중학 함수 ⑦ 일차함수와 일차방정식 — 직선의 방정식·연립방정식과 그래프

중학 함수 시리즈의 마지막 글이에요. 이번 글에서는 지금까지 배운 일차함수와 1학년 때부터 다뤄 온 방정식이 사실은 같은 직선을 두고 만나는 사이라는 걸 보여줄게요. 그래프 위에서 연립방정식을 ‘눈으로 보는’ 데까지 가요. 늘 그랬듯이 한 줄도 건너뛰지 않고 한 단계씩 갈게요.

이 글의 약속

1. 새로운 말이 나오면 무슨 뜻인지 먼저 설명해요.
2. 계산은 한 단계씩 보여줘요. (암산으로 건너뛰지 않아요)
3. 답을 구하면 검산(맞는지 확인)까지 해요.

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1. 미지수가 2개인 일차방정식 — 짝꿍으로 된 답

지금까지 우리가 푼 방정식은 대부분 $2x + 1 = 9$처럼 미지수가 $x$ 하나였어요. 이런 건 답이 $x = 4$ 딱 하나로 정해졌죠.

그런데 이번엔 미지수가 두 개인 방정식을 만나볼 거예요. 예를 들면 이런 식이에요.

$x + y = 5$

$x$와 $y$, 모르는 수가 두 개 들어 있죠? 이렇게 미지수가 2개이고, 그 미지수의 차수가 모두 1차인 방정식을 미지수가 2개인 일차방정식이라고 해요. 일반적으로 이렇게 써요.

미지수가 2개인 일차방정식: $ax + by + c = 0$ 모양의 식. (여기서 $a$, $b$, $c$는 정해진 수이고, $a$와 $b$는 둘 다 0은 아니에요.)

$x + y = 5$도 $x + y - 5 = 0$ 으로 옮기면 $ax + by + c = 0$ 모양($a = 1$, $b = 1$, $c = -5$)이 되죠.

답이 하나가 아니라고요?

$x + y = 5$를 참으로 만드는 $x$와 $y$를 찾아볼게요. $x$에 적당한 수를 넣어보면서 $y$를 맞춰봐요.

$x$	$y$ (= 5 − x)	확인
1	4	$1 + 4 = 5$
2	3	$2 + 3 = 5$
3	2	$3 + 2 = 5$
4	1	$4 + 1 = 5$

$(x = 1,\ y = 4)$도 맞고, $(x = 2,\ y = 3)$도 맞고… 답이 여러 개예요. 사실 $x$에 어떤 수를 넣어도 그에 맞는 $y$가 하나씩 따라오니까, 답은 무수히 많아요.

답은 짝꿍(순서쌍)으로 쓴다

미지수가 2개이니까 답도 $x$값과 $y$값을 짝지어서 써야 해요. 이걸 순서쌍이라고 하고, ($x$값, $y$값) 순서로 괄호 안에 써요.

• $x = 1$, $y = 4$ → 순서쌍 $(1,\ 4)$
• $x = 2$, $y = 3$ → 순서쌍 $(2,\ 3)$

순서가 중요해요. $(1,\ 4)$와 $(4,\ 1)$은 다른 답이에요. 항상 앞이 $x$, 뒤가 $y$ 라는 약속을 지켜요.

한 줄 정리 미지수가 2개인 일차방정식은 $ax + by + c = 0$ 모양이고, 그 해는 순서쌍 $(x,\ y)$, 그런 해가 무수히 많다.

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2. 일차함수와 일차방정식 — 사실은 같은 식이었어요

방금 본 $x + y = 5$를 살짝 변신시켜 볼게요. $x$를 오른쪽으로 이항하면($+x \to -x$),

$$\begin{aligned} x + y &= 5 \\ y &= 5 - x \\ y &= -x + 5 \end{aligned}$$

$y = -x + 5$… 어디서 많이 본 모양이죠? 바로 일차함수 $y = ax + b$ 예요. (여기서는 기울기 $a = -1$, $y$절편 $b = 5$.)

미지수가 2개인 일차방정식 $ax + by + c = 0$을 $y = \cdots$ 모양으로 고치면, 그건 바로 일차함수예요. (단, $y$ 앞 계수가 0이 아닐 때)

그러니까 지금까지 우리가 “방정식의 해(순서쌍)“라고 부른 $(1,\ 4)$, $(2,\ 3)$ 같은 짝들은, 사실 일차함수 $y = -x + 5$의 그래프 위에 콕콕 찍히는 점들이었어요.

직접 확인해 볼게요. $y = -x + 5$에 $x$ 값을 넣어보면,

• $x = 1 \to y = -1 + 5 = 4$ → 점 $(1,\ 4)$
• $x = 2 \to y = -2 + 5 = 3$ → 점 $(2,\ 3)$
• $x = 3 \to y = -3 + 5 = 2$ → 점 $(3,\ 2)$

방정식의 해 표와 완전히 똑같죠? 이 점들을 좌표평면에 찍어서 쭉 이으면 직선이 돼요. 즉, 방정식의 무수히 많은 해 = 직선 위의 무수히 많은 점이에요.

한 줄 정리 미지수가 2개인 일차방정식의 해를 좌표평면에 모두 찍으면 → 직선이 된다. 방정식과 일차함수는 같은 직선을 다른 옷을 입고 부르는 사이예요.

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3. 직선의 방정식 — 기울기와 절편 읽어내기

앞에서 본 것처럼, 일차방정식 $ax + by + c = 0$의 그래프는 직선이에요. 그래서 이런 식을 아예 직선의 방정식이라고도 불러요.

직선의 생김새(기울기와 $y$절편)를 알고 싶으면, $y = (\text{기울기}) \times x + (y\text{절편})$ 모양으로 고쳐주면 한눈에 보여요. 연습해 볼게요.

예제 1) $2x + y - 3 = 0$을 직선으로 읽기

$2x$ 와 $-3$ 을 오른쪽으로 이항하면(부호 바뀜),

$$\begin{aligned} 2x + y - 3 &= 0 \\ y &= -2x + 3 \end{aligned}$$

이제 $y = -2x + 3$ 모양이니까 기울기는 $-2$, $y$절편은 3 이에요. ($y$절편 3이란 그래프가 $y$축과 점 $(0,\ 3)$에서 만난다는 뜻이에요.)

예제 2) $2x - 3y + 6 = 0$을 직선으로 읽기

이번엔 $y$ 앞에 $-3$이 붙어 있어요. $y$만 남기려면 마지막에 $-3$으로 나눠야 해요.

먼저 $2x$ 와 $+6$ 을 오른쪽으로 이항하고, 양변을 $-3$으로 나눠요 ($-2 \div -3 = \frac{2}{3}$, $-6 \div -3 = 2$).

$$\begin{aligned} 2x - 3y + 6 &= 0 \\ -3y &= -2x - 6 \\ y &= (-2x - 6) \div (-3) \\ y &= \frac{2}{3}x + 2 \end{aligned}$$

그래서 기울기는 $\frac{2}{3}$, $y$절편은 2 예요.

검산해 볼게요. $x = 0$이면 $y = 2$ → 점 $(0,\ 2)$. 원래 식에 넣어보면 $2 \times 0 - 3 \times 2 + 6 = 0 - 6 + 6 = 0$. 맞아요.

특별한 직선: $x = k$ 와 $y = k$

직선 중에는 곧게 선 세로줄이나 납작한 가로줄도 있어요.

(1) $y = k$ 모양 (가로줄): 예를 들어 $y = 3$은 “$x$가 뭐든 $y$는 항상 3”이라는 뜻이에요. 그래서 $(0,\ 3), (1,\ 3), (2,\ 3) \ldots$ 점들을 이으면 $x$축에 나란한 가로 직선이 돼요. (기울기가 0인 직선이에요.)

(2) $x = k$ 모양 (세로줄): 예를 들어 $x = 2$는 “$y$가 뭐든 $x$는 항상 2”라는 뜻이에요. $(2,\ 0), (2,\ 1), (2,\ 2) \ldots$ 점들을 이으면 $y$축에 나란한 세로 직선이 돼요.

$x = 2$는 세로줄, $y = 3$은 가로줄. 헷갈리기 쉬우니 꼭 구분해요. 외우는 법: “$x = 2$는 $x$축의 2 지점에서 위로 솟은 벽” 이라고 생각하면 돼요.

한 줄 정리 직선의 방정식은 $y = (\text{기울기}) \times x + (y\text{절편})$ 으로 고쳐 읽는다. $x = k$는 세로줄, $y = k$는 가로줄.

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4. 연립방정식 — 두 식을 동시에 만족시키기

이제 미지수가 2개인 일차방정식을 두 개 묶어서 생각해 볼게요. 이렇게 두 일차방정식을 한 묶음으로 짝지은 것을 연립방정식이라고 해요. 보통 이렇게 중괄호로 묶어서 써요.

$$\begin{cases} x + y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases}$$

연립방정식의 해: 두 식을 동시에(모두) 참으로 만드는 $(x,\ y)$ 한 쌍.

1번 단원에서 봤듯이 $x + y = 5$ 하나만 보면 해가 무수히 많았죠. 하지만 두 식을 모두 만족시키는 짝을 찾으면, 보통 딱 하나로 좁혀져요.

푸는 방법은 두 가지가 있어요. 대입법과 가감법, 둘 다 배워볼게요.

방법 ① 대입법 — 한 글자를 통째로 갈아끼우기

대입(代入)은 “대신 넣는다”는 뜻이에요. 한 식을 $y = \cdots$ 모양으로 만든 다음, 그걸 다른 식의 $y$ 자리에 통째로 넣는 방법이에요.

위 식을 (가), 아래 식을 (나)로 부를게요.

$$\begin{cases} x + y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases}$$

① (가)를 $y = \cdots$ 모양으로 ($x$ 이항):

$$\begin{aligned} x + y &= 5 \\ y &= 5 - x \end{aligned}$$

② 이 $y$ 를 (나)의 $y$ 자리에 대입 (괄호 풀기: $-(5 - x) = -5 + x$, 그 뒤 $-5$ 이항):

$$\begin{aligned} x - (5 - x) &= 1 \\ x - 5 + x &= 1 \\ 2x - 5 &= 1 \\ 2x &= 1 + 5 \\ 2x &= 6 \\ x &= 3 \end{aligned}$$

③ $x = 3$ 을 $y = 5 - x$ 에 넣어 $y$ 구하기:

$y = 5 - 3 = 2$

해는 $(x,\ y) = (3,\ 2)$ 예요.

방법 ② 가감법 — 더하거나 빼서 한 글자를 지우기

가감(加減)은 “더하기·빼기”라는 뜻이에요. 두 식을 그대로 더하거나 빼서 한 미지수를 싹 없애는 방법이에요. 위 두 식을 보면 $+y$와 $-y$가 있죠? 두 식을 더하면 $y$가 사라져요. (위 식이 (가), 아래 식이 (나)예요.)

$$\begin{cases} x + y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases}$$

① (가) + (나) 를 한다 (왼쪽은 왼쪽끼리, 오른쪽은 오른쪽끼리). $y$ 가 사라져요.

$$\begin{aligned} (x + y) + (x - y) &= 5 + 1 \\ x + x + y - y &= 6 \\ 2x &= 6 \\ x &= 3 \end{aligned}$$

② $x = 3$ 을 (가)에 넣어 $y$ 구하기:

$$\begin{aligned} 3 + y &= 5 \\ y &= 5 - 3 = 2 \end{aligned}$$

해는 $(x,\ y) = (3,\ 2)$ 예요.

두 방법 모두 답이 $(3,\ 2)$ 로 똑같이 나왔죠? 어떤 방법을 써도 돼요.

꼭 검산하기

$(3,\ 2)$ 를 두 식에 모두 넣어 확인해요. (가) $x + y = 3 + 2 = 5$ → $5 = 5$, (나) $x - y = 3 - 2 = 1$ → $1 = 1$. 두 식 다 참이니 해가 맞아요.

한 줄 정리 연립방정식의 해는 두 식을 동시에 만족하는 $(x,\ y)$. 대입법(갈아끼우기)이나 가감법(더하고 빼서 지우기)으로 구하고, 반드시 검산.

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5. 연립방정식의 해와 그래프 (1) — 두 직선의 만남

이제 이 글의 핵심이에요. 앞에서 일차방정식 하나가 직선 하나라고 했죠? 그럼 연립방정식은 직선 두 개예요. 그렇다면,

연립방정식의 해 = 두 직선이 만나는 점(교점)의 좌표.

왜냐하면 교점은 두 직선 위에 동시에 있는 점이고, 그건 곧 두 식을 동시에 만족하는 $(x,\ y)$ 라는 뜻이니까요.

직접 눈으로 볼게요. 다음 연립방정식을 풀어볼 거예요. (위 식이 (가), 아래 식이 (나)예요.)

$$\begin{cases} y = x + 1 \\ y = -x + 3 \end{cases}$$

먼저 그래프로 (눈으로 보기)

(가)는 기울기 1, $y$절편 1인 직선. (나)는 기울기 $-1$, $y$절편 3인 직선. 두 직선을 그려서 만나는 점을 찾아보면 $(1,\ 2)$에서 딱 만나요.

식으로도 확인 (가감법/대입법)

정말 $(1,\ 2)$가 맞는지 계산으로 확인해요. 두 식 다 $y = \cdots$ 모양이니까, $y$끼리 같다고 놓으면 돼요(대입법).

① $y$ 자리가 같으니 오른쪽끼리 등호로 놓고, ② $x$ 를 왼쪽으로, 숫자를 오른쪽으로 이항해요.

$$\begin{aligned} x + 1 &= -x + 3 \\ x + x &= 3 - 1 \\ 2x &= 2 \\ x &= 1 \end{aligned}$$

③ $x = 1$ 을 (가) $y = x + 1$ 에 넣으면 $y = 1 + 1 = 2$. → 해: $(1,\ 2)$

검산도 해요. (가) $y = x + 1 \to 2 = 1 + 1 = 2$, (나) $y = -x + 3 \to 2 = -1 + 3 = 2$.

그래프로 찾은 교점 $(1,\ 2)$ 와 계산으로 구한 해 $(1,\ 2)$ 가 똑같죠? 이게 바로 이 단원의 핵심이에요. 두 직선이 한 점에서 만나면 → 해는 정확히 한 쌍.

한 줄 정리 두 직선이 한 점에서 만나면, 연립방정식의 해는 그 교점 한 쌍뿐이에요.

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6. 연립방정식의 해와 그래프 (2) — 만나지 않으면? (해 없음)

그런데 만약 두 직선이 영원히 만나지 않으면 어떻게 될까요? 나란히 가는 두 직선, 즉 평행한 직선은 아무리 길게 늘여도 만나지 않아요. 그럼 교점이 없으니까 해도 없어요.

직선이 평행할 조건

기울기가 같고, $y$절편이 다르면 두 직선은 평행해요. (→ 해 없음)

예시로 볼게요. (위 식이 (가), 아래 식이 (나)예요.)

$$\begin{cases} y = 2x + 1 \\ y = 2x - 2 \end{cases}$$

두 직선 모두 기울기가 2로 같고, $y$절편은 1과 $-2$로 달라요. 그러니까 둘은 나란히 가는 평행선이에요.

식으로 확인하면 (모순이 나와요)

계산으로 풀어보면 어떻게 될까요? 가감법으로 (가)에서 (나)를 빼볼게요.

$$\begin{aligned} (2x + 1) - (2x - 2) &= y - y \\ 2x + 1 - 2x + 2 &= 0 \\ 3 &= 0 \end{aligned}$$

$3 = 0$ 이라니, 이건 절대로 참이 될 수 없는 말도 안 되는 식이에요. 이렇게 거짓인 식(모순)이 나오면 → 해가 없다는 신호예요. 그래프에서 두 직선이 안 만나는 것과 정확히 일치하죠.

한 줄 정리 기울기 같고 $y$절편 다름 → 평행 → 교점 없음 → 해가 없다. (식으로 풀면 $3 = 0$ 같은 모순이 나와요.)

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7. 연립방정식의 해와 그래프 (3) — 완전히 겹치면? (해 무수히 많음)

마지막 경우예요. 두 직선이 완전히 똑같은 직선이면 어떻게 될까요? 포개면 딱 겹치는, 하나로 일치하는 직선이요. 이러면 모든 점에서 만나니까 해가 무수히 많아요.

직선이 일치할 조건

기울기도 같고, $y$절편도 같으면 두 직선은 완전히 일치해요. (→ 해 무수히 많음)

예시로 볼게요. 겉모습은 달라 보이지만 사실 같은 직선인 경우예요. (위 식이 (가), 아래 식이 (나)예요.)

$$\begin{cases} x + y = 3 \\ 2x + 2y = 6 \end{cases}$$

(나)를 잘 보세요. 양변을 2로 나누면 $x + y = 3$, 즉 (가)와 똑같아져요. 두 식을 $y = \cdots$ 모양으로 고치면 둘 다 $y = -x + 3$ 이에요. 기울기($-1$)도 같고 $y$절편(3)도 같으니 완전히 같은 직선이죠.

식으로 확인하면 ($0 = 0$이 나와요)

가감법으로 (나)에서 (가)의 2배를 빼볼게요.

$$\begin{aligned} (2x + 2y) - 2(x + y) &= 6 - 2 \times 3 \\ 2x + 2y - 2x - 2y &= 6 - 6 \\ 0 &= 0 \end{aligned}$$

$0 = 0$은 언제나 맞는 식이에요. 이렇게 항상 참인 식이 나오면 → 해가 무수히 많다는 신호예요. (예: $(0,\ 3), (1,\ 2), (2,\ 1), (3,\ 0) \ldots$ 전부 두 식의 해예요.)

세 경우 한눈에 정리

두 직선의 관계	기울기·절편	교점	연립방정식의 해
한 점에서 만남	기울기 다름	1개	해 1쌍
평행	기울기 같고 절편 다름	없음	해 없음
일치(완전히 겹침)	기울기 같고 절편 같음	무수히	해 무수히 많음

한 줄 정리 기울기부터 비교하세요. 다르면 → 한 점(해 1쌍). 같으면 → 절편까지 보고, 절편 다르면 평행(해 없음), 절편 같으면 일치(해 무수히 많음).

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8. 그래프 3개로 삼각형 만들기

직선 두 개로 교점을 찾았으니, 이번엔 직선 세 개로 해볼게요. 세 직선이 서로 다른 세 점에서 만나면, 그 세 점을 꼭짓점으로 하는 삼각형이 생겨요.

다음 세 직선으로 만들어 볼게요. (직선 ③ $y = 0$ 은 $x$축이에요.)

• 직선 ①: $y = x$
• 직선 ②: $y = -x + 4$
• 직선 ③: $y = 0$

세 직선을 두 개씩 짝지어 교점을 구하면 삼각형의 세 꼭짓점이 나와요.

교점 A: 직선 ① 과 직선 ③

$y = x$ 그리고 $y = 0$ 이면 $x = 0,\ y = 0$. 교점 A $= (0,\ 0)$.

교점 B: 직선 ② 와 직선 ③

$y = -x + 4$ 그리고 $y = 0$ 이면 ($-x$ 이항하면 $x = 4$):

$$\begin{aligned} 0 &= -x + 4 \\ x &= 4 \end{aligned}$$

교점 B $= (4,\ 0)$.

교점 C: 직선 ① 과 직선 ②

$y = x$ 그리고 $y = -x + 4$ 이면, 두 $y$ 가 같으니 오른쪽끼리 놓아요.

$$\begin{aligned} x &= -x + 4 \\ x + x &= 4 \\ 2x &= 4 \\ x &= 2 \end{aligned}$$

$y = x = 2$ 이므로 교점 C $= (2,\ 2)$.

세 꼭짓점은 A$(0,\ 0)$, B$(4,\ 0)$, C$(2,\ 2)$ 예요. 그림으로 보면 이런 삼각형이에요.

삼각형의 넓이 구하기

삼각형 넓이는 다음과 같아요.

$\text{삼각형 넓이} = \frac{\text{밑변} \times \text{높이}}{2}$

• 밑변: A$(0,\ 0)$과 B$(4,\ 0)$은 둘 다 $x$축 위에 있죠. 그 사이 길이는 $4 - 0 = 4$.
• 높이: 꼭짓점 C$(2,\ 2)$가 밑변($x$축)에서 얼마나 떨어졌나? → $y$좌표인 2.

$\text{넓이} = \dfrac{\text{밑변} \times \text{높이}}{2}$ 이므로,

$$\begin{aligned} \frac{4 \times 2}{2} &= \frac{8}{2} \\ &= 4 \end{aligned}$$

검산해 볼게요. C의 높이가 2가 맞는지 다시 보면, C는 $(2,\ 2)$이고 밑변이 $y = 0$($x$축)이니 밑변까지의 수직 거리는 정확히 2예요. 밑변 길이도 $(0,\ 0) \sim (4,\ 0)$이니 4. 그래서 넓이는 4 예요.

한 줄 정리 세 직선을 두 개씩 연립해서 풀면 세 꼭짓점이 나오고, 밑변이 축에 나란하면 밑변 길이와 높이를 좌표에서 바로 읽어 넓이를 구할 수 있어요.

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단원 마무리

이번 단원에서 배운 걸 한눈에 정리해 볼게요.

• 미지수가 2개인 일차방정식 $ax + by + c = 0$: 해가 순서쌍 $(x,\ y)$, 무수히 많음.
• 이 식을 $y = \cdots$로 고치면 일차함수 → 그래프는 직선(직선의 방정식).
• $x = k$는 세로줄, $y = k$는 가로줄.
• 연립방정식의 해: 두 식을 동시에 만족하는 $(x,\ y)$. 대입법·가감법으로 풀고 검산.
• 해와 그래프 — 기울기·절편으로 세 경우를 구분.
  • 기울기 다름 → 한 점에서 만남 → 해 1쌍
  • 기울기 같고 절편 다름 → 평행 → 해 없음 (식으로 풀면 모순, 예: $3 = 0$)
  • 기울기·절편 모두 같음 → 일치 → 해 무수히 많음 (식으로 풀면 $0 = 0$)
• 세 직선 → 세 교점 → 삼각형. 밑변·높이를 좌표에서 읽어 넓이 계산.

스스로 풀어보기 (정답·풀이 모두 있음)

연필을 들고 먼저 스스로 풀어본 다음, 아래 풀이와 맞춰보세요. 풀이는 한 줄도 생략 없이 적었어요.

문제 1. 일차방정식 $3x + y - 5 = 0$을 $y = \cdots$ 모양으로 고치고, 기울기와 $y$절편을 말하세요. 문제 2. $x - y = 4$의 해 중에서 $x = 6$일 때 $y$를 구하세요. 문제 3. 연립방정식 $\begin{cases} x + y = 7 \\ x - y = 3 \end{cases}$ 을 가감법으로 푸세요. 문제 4. 연립방정식 $\begin{cases} y = 2x - 1 \\ y = x + 2 \end{cases}$ 를 푸세요. 문제 5. 연립방정식 $\begin{cases} y = 3x + 2 \\ y = 3x - 1 \end{cases}$ 의 해는 몇 개인가요? (그래프로 설명) 문제 6. 연립방정식 $\begin{cases} x + y = 4 \\ 3x + 3y = 12 \end{cases}$ 의 해는 몇 개인가요? 이유도 쓰세요. 문제 7. (도전) 두 직선 $y = x + 2$와 $y = -2x + 8$의 교점을 구하세요. 문제 8. (도전) 세 직선 $y = x$, $y = -x + 6$, $y = 0$으로 만들어지는 삼각형의 넓이를 구하세요.

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풀이 1) $3x + y - 5 = 0$

$3x$ 와 $-5$ 를 오른쪽으로 이항해요(부호 바뀜).

$$\begin{aligned} 3x + y - 5 &= 0 \\ y &= -3x + 5 \end{aligned}$$

기울기 $-3$, $y$절편 5. 검산: $x = 0 \to y = 5$, 원식에 넣으면 $3 \times 0 + 5 - 5 = 0$.

풀이 2) $x - y = 4$에서 $x = 6$일 때

$x$ 자리에 6 대입하고, 6 이항한 뒤 양변에 $-1$ 곱하기.

$$\begin{aligned} x - y &= 4 \\ 6 - y &= 4 \\ -y &= 4 - 6 \\ -y &= -2 \\ y &= 2 \end{aligned}$$

$y = 2$, 해는 $(6,\ 2)$. 검산: $6 - 2 = 4$.

풀이 3) $\begin{cases} x + y = 7 \\ x - y = 3 \end{cases}$ (가감법)

위 식을 (가), 아래 식을 (나)로 부를게요.

$$\begin{cases} x + y = 7 \\ x - y = 3 \end{cases}$$

① (가) + (나): $+y$ 와 $-y$ 가 더해져 사라짐.

$$\begin{aligned} (x + y) + (x - y) &= 7 + 3 \\ 2x &= 10 \\ x &= 5 \end{aligned}$$

② $x = 5$ 를 (가)에 넣기:

$$\begin{aligned} 5 + y &= 7 \\ y &= 7 - 5 = 2 \end{aligned}$$

해 $(5,\ 2)$. 검산: (가) $5 + 2 = 7$, (나) $5 - 2 = 3$.

풀이 4) $\begin{cases} y = 2x - 1 \\ y = x + 2 \end{cases}$

① 두 $y$ 가 같으니 오른쪽끼리 등호로, ② $x$ 는 왼쪽, 숫자는 오른쪽으로 이항.

$$\begin{aligned} 2x - 1 &= x + 2 \\ 2x - x &= 2 + 1 \\ x &= 3 \end{aligned}$$

③ $x = 3$ 을 $y = x + 2$ 에 넣기: $y = 3 + 2 = 5$. → 해 $(3,\ 5)$ 검산: (위) $y = 2 \times 3 - 1 = 6 - 1 = 5$, (아래) $y = 3 + 2 = 5$.

풀이 5) $\begin{cases} y = 3x + 2 \\ y = 3x - 1 \end{cases}$ 의 해 개수

두 직선의 기울기를 비교하면, 위 직선 기울기 3, 아래 직선 기울기 3 → 같음. $y$절편을 비교하면, 위 직선 2, 아래 직선 $-1$ → 다름. 기울기 같고 절편 다름 = 평행 = 만나지 않음 → 해는 없다 (0개).

(식으로 확인: 두 식이 같다 놓으면 $3x + 2 = 3x - 1 \to 2 = -1$, 모순)

풀이 6) $\begin{cases} x + y = 4 \\ 3x + 3y = 12 \end{cases}$ 의 해 개수

아래 식 $3x + 3y = 12$ 의 양변을 3으로 나누면 $x + y = 4$ → 위 식과 완전히 똑같다. 두 직선이 일치(완전히 겹침) → 해는 무수히 많다.

(식으로 확인: 아래 $- 3 \times$위 → $(3x + 3y) - 3(x + y) = 12 - 12 \to 0 = 0$, 항상 참)

풀이 7) $y = x + 2$와 $y = -2x + 8$의 교점 (도전)

① 두 $y$ 가 같으니 오른쪽끼리, ② $x$ 는 왼쪽, 숫자는 오른쪽으로 이항.

$$\begin{aligned} x + 2 &= -2x + 8 \\ x + 2x &= 8 - 2 \\ 3x &= 6 \\ x &= 2 \end{aligned}$$

③ $x = 2$ 를 $y = x + 2$ 에 넣기: $y = 2 + 2 = 4$. → 교점 $(2,\ 4)$ 검산: (위) $y = 2 + 2 = 4$, (아래) $y = -2 \times 2 + 8 = -4 + 8 = 4$.

풀이 8) 세 직선 $y = x$, $y = -x + 6$, $y = 0$의 삼각형 넓이 (도전)

세 꼭짓점(두 직선씩 연립)을 구해요.

꼭짓점 P) $y = x$ 와 $y = 0$ 이면 $x = 0,\ y = 0$ → P$(0,\ 0)$.

꼭짓점 Q) $y = -x + 6$ 와 $y = 0$:

$$\begin{aligned} 0 &= -x + 6 \\ x &= 6 \end{aligned}$$

→ Q$(6,\ 0)$.

꼭짓점 R) $y = x$ 와 $y = -x + 6$:

$$\begin{aligned} x &= -x + 6 \\ 2x &= 6 \\ x &= 3 \end{aligned}$$

$y = 3$ 이므로 R$(3,\ 3)$.

밑변: P$(0,\ 0) \sim$ Q$(6,\ 0)$ 은 $x$축 위 → 길이 $6 - 0 = 6$. 높이: R$(3,\ 3)$ 의 $x$축까지 거리 = $y$좌표 = 3.

$\text{넓이} = \dfrac{\text{밑변} \times \text{높이}}{2}$ 이므로, $\dfrac{6 \times 3}{2} = \dfrac{18}{2} = 9$.

→ 넓이 9. 검산: 밑변 6, 높이 3 모두 좌표에서 바로 읽힘.

몇 개 틀렸어도 괜찮아요. 풀이를 다시 읽으면서 어디서 갈렸는지 짚어 보면 돼요.

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쉬어가기

그래프로 연립방정식을 ‘본다’는 발상, 그리고 GPS

이번 글에서 가장 핵심이 되는 순간은, 복잡한 연립방정식의 답을 그래프 위 두 직선의 교점으로 ‘눈으로 본’ 거예요. 식만 보면 머리가 아픈데, 그림으로 바꾸니 어디서 만나는지 한눈에 이해되죠. 어려운 것을 그림으로 바꿔 보는 힘은 수학에서 가장 쓸모 있는 도구 중 하나예요.

이 발상은 약 400년 전, 프랑스의 수학자 데카르트가 처음 활짝 열었어요. 그는 “식을 그림으로, 그림을 식으로 바꿀 수 있다”는 생각으로 좌표평면을 만들었고, 덕분에 우리는 방정식을 직선으로, 직선을 방정식으로 자유롭게 오갈 수 있게 됐어요.

그리고 이 아이디어는 지금도 우리 주머니 속에서 돌아가고 있어요. 바로 GPS예요. 스마트폰이 내 위치를 찾는 원리도, 사실은 여러 위성에서 온 정보로 만든 여러 식을 동시에 만족하는 한 점(교점)을 찾는 것 — 즉 거대한 연립방정식 풀기예요. 지하철 노선도에서 두 노선이 만나는 환승역을 찾는 것도, 따지고 보면 같은 발상이고요.

오늘 종이 위에서 직선 두 개의 교점을 찾은 그 작은 경험이, 수백 년의 수학과 최첨단 기술이 공유하는 바로 그 생각이었던 거예요.