므로

$$b=-2(a+b)+7$$

입니다.

이제 $b=a+4$를 이용해 풉니다. $b=a+4$이므로 $a=b-4$입니다.

$$b=-2((b-4)+b)+7$$ $$b=-2(2b-4)+7$$ $$b=-4b+8+7$$ $$5b=15$$ $$b=3$$

따라서

$$a=b-4=-1$$

입니다.

그러므로

$$a+b=-1+3=2$$

정답은 ④ 2입니다.

사진의 손글씨처럼 $b=4$라고 두면 정사각형의 가로 길이 조건이 깨집니다. 이 문제에서는 $b$가 그냥 높이일 뿐 아니라, 정사각형의 한 변의 길이이기도 하다는 점이 중요합니다.

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3. 나선형으로 찍히는 점의 규칙

점 $(0,0)$을 첫 번째 점으로 하고, 그림과 같은 규칙으로 점들이 나선형으로 찍힙니다. 25번째 점과 50번째 점을 잇는 직선을

$$y=ax+b$$

라고 할 때, $2a+b$를 구하는 문제입니다.

핵심 개념

이런 문제는 점을 하나하나 50개까지 세려고 하면 실수하기 쉽습니다. 대신 나선이 한 바퀴씩 커지는 구조를 봐야 합니다.

첫 번째 점은

$$(0,0)$$

입니다.

그다음 한 바퀴를 돌면 $3\times3$ 정사각형의 오른쪽 위 끝에 도착합니다. 이때 9번째 점은

$$(1,1)$$

입니다.

다음 한 바퀴를 돌면 $5\times5$ 정사각형의 오른쪽 위 끝에 도착합니다. 이때 25번째 점은

$$(2,2)$$

입니다.

왜냐하면

$$5^2=25$$

이기 때문입니다.

다음 바깥 바퀴는 $7\times7$ 정사각형입니다. 그 끝점인 $(3,3)$은

$$7^2=49$$

이므로 49번째 점입니다.

따라서 50번째 점은 그다음 한 칸으로 이동한 점입니다.

$$(4,3)$$

입니다.

이제 25번째 점과 50번째 점을 잇는 직선을 구합니다.

두 점은

$$(2,2),\quad (4,3)$$

입니다.

기울기는

$$a=\frac{3-2}{4-2}=\frac12$$

입니다.

$y=ax+b$에 $(2,2)$를 넣습니다.

$$2=\frac12\cdot2+b$$ $$2=1+b$$ $$b=1$$

따라서 직선의 식은

$$y=\frac12x+1$$

입니다.

문제에서 구하는 값은 $2a+b$입니다.

$$2a+b=2\cdot\frac12+1$$ $$2a+b=2$$

정답은 ⑤ 2입니다.

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4. 운동 열량 연립방정식

체중이 50kg인 학생이 일주일 동안 조깅과 줄넘기를 합하여 6시간 했습니다. 이때 2600kcal를 소비하려면 조깅과 줄넘기를 각각 몇 시간 해야 하는지 구하는 문제입니다.

표에서 1kg이 1시간 운동할 때 소비하는 열량은 다음과 같습니다.

운동	1kg당 1시간 열량
조깅	9.2kcal
줄넘기	8.4kcal
자전거 타기	5.9kcal
수영	7.7kcal

핵심 개념

표의 값은 1kg당 1시간 기준입니다. 학생의 체중이 50kg이므로 먼저 50을 곱해야 합니다.

조깅 1시간의 소비 열량은

$$9.2\times50=460$$

입니다.

줄넘기 1시간의 소비 열량은

$$8.4\times50=420$$

입니다.

조깅 시간을 $x$, 줄넘기 시간을 $y$라고 하겠습니다.

두 운동을 합하여 6시간 했으므로

$$x+y=6$$

입니다.

전체 소비 열량이 2600kcal이므로

$$460x+420y=2600$$

입니다.

연립방정식은

$$x+y=6$$ $$460x+420y=2600$$

입니다.

첫 번째 식에서

$$y=6-x$$

입니다.

이를 두 번째 식에 넣습니다.

$$460x+420(6-x)=2600$$ $$460x+2520-420x=2600$$ $$40x=80$$ $$x=2$$

따라서

$$y=6-2=4$$

입니다.

조깅은 2시간, 줄넘기는 4시간 하면 됩니다.

검산하면

$$460\times2+420\times4=920+1680=2600$$

으로 조건에 맞습니다.

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5. 세 직선이 둘러싼 사각형의 넓이

세 직선

$$3x+2y+14=0$$ $$x=-2$$ $$x-2y+10=0$$

의 그래프로 둘러싸인 사각형 $ABCD$의 넓이를 구하는 문제입니다.

핵심 개념

넓이를 바로 구하려 하지 말고, 먼저 꼭짓점 좌표를 구합니다.

점 $A$는 두 직선

$$3x+2y+14=0$$ $$x-2y+10=0$$

의 교점입니다.

두 번째 식에서

$$x-2y+10=0$$ $$2y=x+10$$ $$y=\frac{x}{2}+5$$

입니다.

이를 첫 번째 식에 넣습니다.

$$3x+2\left(\frac{x}{2}+5\right)+14=0$$ $$3x+x+10+14=0$$ $$4x+24=0$$ $$x=-6$$

따라서

$$y=\frac{-6}{2}+5=2$$

이므로

$$A=(-6,2)$$

입니다.

점 $B$는 $3x+2y+14=0$과 $x$축의 교점입니다. $x$축 위에서는 $y=0$입니다.

$$3x+14=0$$ $$x=-\frac{14}{3}$$

따라서

$$B=\left(-\frac{14}{3},0\right)$$

입니다.

점 $C$는 $x=-2$와 $x$축의 교점이므로

$$C=(-2,0)$$

입니다.

점 $D$는 $x=-2$와 $x-2y+10=0$의 교점입니다.

$$-2-2y+10=0$$ $$8-2y=0$$ $$y=4$$

따라서

$$D=(-2,4)$$

입니다.

이제 꼭짓점을 순서대로 놓습니다.

$$A(-6,2),\quad B\left(-\frac{14}{3},0\right),\quad C(-2,0),\quad D(-2,4)$$

기울어진 사각형이라 밑변과 높이를 바로 잡기보다, 신발끈 공식으로 계산하면 안전합니다.

먼저 한 방향으로 곱해 더합니다.

$$(-6)\cdot0+\left(-\frac{14}{3}\right)\cdot0+(-2)\cdot4+(-2)\cdot2$$ $$=0+0-8-4=-12$$

반대 방향으로 곱해 더합니다.

$$2\cdot\left(-\frac{14}{3}\right)+0\cdot(-2)+0\cdot(-2)+4\cdot(-6)$$ $$=-\frac{28}{3}+0+0-24$$ $$=-\frac{100}{3}$$

넓이는 두 값의 차의 절댓값을 2로 나눈 것입니다.

$$\frac12\left|-12-\left(-\frac{100}{3}\right)\right|$$ $$=\frac12\left|-\frac{36}{3}+\frac{100}{3}\right|$$ $$=\frac12\cdot\frac{64}{3}$$ $$=\frac{32}{3}$$

따라서 사각형 $ABCD$의 넓이는

$$\boxed{\frac{32}{3}}$$

입니다.

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답만 모아보기

문제	답
1. 세 식이 같은 방정식	③ 5
2. 정사각형과 두 직선	④ 2
3. 나선형 점 규칙	⑤ 2
4. 운동 열량 연립방정식	조깅 2시간, 줄넘기 4시간
5. 세 직선의 사각형 넓이	$\frac{32}{3}$

다섯 문제 모두 겉모양은 다르지만, 공통점은 같습니다. 조건을 식으로 정확히 바꾼 뒤, 그래프나 좌표가 무엇을 뜻하는지 확인하는 것입니다. 계산보다 먼저 구조를 잡으면 실수가 훨씬 줄어듭니다.