중학 일차방정식 ⑨ 활용 문제 총정리 — 유형별 완전 정복

①편부터 여기까지 그동안 수·가격·비율·농도·거리속력시간·도형까지 여러 종류의 활용 문제(문장제)를 하나씩 배웠죠. 이번 편은 그걸 한자리에 모아 유형별로 정리하는 종합 복습편이에요. 새로 외울 건 거의 없어요. 대신 “이 문제는 어느 유형이고, 식을 어떻게 세우는가”를 딱 보이게 정리할 거예요.

이 글의 약속

1. 문장제는 4단계(놓기 → 세우기 → 풀기 → 검산)로 똑같이 푼다.
2. 유형마다 ‘식 세우는 법’을 표로 먼저 정리하고, 예제를 한 줄도 빠짐없이 푼다.
3. 모든 문제는 검산까지 한다. (구한 답이 문제 상황과 맞는지 확인)

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1. 문장제 푸는 4단계 — 모든 유형의 공통 뼈대

유형이 달라도 푸는 순서는 똑같아요. 이 4단계가 문장제의 뼈대예요.

문장제 4단계 ① 놓기 — 구하려는 것(또는 기준이 되는 것)을 $x$로 놓는다. ② 세우기 — 문장의 조건을 $x$가 들어간 등식(방정식)으로 옮긴다. ③ 풀기 — 이항·등식의 성질로 $x = (수)$ 를 구한다. ④ 검산 — 구한 답을 문제 상황에 도로 넣어 조건이 맞는지 확인한다.

가장 중요한 건 ②번이에요. 문장제는 결국 “한국어를 수학어로 번역하는 일”이거든요. 번역만 잘 되면 ③번 풀기는 ①~⑧편에서 배운 그대로예요. 아래 번역 사전을 먼저 봐요.

한국어 표현	수학어(식)
~보다 5 큰 수	$x + 5$
~보다 3 작은 수	$x - 3$
~의 2배	$2x$
~의 절반, ~을 반으로	$x \div 2$ 또는 $\frac{x}{2}$
~의 3배보다 4 큰 수	$3x + 4$
두 수의 합이 20	(한 수)+(다른 수)=20
~와 같다 / ~이 된다	$=$

한 줄 정리 “무엇을 $x$로 둘까?”(①)와 “무엇과 무엇이 같을까?”(②)만 정하면 문장제는 거의 끝나요.

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2. 유형 1 — 수에 대한 문제

“어떤 수”, “연속하는 수”, “자릿수” 처럼 수 자체를 묻는 유형이에요. 식 세우는 틀이 정해져 있어요.

수 유형 식 세우는 법

상황	$x$로 놓는 법
어떤 한 수	그 수를 $x$
연속하는 세 자연수	$x$, $x+1$, $x+2$
연속하는 세 짝수(또는 홀수)	$x$, $x+2$, $x+4$
십의 자리 $a$, 일의 자리 $b$인 두 자리 수	$10a + b$

예제 1) 어떤 수

어떤 수의 3배보다 4 큰 수가 25입니다. 어떤 수는 얼마일까요?

① 놓기: 어떤 수를 $x$ 라 하자. ② 세우기: “3배보다 4 큰 수” $= 3x + 4$, 이것이 25이므로 $3x + 4 = 25$. ③ 풀기:

$$\begin{aligned} 3x + 4 &= 25 \\ 3x &= 25 - 4 \\ 3x &= 21 \\ x &= 21 \div 3 \\ x &= 7 \end{aligned}$$

둘째 줄에서 $+4$를 이항했어요. ④ 검산: 7의 3배는 21, 거기에 4를 더하면 25 → $25 = 25$.

어떤 수는 7이에요.

예제 2) 연속하는 세 자연수

연속하는 세 자연수의 합이 48입니다. 세 수를 구하세요.

연속하는 세 자연수는 1씩 커지죠. 가운데(또는 가장 작은)를 $x$로 놓으면 깔끔해요. 여기서는 가장 작은 수를 $x$로 놓을게요. 그러면 세 수는 $x$, $x+1$, $x+2$ 예요.

① 놓기: 가장 작은 수를 $x$ → 세 수는 $x$, $x+1$, $x+2$. ② 세우기: 세 수의 합이 48이므로 $x + (x+1) + (x+2) = 48$. ③ 풀기:

$$\begin{aligned} x + (x+1) + (x+2) &= 48 \\ x + x + 1 + x + 2 &= 48 \\ 3x + 3 &= 48 \\ 3x &= 48 - 3 \\ 3x &= 45 \\ x &= 45 \div 3 \\ x &= 15 \end{aligned}$$

$x$가 3개, 숫자 $1+2=3$이고, $+3$을 이항했어요. 따라서 세 수는 15, 16, 17. ④ 검산: $15 + 16 + 17 = 48$ → $48 = 48$.

세 수는 15, 16, 17이에요.

예제 3) 자릿수 바꾸기

십의 자리 숫자가 3인 두 자리 자연수가 있어요. 십의 자리와 일의 자리를 바꾼 수는 원래 수보다 9 큽니다. 원래 수를 구하세요.

두 자리 수는 (십의 자리)×10 + (일의 자리)로 나타내요. 예를 들어 34는 $3 \times 10 + 4$죠.

① 놓기: 일의 자리 숫자를 $x$ 라 하자. (십의 자리는 3) 원래 수 $= 10 \times 3 + x = 30 + x$, 바꾼 수 $= 10 \times x + 3 = 10x + 3$ (자리를 바꾸면 $x$가 십의 자리로). ② 세우기: 바꾼 수가 원래 수보다 9 크므로 $10x + 3 = (30 + x) + 9$. ③ 풀기:

$$\begin{aligned} 10x + 3 &= (30 + x) + 9 \\ 10x + 3 &= 39 + x \\ 10x - x &= 39 - 3 \\ 9x &= 36 \\ x &= 36 \div 9 \\ x &= 4 \end{aligned}$$

$30 + 9 = 39$이고, $x$는 왼쪽·숫자는 오른쪽으로 이항했어요. 따라서 원래 수 $= 30 + 4 = 34$. ④ 검산: 바꾼 수는 43, $43 - 34 = 9$ → 9 큼.

원래 수는 34예요.

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3. 유형 2 — 가격·이익·할인

장사 이야기예요. 원가·정가·이익·할인, 이 네 단어의 관계만 알면 돼요.

용어 정리

• 원가: 물건을 들여온 값 (가게가 산 값)
• 정가: 팔려고 붙인 값 (이익을 더해서 매긴 값)
• 할인: 정가에서 깎아주는 것
• 판매가(실제 판 값): 할인까지 한 뒤 실제로 받은 값

가격 유형 핵심 공식

구하는 것	공식
이익률 $r\%$로 정가 매기기	$\text{정가} = \text{원가} \times \left(1 + \frac{r}{100}\right)$
할인율 $r\%$로 판매가 구하기	$\text{판매가} = \text{정가} \times \left(1 - \frac{r}{100}\right)$
실제 이익	$\text{이익} = \text{판매가} - \text{원가}$

“몇 %“는 항상 ÷100해서 소수처럼 쓰면 편해요. (예: $20\% \to \frac{20}{100} = 0.2$)

예제 1) 정가 매기기

원가 8000원짜리 물건에 25%의 이익을 붙여 정가를 매겼어요. 정가는 얼마일까요?

① 놓기: 정가를 $x$ 라 하자. ② 세우기: $\text{정가} = \text{원가} \times (1 + 0.25)$ 이므로 $x = 8000 \times (1 + 0.25)$. ③ 풀기:

$$\begin{aligned} x &= 8000 \times 1.25 \\ x &= 10000 \end{aligned}$$

④ 검산: 8000의 25%는 $8000 \times 0.25 = 2000$, $8000 + 2000 = 10000$.

정가는 10000원이에요. (이 유형은 $x$를 안 써도 풀리지만, 식 형태에 익숙해지려고 $x$로 놓았어요.)

예제 2) 원가 거꾸로 구하기 (할인까지)

어떤 물건을 정가에서 10% 할인해서 5400원에 팔았어요. 정가는 얼마였을까요?

이번엔 모르는 것(정가)을 $x$로 놓는 게 핵심이에요.

① 놓기: 정가를 $x$ 라 하자. ② 세우기: $\text{판매가} = \text{정가} \times (1 - 0.10)$, 판매가가 5400이므로 $x \times (1 - 0.10) = 5400$. ③ 풀기:

$$\begin{aligned} x \times 0.9 &= 5400 \\ x &= 5400 \div 0.9 \\ x &= 6000 \end{aligned}$$

$1 - 0.10 = 0.9$예요. ④ 검산: 6000의 10% 할인 $= 6000 \times 0.9 = 5400$.

정가는 6000원이었어요.

예제 3) 이익이 나도록 정가 정하기

원가 12000원짜리 물건을, 정가의 20%를 할인해서 팔아도 원가보다 3000원의 이익이 남게 하려고 해요. 정가를 얼마로 매겨야 할까요?

① 놓기: 정가를 $x$ 라 하자. ② 세우기: $\text{판매가} = \text{정가} \times (1 - 0.20) = 0.8x$, "$\text{판매가} - \text{원가} = \text{이익}$"이므로 $0.8x - 12000 = 3000$. ③ 풀기:

$$\begin{aligned} 0.8x - 12000 &= 3000 \\ 0.8x &= 3000 + 12000 \\ 0.8x &= 15000 \\ x &= 15000 \div 0.8 \\ x &= 18750 \end{aligned}$$

$-12000$을 이항했어요. ④ 검산: 정가 18750의 20% 할인 $= 18750 \times 0.8 = 15000$(판매가), $15000 - 12000 = 3000$(이익).

정가를 18750원으로 매기면 돼요.

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4. 유형 3 — 비율·증감

작년보다 늘었다·줄었다, 또는 비례식으로 묻는 유형이에요.

비율·증감 핵심

상황	식
원래 양에서 $r\%$ 증가	$\text{원래 양} \times \left(1 + \frac{r}{100}\right)$
원래 양에서 $r\%$ 감소	$\text{원래 양} \times \left(1 - \frac{r}{100}\right)$
비례식 $a : b = c : d$	$ad = bc$ (안쪽끼리·바깥쪽끼리 곱이 같다)

비례식에서 $ad = bc$는 “바깥 두 수의 곱 = 안쪽 두 수의 곱”이에요. $a : b = c : d$에서 바깥은 $a$와 $d$, 안쪽은 $b$와 $c$거든요.

예제 1) 증가

어느 동아리의 작년 회원 수에서 올해 20%가 늘어 올해는 42명이 되었어요. 작년 회원 수는 몇 명일까요?

① 놓기: 작년 회원 수를 $x$ 명이라 하자. ② 세우기: 작년 $\times (1 + 0.20)$ = 올해이므로 $x \times (1 + 0.20) = 42$. ③ 풀기:

$$\begin{aligned} 1.2x &= 42 \\ x &= 42 \div 1.2 \\ x &= 35 \end{aligned}$$

$1 + 0.20 = 1.2$예요. ④ 검산: 35의 20% 증가 $= 35 \times 1.2 = 42$.

작년 회원은 35명이었어요.

예제 2) 감소

어떤 책의 가격을 15% 내렸더니 17000원이 되었어요. 원래 가격은 얼마였을까요?

① 놓기: 원래 가격을 $x$ 원이라 하자. ② 세우기: 원래 $\times (1 - 0.15)$ = 내린 가격이므로 $x \times (1 - 0.15) = 17000$. ③ 풀기:

$$\begin{aligned} 0.85x &= 17000 \\ x &= 17000 \div 0.85 \\ x &= 20000 \end{aligned}$$

$1 - 0.15 = 0.85$예요. ④ 검산: 20000의 15% 인하 $= 20000 \times 0.85 = 17000$.

원래 가격은 20000원이었어요.

예제 3) 비례식

톱니바퀴 두 개가 3 : 5로 맞물려 돌아요. 큰 바퀴가 45번 돌 때 작은 바퀴는 몇 번 돌까요? (작은 바퀴:큰 바퀴 = 5 : 3 비율로 돈다고 할 때, 큰 바퀴 45번에 맞는 작은 바퀴 횟수를 구해요.)

비율 작은 : 큰 = 5 : 3 이고, 큰 바퀴가 45번 돌 때 작은 바퀴를 $x$번이라 하면 $x : 45 = 5 : 3$ 이에요.

① 놓기: 작은 바퀴가 도는 횟수를 $x$ 라 하자. ② 세우기: $x : 45 = 5 : 3$, 바깥 곱 = 안쪽 곱 → $x \times 3 = 45 \times 5$. ③ 풀기:

$$\begin{aligned} 3x &= 225 \\ x &= 225 \div 3 \\ x &= 75 \end{aligned}$$

$45 \times 5 = 225$예요. ④ 검산: $75 : 45$ 를 간단히 하면 (둘 다 15로 나눔) $5 : 3$.

작은 바퀴는 75번 돌아요.

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5. 유형 4 — 농도(소금물) 문제

활용 문제 중 헷갈린다는 친구가 많은데, 딱 하나만 붙잡으면 돼요: 소금의 양!

농도 핵심 공식

• $\text{소금의 양} = \text{소금물의 양} \times \frac{\text{농도}}{100}$
• 거꾸로: $\text{농도}\,(\%) = \frac{\text{소금의 양}}{\text{소금물의 양}} \times 100$

농도 유형 황금 규칙

상황	변하지 않는 것
물만 더 붓거나 증발시킴	소금의 양은 그대로! (소금물·농도만 변함)
소금물 두 개를 섞음	(섞기 전 소금 합) = (섞은 뒤 소금) 보존

농도 문제는 거의 다 “소금의 양은 변하지 않는다” 또는 “소금의 양은 합쳐도 그대로”로 풀려요.

예제 1) 물을 더 붓기

농도 12%의 소금물 200g에 물을 더 부어 농도를 8%로 묽게 만들려고 해요. 물을 몇 g 부어야 할까요?

핵심: 물을 부어도 소금의 양은 그대로! 먼저 처음 소금의 양부터 구해요.

처음 소금의 양 $= 200 \times (12 \div 100) = 200 \times 0.12 = 24$ (g).

① 놓기: 더 붓는 물을 $x$ g 이라 하자. ② 세우기: 물을 부으면 소금물은 $(200 + x)$g, 소금은 그대로 24g, 농도는 8%. “새 소금물의 소금 = 24”이므로 $(200 + x) \times (8 \div 100) = 24$. ③ 풀기:

$$\begin{aligned} (200 + x) \times 0.08 &= 24 \\ 200 + x &= 24 \div 0.08 \\ 200 + x &= 300 \\ x &= 300 - 200 \\ x &= 100 \end{aligned}$$

양변을 0.08로 나누고, 200을 이항했어요. ④ 검산: 물 100g을 부으면 소금물 300g, 소금은 24g 그대로, 농도 $= 24 \div 300 \times 100 = 8\%$.

물을 100g 부으면 돼요.

예제 2) 두 소금물 섞기

농도 5%의 소금물 300g과 농도 10%의 소금물을 섞어 농도 8%의 소금물을 만들려고 해요. 10% 소금물을 몇 g 섞어야 할까요?

핵심: 섞기 전 두 소금 양의 합 = 섞은 뒤 소금 양.

5% 소금물 300g 속 소금 $= 300 \times 0.05 = 15$ (g).

① 놓기: 10% 소금물을 $x$ g 섞는다고 하자. 그 속 소금 $= x \times 0.10 = 0.1x$ (g), 섞은 뒤 소금물 $= (300 + x)$ g, 농도 8% → 소금 $= (300 + x) \times 0.08$. ② 세우기: (섞기 전 소금 합) = (섞은 뒤 소금)이므로 $15 + 0.1x = (300 + x) \times 0.08$. ③ 풀기:

$$\begin{aligned} 15 + 0.1x &= (300 + x) \times 0.08 \\ 15 + 0.1x &= 24 + 0.08x \\ 0.1x - 0.08x &= 24 - 15 \\ 0.02x &= 9 \\ x &= 9 \div 0.02 \\ x &= 450 \end{aligned}$$

$300 \times 0.08 = 24$이고, $x$항은 왼쪽·숫자는 오른쪽으로 이항했어요. ④ 검산: 10% 소금물 450g 속 소금 $= 450 \times 0.1 = 45$g, 소금 합 $= 15 + 45 = 60$g, 소금물 합 $= 300 + 450 = 750$g, 농도 $= 60 \div 750 \times 100 = 8\%$.

10% 소금물을 450g 섞으면 돼요.

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6. 유형 5 — 거리·속력·시간

여행·이동 문제예요. 공식 하나와 단위 통일만 신경 쓰면 돼요.

거속시 기본 공식

• $\text{거리} = \text{속력} \times \text{시간}$
• $\text{속력} = \frac{\text{거리}}{\text{시간}}$
• $\text{시간} = \frac{\text{거리}}{\text{속력}}$

세 글자를 ‘거속시’로 외우고, 손가락으로 가리는 방법도 있어요. 거리를 가리면 $\text{속력} \times \text{시간}$, 속력을 가리면 $\dfrac{\text{거리}}{\text{시간}}$, 시간을 가리면 $\dfrac{\text{거리}}{\text{속력}}$.

가장 중요한 주의: 단위 통일 속력이 시속(km/h)이면 시간은 시간, 거리는 km로 맞춰야 해요. 분(分)과 시간이 섞이면 한쪽으로 통일하세요. (예: 30분 = 0.5시간)

두 사람이 움직이는 문제

상황	식의 핵심
마주 보고 와서 만남	(한 사람 거리) + (다른 사람 거리) = 전체 거리
뒤에서 따라잡기	(빠른 쪽 거리) $-$ (느린 쪽 거리) = 처음 떨어진 거리
갔다가 되돌아옴(왕복)	갈 때 거리 = 올 때 거리

예제 1) 왕복 — 갈 때와 올 때

집에서 도서관까지 갈 때는 시속 4km로 걷고, 올 때는 같은 길을 시속 6km로 걸었어요. 왕복에 걸린 시간이 모두 50분이었어요. 집에서 도서관까지의 거리를 구하세요.

갈 때 길과 올 때 길은 같은 거리예요. 그 거리를 $x$km로 놓아요. 시간이 분으로 주어졌으니 시간 단위로 통일해요. 50분 $= \frac{50}{60}$ 시간이에요.

① 놓기: 집~도서관 거리를 $x$ km 라 하자. 갈 때 시간 $= \dfrac{\text{거리}}{\text{속력}} = x \div 4 = \frac{x}{4}$ (시간), 올 때 시간 $= x \div 6 = \frac{x}{6}$ (시간). ② 세우기: (갈 때 시간) + (올 때 시간) = 50분 $= \frac{50}{60}$ 시간이므로 $\frac{x}{4} + \frac{x}{6} = \frac{50}{60}$. ③ 풀기: 분수를 없애려고 양변에 12를 곱한다 (4, 6, 60의 공통배수로 12 사용).

$$\begin{aligned} \frac{x}{4} + \frac{x}{6} &= \frac{50}{60} \\ 12 \times \frac{x}{4} + 12 \times \frac{x}{6} &= 12 \times \frac{50}{60} \\ 3x + 2x &= 10 \\ 5x &= 10 \\ x &= 2 \end{aligned}$$

$12 \div 4 = 3$, $12 \div 6 = 2$, $12 \times 50 \div 60 = 10$이에요. ④ 검산: 갈 때 $2 \div 4 = 0.5$시간(=30분), 올 때 $2 \div 6 = \frac{1}{3}$시간(=20분), 합 = 30분 + 20분 = 50분.

집에서 도서관까지는 2km예요.

예제 2) 따라잡기

동생이 분속 50m로 먼저 집을 나섰어요. 10분 뒤에 형이 분속 70m로 같은 길을 따라나섰어요. 형이 출발한 지 몇 분 만에 동생을 따라잡을까요?

따라잡기는 “두 사람이 같은 지점에 도달 = 두 사람 거리가 같아짐”이에요. 형이 걷는 시간을 $x$분으로 놓을게요. 그동안 동생은 이미 10분 더 걸었으니 $(x+10)$분 걸어요.

① 놓기: 형이 걷는 시간을 $x$ 분이라 하자. (동생은 $x+10$ 분 걸음) 형의 거리 $= 70 \times x = 70x$ (m), 동생의 거리 $= 50 \times (x+10)$ (m). ② 세우기: 따라잡는 순간 두 사람의 거리가 같으므로 $70x = 50(x + 10)$. ③ 풀기:

$$\begin{aligned} 70x &= 50(x + 10) \\ 70x &= 50x + 500 \\ 70x - 50x &= 500 \\ 20x &= 500 \\ x &= 500 \div 20 \\ x &= 25 \end{aligned}$$

$50 \times x$, $50 \times 10 = 500$이고, $50x$를 이항했어요. ④ 검산: 형의 거리 $= 70 \times 25 = 1750$m, 동생의 거리 $= 50 \times (25+10) = 50 \times 35 = 1750$m → 같음.

형은 출발한 지 25분 만에 동생을 따라잡아요.

예제 3) 마주 보고 만남

둘레 길이 위 두 지점이 아니라, 일직선 거리 1200m 떨어진 두 집에서 두 친구가 동시에 마주 보고 걷기 시작했어요. 한 명은 분속 60m, 다른 한 명은 분속 40m예요. 몇 분 뒤에 만날까요?

마주 보고 오면 두 사람 거리의 합 = 처음 떨어진 거리예요.

① 놓기: 만날 때까지 걸린 시간을 $x$ 분이라 하자. 한 명 거리 $= 60x$, 다른 한 명 거리 $= 40x$. ② 세우기: 두 거리의 합 = 1200이므로 $60x + 40x = 1200$. ③ 풀기:

$$\begin{aligned} 60x + 40x &= 1200 \\ 100x &= 1200 \\ x &= 1200 \div 100 \\ x &= 12 \end{aligned}$$

$60x + 40x = 100x$예요. ④ 검산: $60 \times 12 = 720$m, $40 \times 12 = 480$m, $720 + 480 = 1200$m.

12분 뒤에 만나요.

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7. 유형 6 — 도형·과부족·일

마지막은 세 가지를 묶었어요. 셋 다 ‘같은 양을 두 가지로 표현해 = 로 잇는다’는 점이 닮았어요.

(1) 도형 문제

자주 쓰는 도형 공식

• 직사각형 $\text{둘레} = (\text{가로} + \text{세로}) \times 2$
• 직사각형 $\text{넓이} = \text{가로} \times \text{세로}$

가로가 세로보다 4cm 긴 직사각형이 있어요. 둘레가 36cm일 때, 가로와 세로를 구하세요.

① 놓기: 세로를 $x$ cm 라 하자. (가로는 세로보다 4 길므로 $x+4$) ② 세우기: $\text{둘레} = (\text{가로} + \text{세로}) \times 2 = 36$ 이므로 $\{ (x+4) + x \} \times 2 = 36$. ③ 풀기:

$$\begin{aligned} \{ (x+4) + x \} \times 2 &= 36 \\ (2x + 4) \times 2 &= 36 \\ 4x + 8 &= 36 \\ 4x &= 36 - 8 \\ 4x &= 28 \\ x &= 28 \div 4 \\ x &= 7 \end{aligned}$$

$(x+4)+x = 2x+4$, 괄호 풀기 $2 \times 2x = 4x$·$2 \times 4 = 8$, $+8$을 이항했어요. 따라서 세로 7cm, 가로 $7+4 = 11$cm. ④ 검산: 둘레 $= (11 + 7) \times 2 = 18 \times 2 = 36$cm.

세로 7cm, 가로 11cm예요.

(2) 과부족 문제

과부족 식 세우는 법 변하지 않는 ‘전체 양’을 두 가지 방법으로 표현해서 $=$로 잇는다. (예: 똑같은 학생 수를 나눠줄 사탕 개수로 두 번 표현 → 두 식이 같다.)

학생들에게 사탕을 나눠 주는데, 한 명에게 4개씩 주면 9개가 남고, 한 명에게 5개씩 주면 6개가 모자라요. 학생 수와 사탕 개수를 구하세요.

여기서 변하지 않는 건 ‘사탕 전체 개수’예요. 학생 수를 $x$로 놓고, 사탕 개수를 두 번 표현해요.

① 놓기: 학생 수를 $x$ 명이라 하자. ② 세우기: 사탕 전체 개수를 두 방법으로 표현 — 4개씩 주면 9개 남음 → 사탕 $= 4x + 9$, 5개씩 주면 6개 모자람 → 사탕 $= 5x - 6$ (모자라면 빼기!). 같은 사탕이므로 $4x + 9 = 5x - 6$. ③ 풀기:

$$\begin{aligned} 4x + 9 &= 5x - 6 \\ 9 + 6 &= 5x - 4x \\ 15 &= x \\ x &= 15 \end{aligned}$$

$x$는 오른쪽·숫자는 왼쪽으로 이항했어요. 따라서 사탕 $= 4 \times 15 + 9 = 60 + 9 = 69$ (개). ④ 검산: 5개씩 주면 $5 \times 15 = 75$개 필요, $69 - 75 = -6$ → 6개 모자람. (4개씩: $69 - 60 = 9$개 남음도 맞음)

학생 15명, 사탕 69개예요.

과부족 요령: 남으면 $+$, 모자라면 $-$. 두 표현을 등호로 이으면 끝.

(3) 일에 대한 문제

일 유형 핵심 전체 일의 양을 1로 본다. 그러면 하루(또는 1시간) 일률 $= 1 \div$ (혼자 걸리는 날수). 예: 혼자 하면 6일 걸리는 사람의 하루 일률 $= \frac{1}{6}$.

어떤 일을 A 혼자 하면 6일, B 혼자 하면 12일 걸려요. 두 사람이 함께 하면 며칠 만에 끝낼까요?

전체 일 $= 1$ 로 본다. A의 하루 일률 $= \frac{1}{6}$, B의 하루 일률 $= \frac{1}{12}$.

① 놓기: 함께 하면 걸리는 날수를 $x$ 일이라 하자. ② 세우기: (둘이 하루에 하는 양) $\times$ (날수) = 전체 일 1이므로 $\left(\frac{1}{6} + \frac{1}{12}\right) \times x = 1$. ③ 풀기: 먼저 $\frac{1}{6} + \frac{1}{12}$ 을 계산 (분모를 12로 통일). $\frac{1}{6} = \frac{2}{12}$ 이므로 $\frac{2}{12} + \frac{1}{12} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$.

$$\begin{aligned} \frac{1}{4} \times x &= 1 \\ x &= 1 \div \frac{1}{4} \\ x &= 4 \end{aligned}$$

④ 검산: 4일 동안 A는 $4 \times \frac{1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$, B는 $4 \times \frac{1}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$, 합 $= \frac{2}{3} + \frac{1}{3} = 1$ (전체 완성).

함께 하면 4일 만에 끝나요.

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단원 마무리

유형별 ‘식 세우는 법’을 한 표로 모았어요. 시험 직전에 이 표만 봐도 돼요.

유형	$x$로 놓는 것	식의 핵심
수	어떤 수 / 가장 작은 수	연속수 $x$·$x+1$·$x+2$, 짝수 $x$·$x+2$·$x+4$, 두 자리 수 $10a+b$
가격	정가 또는 원가	$\text{정가}=\text{원가}\times(1+\text{이익률})$, $\text{판매가}=\text{정가}\times(1-\text{할인율})$
비율·증감	원래 양	증가 $\times(1+r)$, 감소 $\times(1-r)$, 비례식 $ad=bc$
농도	더할 물·섞을 소금물	$\text{소금}=\text{소금물}\times\dfrac{\text{농도}}{100}$, 소금은 보존
거속시	거리 또는 시간	$\text{거리}=\text{속력}\times\text{시간}$, 단위통일, 만남=합·따라잡기=차
도형·과부족·일	세로 / 학생 수 / 날수	같은 양 두 식으로 $=$, 일은 전체 1·일률 $1/$날수

스스로 풀어보기 (정답·풀이 모두 있음)

연필 들고 먼저 스스로 풀어본 뒤 풀이와 맞춰보세요. 쉬운 것부터 점점 어려워져요.

문제 1. 어떤 수의 4배에서 7을 빼면 25입니다. 어떤 수는? 문제 2. 연속하는 세 짝수의 합이 54입니다. 세 수는? 문제 3. 원가 5000원짜리 물건에 30% 이익을 붙인 정가는? 문제 4. 어떤 수를 25% 늘렸더니 60이 되었습니다. 어떤 수는? 문제 5. 농도 6%의 소금물 250g에 물 몇 g을 부으면 농도 5%가 될까요? 문제 6. 가로가 세로의 2배인 직사각형의 둘레가 48cm입니다. 가로와 세로는? 문제 7. 시속 80km로 가면 시속 60km로 갈 때보다 1시간 빨리 도착합니다. 두 지점 사이 거리는? (도전!) 문제 8. 연필을 학생들에게 3자루씩 주면 5자루 남고, 4자루씩 주면 7자루 모자랍니다. 학생 수와 연필 수는? (도전!)

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풀이 1) 어떤 수의 4배에서 7을 빼면 25

① 놓기: 어떤 수를 $x$. ② 세우기: $4x - 7 = 25$. ③ 풀기:

$$\begin{aligned} 4x - 7 &= 25 \\ 4x &= 25 + 7 \\ 4x &= 32 \\ x &= 32 \div 4 \\ x &= 8 \end{aligned}$$

$-7$을 이항했어요. ④ 검산: $4 \times 8 - 7 = 32 - 7 = 25$.

어떤 수는 8.

풀이 2) 연속하는 세 짝수의 합이 54

① 놓기: 가장 작은 짝수를 $x$ → 세 짝수는 $x$, $x+2$, $x+4$. ② 세우기: $x + (x+2) + (x+4) = 54$. ③ 풀기:

$$\begin{aligned} x + (x+2) + (x+4) &= 54 \\ 3x + 6 &= 54 \\ 3x &= 54 - 6 \\ 3x &= 48 \\ x &= 48 \div 3 \\ x &= 16 \end{aligned}$$

$x$ 3개, $2+4=6$이고 $+6$을 이항했어요. 따라서 세 짝수: 16, 18, 20. ④ 검산: $16 + 18 + 20 = 54$.

세 수는 16, 18, 20.

풀이 3) 원가 5000원 + 30% 이익

① 놓기: 정가를 $x$. ② 세우기: $x = 5000 \times (1 + 0.30)$. ③ 풀기:

$$\begin{aligned} x &= 5000 \times 1.3 \\ x &= 6500 \end{aligned}$$

④ 검산: 5000의 30% = 1500, $5000 + 1500 = 6500$.

정가는 6500원.

풀이 4) 25% 늘렸더니 60

① 놓기: 어떤 수를 $x$. ② 세우기: $x \times (1 + 0.25) = 60$. ③ 풀기:

$$\begin{aligned} 1.25x &= 60 \\ x &= 60 \div 1.25 \\ x &= 48 \end{aligned}$$

④ 검산: 48의 25% 증가 $= 48 \times 1.25 = 60$.

어떤 수는 48.

풀이 5) 6% 소금물 250g + 물 → 5%

처음 소금 $= 250 \times 0.06 = 15$ (g) ← 물 부어도 소금 그대로. ① 놓기: 더 붓는 물을 $x$ g. ② 세우기: $(250 + x) \times 0.05 = 15$. ③ 풀기:

$$\begin{aligned} (250 + x) \times 0.05 &= 15 \\ 250 + x &= 15 \div 0.05 \\ 250 + x &= 300 \\ x &= 300 - 250 \\ x &= 50 \end{aligned}$$

250을 이항했어요. ④ 검산: 소금물 300g, 소금 15g, 농도 $= 15 \div 300 \times 100 = 5\%$.

물 50g을 부으면 돼요.

풀이 6) 가로가 세로의 2배, 둘레 48cm

① 놓기: 세로를 $x$ cm (가로는 $2x$). ② 세우기: $(\text{가로} + \text{세로}) \times 2 = 48$ → $(2x + x) \times 2 = 48$. ③ 풀기:

$$\begin{aligned} (2x + x) \times 2 &= 48 \\ 3x \times 2 &= 48 \\ 6x &= 48 \\ x &= 48 \div 6 \\ x &= 8 \end{aligned}$$

$2x + x = 3x$예요. 따라서 세로 8cm, 가로 $2 \times 8 = 16$cm. ④ 검산: 둘레 $= (16 + 8) \times 2 = 24 \times 2 = 48$cm.

세로 8cm, 가로 16cm.

풀이 7) (도전) 80km/h가 60km/h보다 1시간 빠름

같은 거리를 두 속력으로 가요. 거리를 $x$ km 로 놓으면 80으로 갈 때 시간 $= \frac{x}{80}$, 60으로 갈 때 시간 $= \frac{x}{60}$. “빠른 쪽이 1시간 적게 걸린다” → (느린 시간) $-$ (빠른 시간) = 1. ① 놓기: 거리를 $x$ km. ② 세우기: $\frac{x}{60} - \frac{x}{80} = 1$. ③ 풀기: 분수 없애려고 양변에 240을 곱함 (60, 80의 공배수).

$$\begin{aligned} \frac{x}{60} - \frac{x}{80} &= 1 \\ 240 \times \frac{x}{60} - 240 \times \frac{x}{80} &= 240 \times 1 \\ 4x - 3x &= 240 \\ x &= 240 \end{aligned}$$

$240 \div 60 = 4$, $240 \div 80 = 3$이에요. ④ 검산: 80으로 가면 $240 \div 80 = 3$시간, 60으로 가면 $240 \div 60 = 4$시간, $4 - 3 = 1$시간 차이.

두 지점 사이 거리는 240km.

풀이 8) (도전) 3자루씩 5 남음, 4자루씩 7 모자람

변하지 않는 건 ‘연필 전체 수’. 학생 수를 $x$ 로 놓고 두 번 표현해요. ① 놓기: 학생 수를 $x$ 명. ② 세우기: 3자루씩 주면 5 남음 → 연필 $= 3x + 5$, 4자루씩 주면 7 모자람 → 연필 $= 4x - 7$. 같은 연필 수: $3x + 5 = 4x - 7$. ③ 풀기:

$$\begin{aligned} 3x + 5 &= 4x - 7 \\ 5 + 7 &= 4x - 3x \\ 12 &= x \\ x &= 12 \end{aligned}$$

$x$는 오른쪽·숫자는 왼쪽으로 이항했어요. 따라서 연필 $= 3 \times 12 + 5 = 36 + 5 = 41$ (자루). ④ 검산: 4자루씩이면 $4 \times 12 = 48$자루 필요, $41 - 48 = -7$ → 7자루 모자람. (3자루씩: $41 - 36 = 5$자루 남음도 맞음)

학생 12명, 연필 41자루.

8문제 다 풀었다면 일차방정식 활용은 거의 마스터한 거예요. 몇 개 막혔어도 괜찮아요. “어느 유형인지 → 무엇을 $x$로 → 무엇과 무엇이 같은지” 이 순서로 다시 보면 길이 보여요.

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쉬어가기

문장제는 ‘번역’이다 — 시험장에서 쓰는 진짜 전략

문장제를 어려워하는 친구들 대부분은 계산을 못해서가 아니에요. ②번 ‘식 세우기’, 즉 한국어를 수학어로 번역하는 단계에서 막히는 거예요. 그래서 시험장에서 통하는 진짜 전략은 이거예요.

1. 구하라는 것에 동그라미. “거리를 구하시오” → 그걸 $x$로 두면 절반은 끝나요.
2. “~과 같다 / ~이 된다”를 찾아 $=$로. 문장 안에 숨은 등호를 찾는 게 식 세우기예요.
3. 단위와 조건을 옆에 메모. (분↔시간, %는 ÷100, “남으면 +·모자라면 −”)
4. 답이 나오면 반드시 문제 상황에 도로 넣어 본다. 이게 검산이고, 실수를 잡아줘요.

수학자들이 어려운 문제를 풀 때도 똑같이 해요. 복잡한 말을 간단한 식으로 바꾸는 것 — 이게 수학의 가장 큰 힘이거든요. 이 연재에서 한 일이 바로 그거예요. 복잡한 한국어 문장을, 단정한 $x$의 식으로 번역하기.

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①편부터 ⑨편까지, 모르는 수 하나에서 시작해 농도·거리·도형 문제까지 멀리 왔어요. 여기까지 왔다면 이제 “모르는 걸 $x$로 두고, 조건을 식으로 옮겨, 답을 찾는” 사고법을 가진 거예요. 이건 중학교를 넘어 고등학교 수학, 더 나아가 세상의 수많은 문제를 푸는 데 쓰이는 평생 도구랍니다.