중학 함수 ④ 일차함수의 활용 — 평행한 그래프·교점·최대최소

지난 글들에서 우리는 정비례와 기울기, 그리고 일차함수 $y = ax + b$의 그래프가 어떻게 생겼는지 배웠어요. 그래프가 곧은 직선이라는 것도 알게 됐죠. 이번 글에서는 그 직선들을 가지고 실전에서 써먹는 법을 배웁니다.

직선을 가지고 할 수 있는 일이 많거든요. 두 직선이 만나는 곳은 어디인지, x를 어떤 범위로만 정해두면 그래프는 어떻게 되는지, 그리고 그 안에서 가장 큰 값과 가장 작은 값은 무엇인지까지요. 천천히 따라오세요.

이 글의 약속

1. 새로운 말이 나오면 무슨 뜻인지 먼저 설명해요.
2. 계산은 한 단계씩 보여줘요. (암산으로 건너뛰지 않아요)
3. 답을 구하면 검산(맞는지 확인)까지 해요.

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1. 좌표축과 평행한 그래프 — 가로로 쭉, 세로로 쭉

먼저 아주 특별한 직선 두 가지를 만나볼게요. 좌표축에 나란한(평행한) 직선이에요.

평행하다: 두 직선이 아무리 늘려도 만나지 않고 같은 방향으로 나란히 가는 것. 기차 레일 두 줄을 떠올리면 돼요.

좌표평면에는 두 개의 축이 있죠. 가로로 누운 x축과 세로로 선 y축이에요. 이 두 축에 나란한 직선을 살펴볼 거예요.

y = (상수) — x축에 평행한 가로 직선

$y = 2$ 라는 식을 생각해 볼게요. 이건 “x가 무엇이든, y는 항상 2”라는 뜻이에요.

• x가 $-3$이어도 $y = 2$
• x가 $0$이어도 $y = 2$
• x가 $5$여도 $y = 2$

x가 아무리 바뀌어도 y는 꿈쩍 않고 2에 머물러 있죠? 그래서 점들을 찍어 보면 모두 높이 2에 나란히 있어요. 이 점들을 이으면 x축에 평행한 가로 직선이 돼요.

사실 $y = 2$는 일차함수 $y = ax + b$에서 기울기 $a = 0$, y절편 $b = 2$인 경우예요. 즉 $y = 0 \times x + 2 = 2$ 인 거죠. 기울기가 0이라서 오르락내리락 없이 평평한 직선이에요.

x = (상수) — y축에 평행한 세로 직선

이번엔 $x = 3$ 이에요. 이건 “y가 무엇이든, x는 항상 3”이라는 뜻이에요.

• y가 $-1$이어도 $x = 3$
• y가 $0$이어도 $x = 3$
• y가 $4$여도 $x = 3$

이번엔 반대로 y가 아무리 바뀌어도 x는 항상 3이죠? 그래서 점들을 찍으면 모두 가로 위치 3에 세로로 줄지어 있어요. 이으면 y축에 평행한 세로 직선이 돼요.

그림을 보세요. 세로로 선 직선이 $x = 3$, 가로로 누운 직선이 $y = 2$예요. 두 직선은 점 $(3,\ 2)$에서 딱 만나요. (x도 3이고 y도 2인 점이니까요.)

헷갈리지 않기 — 글자랑 방향이 반대처럼 느껴져요.

• $x = 3$ 은 세로 직선 (y축에 평행)
• $y = 2$ 는 가로 직선 (x축에 평행)

“x = 상수니까 가로겠지” 하고 착각하기 쉬운데 정반대예요. 외우는 법: $x = 3$은 x가 3에 고정되니까 가로 위치가 3에 못 박힌 세로줄, $y = 2$는 y가 2에 고정되니까 높이가 2에 못 박힌 가로줄이에요.

x = (상수)는 함수가 아니에요!

여기서 아주 중요한 이야기 하나. 지난 글에서 함수가 뭐였는지 기억나나요?

함수: x 하나를 정하면 그에 따라 y가 딱 하나로 정해지는 관계.

이 기준으로 두 직선을 따져 볼게요.

• $y = 2$ (가로 직선): x = 1을 정하면 y는 2 하나로 정해져요. x = 5를 정해도 y는 2 하나. x 하나에 y 하나 → 함수 맞아요. (기울기 0인 일차함수가 아니라 상수함수라고 불러요.)
• $x = 3$ (세로 직선): x = 3 하나에 y는 −1도 되고, 0도 되고, 4도 되고… y가 무수히 많아요. x 하나에 y가 여러 개 → 함수가 아니에요.

한 문장 정리 $y =$ (상수)는 함수(상수함수)지만, $x =$ (상수)는 함수가 아니에요. 세로 직선은 한 x값에 y가 잔뜩 매달려 있어서 “딱 하나”라는 함수의 약속을 어기거든요.

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2. 서로 만나는 그래프 — 교점은 “동시에 성립하는 점”

이제 직선 두 개를 같이 그려볼게요. 두 직선이 만나면 그 만나는 점을 교점이라고 해요. “사귈 교(交), 점 점(點)” — 서로 사귀어 만나는 점이라는 뜻이에요.

교점: 두 그래프가 만나는 점. 그 점은 두 식을 동시에 만족하는 점이에요.

여기서 “동시에 만족한다”는 말이 핵심이에요. 교점은 첫 번째 직선 위에도 있고, 두 번째 직선 위에도 있는 점이거든요. 그래서 그 점의 좌표를 첫 번째 식에 넣어도 맞고, 두 번째 식에 넣어도 맞아요. 양쪽 모두를 만족하는 단 하나의 점, 그게 교점이에요.

그래프로 교점 읽기

두 직선 $y = x + 1$ 과 $y = -x + 3$ 을 그려볼게요.

그림을 보면 두 직선이 점 $(1,\ 2)$에서 만나요. 이 점이 교점이에요. 정말 두 식을 다 만족하는지 검산해 볼까요?

교점 후보 $(1,\ 2)$ 를 두 식에 다 넣어 봅니다.

① $y = x + 1$ 에 $x = 1$ → $y = 1 + 1 = 2$ → $(1,\ 2)$ 맞음 ② $y = -x + 3$ 에 $x = 1$ → $y = -1 + 3 = 2$ → $(1,\ 2)$ 맞음

두 식 모두 만족하니 $(1,\ 2)$ 가 교점이 맞아요.

두 식에 모두 넣었을 때 둘 다 $y = 2$가 나왔죠? 이렇게 동시에 성립하기 때문에 $(1,\ 2)$가 교점인 거예요.

식으로 교점 구하기 (맛보기)

그래프를 일일이 그리지 않고도 교점을 구할 수 있어요. 생각해 보세요. 교점에서는 두 직선의 y가 같아요. 그러니 두 식의 우변을 그냥 = 로 이어 붙이면 돼요.

두 식 $y = x + 1$ 과 $y = -x + 3$ 에서 두 y가 같으니 우변끼리 같다고 놓아요. 그리고 −x 를 왼쪽으로, +1 을 오른쪽으로 이항해요. (지난 방정식 글에서 배운 이항!)

$$\begin{aligned} x + 1 &= -x + 3 \\ x + x &= 3 - 1 \\ 2x &= 2 \\ x &= 2 \div 2 = 1 \end{aligned}$$

이렇게 구한 $x = 1$ 이 교점의 x좌표예요. 이 값을 둘 중 아무 식에나 넣어 y를 구하면 $y = x + 1 = 1 + 1 = 2$ 가 되어 교점의 y좌표가 나와요. 따라서 교점은 $(1,\ 2)$.

검산은 위에서 이미 했죠? 그래프로 읽은 $(1,\ 2)$와 식으로 구한 $(1,\ 2)$가 똑같이 나왔어요. 그래프와 식은 같은 이야기를 다른 방법으로 하고 있는 거예요.

한 줄 정리 교점 = 두 식을 동시에 만족하는 점. 식으로 구할 땐 두 식의 y를 같다고 놓고 x를 먼저 구한 뒤, 그 x를 다시 넣어 y를 구해요.

참고: 두 직선의 기울기가 같으면 어떻게 될까요? 나란히 가기만 하고 영영 안 만나요. (평행선!) 그래서 그땐 교점이 없어요. 기울기가 다를 때만 딱 한 점에서 만난답니다.

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3. x의 값이 범위일 때 — 직선의 “일부분”만

지금까지 그린 직선들은 양쪽으로 끝없이 쭉 뻗어 있었어요. 그런데 가끔은 x를 어떤 범위 안에서만 보고 싶을 때가 있어요. 예를 들어 “x는 1부터 4까지만”처럼요.

여기서 새 단어 하나. x가 가질 수 있는 값들의 모임을 정의역이라고 불러요. (지금은 “x의 값의 범위” 정도로만 알아도 충분해요.) 보통 이렇게 써요.

$1 \le x \le 4$

이건 “x는 1보다 크거나 같고, 4보다 작거나 같다”는 뜻이에요. 즉 x가 1, 4 그리고 그 사이의 모든 수(1.5, 2, 3.7 …)가 될 수 있다는 거죠.

부등호 읽는 법

• $\le$ : “작거나 같다” (등호가 붙어 있으니 그 값 자신도 포함)
• $1 \le x \le 4$ : x가 1과 4를 포함해서 그 사이에 있다

이렇게 x의 범위가 정해지면, 그래프는 직선 전체가 아니라 그 범위에 해당하는 부분만 그려요. 그러면 양 끝이 뚝 잘린 선분(짧은 직선 토막)이 돼요.

예제) $y = x + 1$ 을 $1 \le x \le 4$ 범위에서 그리기

양 끝값(1과 4)에서의 y를 구해 점 두 개를 찍고, 그 사이를 이으면 돼요.

$x = 1$ 일 때 $y = 1 + 1 = 2$ 이므로 점 $(1,\ 2)$, $x = 4$ 일 때 $y = 4 + 1 = 5$ 이므로 점 $(4,\ 5)$ 예요.

그림처럼 점 $(1,\ 2)$에서 점 $(4,\ 5)$까지만 이어진 선분이 돼요. x가 1보다 작은 쪽, 4보다 큰 쪽으로는 선이 없어요. 양 끝점은 포함되니까($\le$라서) 끝을 꽉 찬 점 ●으로 찍어요.

한 줄 정리 x의 범위가 $a \le x \le b$로 제한되면, 그래프는 x = a에서 x = b까지의 선분(직선의 일부)만 그려요. 양 끝점을 구해서 이으면 됩니다.

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4. 최댓값과 최솟값 — 양 끝점만 보면 돼요

범위가 정해진 선분에서 가장 높은 점과 가장 낮은 점을 찾는 게 이번 주제예요.

최댓값: 그 범위에서 y가 가질 수 있는 가장 큰 값. 최솟값: 그 범위에서 y가 가질 수 있는 가장 작은 값.

여기에 아주 편한 비밀이 있어요. 일차함수의 그래프는 곧은 직선이라서, 꺾이지 않고 한쪽 방향으로만 쭉 올라가거나 쭉 내려가요. 그러니 가장 높은 곳과 가장 낮은 곳은 반드시 양 끝점에 있어요. 가운데는 볼 필요도 없어요.

핵심 일차함수는 범위 안에서 양 끝점에서 최댓값·최솟값을 가져요. (끝값 두 개만 계산하면 됩니다.)

그럼 어느 끝이 최대이고 어느 끝이 최소일까요? 기울기 a의 부호로 정해져요.

기울기	직선 모양	오른쪽 끝(큰 x)	왼쪽 끝(작은 x)
$a > 0$ (오른쪽 위로)	올라가는 직선	최댓값	최솟값
$a < 0$ (오른쪽 아래로)	내려가는 직선	최솟값	최댓값

쉽게 말하면, 올라가는 직선($a > 0$)은 오른쪽으로 갈수록 높아지니까 오른쪽 끝이 최대예요. 내려가는 직선($a < 0$)은 오른쪽으로 갈수록 낮아지니까 오른쪽 끝이 최소고요. 외우려고 애쓸 필요는 없어요. 양 끝값을 둘 다 구해서 큰 쪽이 최대, 작은 쪽이 최소라고 하면 됩니다.

예제 1) $y = 2x + 1$ 을 $1 \le x \le 4$ 에서 (a > 0, 올라가는 직선)

양 끝값 x = 1, x = 4를 각각 넣어요.

$$\begin{aligned} x = 1 &: \quad y = 2 \times 1 + 1 = 2 + 1 = 3 \\ x = 4 &: \quad y = 2 \times 4 + 1 = 8 + 1 = 9 \end{aligned}$$

두 값 3과 9를 비교하면, 최댓값 9 ($x = 4$ 일 때), 최솟값 3 ($x = 1$ 일 때)이에요.

기울기 $a = 2 > 0$ 이라 오른쪽 끝($x = 4$)에서 최댓값이 나왔죠? 표와 일치해요.

예제 2) $y = -2x + 5$ 를 $0 \le x \le 3$ 에서 (a < 0, 내려가는 직선)

$$\begin{aligned} x = 0 &: \quad y = -2 \times 0 + 5 = 0 + 5 = 5 \\ x = 3 &: \quad y = -2 \times 3 + 5 = -6 + 5 = -1 \end{aligned}$$

두 값 5와 −1을 비교하면, 최댓값 5 ($x = 0$ 일 때), 최솟값 −1 ($x = 3$ 일 때)이에요.

이번엔 기울기 $a = -2 < 0$, 내려가는 직선이라 왼쪽 끝($x = 0$)에서 최댓값, 오른쪽 끝($x = 3$)에서 최솟값이 나왔어요. 역시 표와 딱 맞죠?

자주 하는 실수 범위가 $-2 \le x \le 1$처럼 음수를 포함하면, 끝값 대입할 때 부호를 조심하세요. 예: $y = 3x$ 에 $x = -2$ → $y = 3 \times (-2) = -6$ (마이너스 빼먹지 않기.)

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단원 마무리

이번 단원에서 배운 걸 한눈에 정리해 볼게요.

• $y =$ (상수) 는 x축에 평행한 가로 직선 (기울기 0, 상수함수 = 함수 맞음).
• $x =$ (상수) 는 y축에 평행한 세로 직선 (함수가 아님 — x 하나에 y가 여러 개라서).
• 교점: 두 직선이 만나는 점 = 두 식을 동시에 만족하는 점. 식으로는 두 y를 같다고 놓고 풀어요.
• x의 범위가 $a \le x \le b$ 면 그래프는 선분(직선의 일부)만 그려요. 양 끝점을 구해 이어요.
• 최댓값·최솟값은 양 끝점에서 나와요. 끝값 두 개를 구해 큰 쪽이 최대, 작은 쪽이 최소.

스스로 풀어보기 (정답·풀이 모두 있음)

연필을 들고 먼저 스스로 풀어본 다음, 아래 풀이와 맞춰보세요. 풀이는 한 줄도 생략 없이 적었어요.

문제 1. 점 $(4,\ -1)$을 지나면서 y축에 평행한 직선의 식을 구하세요. 문제 2. 점 $(4,\ -1)$을 지나면서 x축에 평행한 직선의 식을 구하세요. 문제 3. $x = -2$ 는 함수일까요, 아닐까요? 이유도 말해보세요. 문제 4. 두 직선 $y = 2x - 1$ 과 $y = 4$ 의 교점을 구하세요. 문제 5. 두 직선 $y = 3x + 2$ 와 $y = x + 6$ 의 교점을 구하세요. 문제 6. $y = 3x - 2$ 를 $1 \le x \le 5$ 범위에서 봤을 때, 최댓값과 최솟값을 구하세요. 문제 7. $y = -x + 4$ 를 $-1 \le x \le 2$ 범위에서 봤을 때, 최댓값과 최솟값을 구하세요. 문제 8. (도전!) 두 직선 $y = 2x + 3$ 과 $y = -x - 3$ 의 교점을 구하세요.

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풀이 1) 점 (4, −1)을 지나는, y축에 평행한 직선

y축에 평행한 직선은 세로 직선이니 식은 $x =$ (상수) 꼴이에요. 점 $(4,\ -1)$을 지나니 x좌표가 4 → $x = 4$.

검산: $x = 4$ 위의 점들은 모두 x좌표가 4. $(4,\ -1)$ 도 x좌표가 4 → 지난다

답: $x = 4$

풀이 2) 점 (4, −1)을 지나는, x축에 평행한 직선

x축에 평행한 직선은 가로 직선이니 식은 $y =$ (상수) 꼴이에요. 점 $(4,\ -1)$을 지나니 y좌표가 −1 → $y = -1$.

검산: $y = -1$ 위의 점들은 모두 y좌표가 −1. $(4,\ -1)$ 도 y좌표가 −1 → 지난다

답: $y = -1$

(문제 1과 2를 비교해 보세요. 같은 점을 지나도 세로냐 가로냐에 따라 식이 완전히 달라요.)

풀이 3) $x = -2$ 는 함수일까?

$x = -2$ 는 세로 직선이에요. $x = -2$ 하나를 정해도 y는 0, 1, −5 … 무수히 많아요. x 하나에 y가 여러 개라서 함수의 약속(x 하나에 y 하나)을 어겨요.

답: 함수가 아니다. (세로 직선 $x =$ (상수) 는 함수가 아니에요)

풀이 4) $y = 2x - 1$ 과 $y = 4$ 의 교점

두 번째 식이 $y = 4$ 로 이미 y를 알려줘요. 그러니 첫 식의 y에 4를 넣고 x를 구해요.

$$\begin{aligned} 4 &= 2x - 1 \\ 4 + 1 &= 2x \\ 5 &= 2x \\ x &= 5 \div 2 = 2.5 \end{aligned}$$

따라서 교점은 $(2.5,\ 4)$.

검산: ① $y = 2x - 1$ 에 $x = 2.5$ → $2 \times 2.5 - 1 = 5 - 1 = 4$ ② $y = 4$ → $4 = 4$

답: $(2.5,\ 4)$

풀이 5) $y = 3x + 2$ 와 $y = x + 6$ 의 교점

두 y가 같으니 우변끼리 같다고 놓고, x는 왼쪽·숫자는 오른쪽으로 이항해요.

$$\begin{aligned} 3x + 2 &= x + 6 \\ 3x - x &= 6 - 2 \\ 2x &= 4 \\ x &= 4 \div 2 = 2 \end{aligned}$$

$x = 2$ 를 한 식에 넣어 y를 구하면 $y = x + 6 = 2 + 6 = 8$. 따라서 교점은 $(2,\ 8)$.

검산: ① $y = 3x + 2$ 에 $x = 2$ → $3 \times 2 + 2 = 6 + 2 = 8$ ② $y = x + 6$ 에 $x = 2$ → $2 + 6 = 8$

답: $(2,\ 8)$

풀이 6) $y = 3x - 2$ 를 $1 \le x \le 5$ 에서

양 끝값 x = 1, x = 5 를 넣어요.

$$\begin{aligned} x = 1 &: \quad y = 3 \times 1 - 2 = 3 - 2 = 1 \\ x = 5 &: \quad y = 3 \times 5 - 2 = 15 - 2 = 13 \end{aligned}$$

1과 13을 비교하면, 답은 최댓값 13 ($x = 5$), 최솟값 1 ($x = 1$).

(기울기 $3 > 0$ 인 올라가는 직선이라 오른쪽 끝 $x = 5$ 가 최대 — 맞아요)

풀이 7) $y = -x + 4$ 를 $-1 \le x \le 2$ 에서

양 끝값 x = −1, x = 2 를 넣어요. (음수 부호 조심!)

$$\begin{aligned} x = -1 &: \quad y = -(-1) + 4 = 1 + 4 = 5 \\ x = 2 &: \quad y = -(2) + 4 = -2 + 4 = 2 \end{aligned}$$

5와 2를 비교하면, 답은 최댓값 5 ($x = -1$), 최솟값 2 ($x = 2$).

(기울기 $-1 < 0$ 인 내려가는 직선이라 왼쪽 끝 $x = -1$ 이 최대 — 맞아요)

풀이 8) $y = 2x + 3$ 과 $y = -x - 3$ 의 교점 (도전 문제)

두 y가 같으니 우변끼리 같다고 놓아요. −x는 왼쪽으로(+x), +3은 오른쪽으로(−3) 이항해요.

$$\begin{aligned} 2x + 3 &= -x - 3 \\ 2x + x &= -3 - 3 \\ 3x &= -6 \\ x &= -6 \div 3 = -2 \end{aligned}$$

$x = -2$ 를 한 식에 넣어 y를 구하면 $y = 2x + 3 = 2 \times (-2) + 3 = -4 + 3 = -1$. 따라서 교점은 $(-2,\ -1)$.

검산: ① $y = 2x + 3$ 에 $x = -2$ → $2 \times (-2) + 3 = -4 + 3 = -1$ ② $y = -x - 3$ 에 $x = -2$ → $-(-2) - 3 = 2 - 3 = -1$

답: $(-2,\ -1)$

몇 개 틀렸어도 괜찮아요. 풀이를 다시 천천히 읽으면서 어디서 갈렸는지 찾아보면, 그게 바로 실력이 느는 순간이에요.

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쉬어가기

교점이 말해주는 것 — “동시에 성립”의 직관

교점이라는 말이 좀 딱딱하게 느껴졌다면, 이렇게 생각해 보세요.

용돈을 매주 모으는 두 친구가 있다고 해봐요. 지호는 지금 1만 원이 있고 매주 2천 원씩 모아요. 민준이는 지금 5만 원이 있는데 매주 2천 원씩 쓰기만 해요. 그럼 언젠가 두 사람의 돈이 똑같아지는 순간이 오겠죠? 그 순간이 바로 두 직선의 교점이에요.

지호의 돈을 나타내는 직선과 민준이의 돈을 나타내는 직선을 그리면, 둘이 딱 만나는 점이 생겨요. 그 점의 x좌표는 “몇 주째에” 같아지는지를, y좌표는 “그때 얼마인지”를 알려줘요. 교점 하나에 이렇게 두 가지 정보가 동시에 담겨 있는 거예요. “동시에 성립”이라는 말이 이제 좀 더 와닿죠?

일상 속 ‘최댓값’ 이야기

뉴스에서 “오늘 최고 기온 28도, 최저 기온 19도”라는 말 들어봤죠? 이게 바로 하루 동안 기온의 최댓값과 최솟값이에요. 우리가 이번에 배운 거랑 똑같은 개념이랍니다.

일차함수에서는 직선이 곧기 때문에 양 끝점만 보면 최대·최소를 바로 알 수 있었어요. 그런데 만약 그래프가 산봉우리처럼 구불구불 휘어 있다면, 가장 높은 곳이 끝이 아니라 가운데 어딘가에 있을 수도 있어요. 그런 곡선의 최댓값·최솟값을 찾는 건 더 높은 학년(고등학교)에서 배우는 수학이에요. 지금 배운 “양 끝점 확인”이 그 모든 것의 출발점이랍니다.

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다음 글에서는 일차함수 $y = ax + b$의 그래프를 더 깊이 파고들 거예요. 기울기 a와 y절편 b가 그래프의 모양과 위치를 어떻게 바꾸는지, 그래프만 보고도 식을 알아맞히는 법까지요. 오늘 배운 교점과 양 끝점 확인은 앞으로도 계속 쓰이니까, 머릿속에 잘 넣어두세요.