중학 함수 ⑥ 일차함수 y=ax+b — 절편·기울기·평행이동

안녕하세요. 지난 글에서 우리는 정비례 그래프 $y = ax$ 를 배웠어요. 원점을 지나는 곧은 직선이었죠. 이번에는 그 직선을 위·아래로 살짝 들어 올린 친구, $y = ax + b$ 를 만나볼 거예요. 이름이 좀 길어 보여도 걱정 마세요. 사실은 우리가 이미 아는 $y = ax$ 에 숫자 하나( $b$ )만 더 붙은 거랍니다.

천천히, 하나도 빠짐없이, 그림과 함께 같이 가 볼게요.

이 글의 약속

새로운 말이 나오면 무슨 뜻인지 먼저 설명해요.

계산은 한 단계씩 보여줘요. (암산으로 건너뛰지 않아요)

식을 구하면 검산(점을 다시 넣어 확인)까지 해요.

1. y = ax + b의 그래프 — y = ax를 살짝 들어 올리기

먼저 우리가 아는 식 $y = 2x$ 를 떠올려 볼게요. 이 직선은 원점 $(0,\ 0)$ 을 지나는 곧은 직선이었어요. $x$ 가 1 늘면 $y$ 가 2 늘고, $x$ 가 2 늘면 $y$ 가 4 늘죠. 표로 보면 이래요.

x	$-2$	$-1$	0	1	2
$y = 2x$	$-4$	$-2$	0	2	4

자, 이제 여기에 +3을 붙여서 $y = 2x + 3$ 을 만들어 볼게요. 같은 $x$ 값에 대해 $y$ 가 어떻게 변할까요? 모든 $y$ 값에 3을 더하면 돼요.

x	$-2$	$-1$	0	1	2
$y = 2x$	$-4$	$-2$	0	2	4
$y = 2x + 3$	$-1$	1	3	5	7

표를 보세요. 같은 $x$ 에서 $y = 2x + 3$ 의 값이 $y = 2x$ 보다 항상 3만큼 더 커요. ( $-4$ 보다 3 큰 $-1$ , 0보다 3 큰 3, 4보다 3 큰 7 … 이렇게요.) 그래서 그래프로 그리면, $y = 2x + 3$ 은 $y = 2x$ 를 위로 3칸 통째로 들어 올린 직선이 돼요.

y=2x 와 y=2x+3 비교 (위로 3 평행이동)

이렇게 그래프를 모양은 그대로 둔 채, 방향만 정해서 통째로 미끄러뜨리는 것을 평행이동이라고 해요. (나란할 평(平), 다닐 행(行) — 나란히 옮긴다는 뜻이에요.)

한 줄 정리 $y = ax + b$ 의 그래프 = $y = ax$ 의 그래프를 y축 방향(위·아래)으로 $b$ 만큼 평행이동한 직선.

여기서 $b$ 가 양수면 위로, 음수면 아래로 옮겨져요. 예를 들어 $y = 2x - 3$ 이라면 $y = 2x$ 를 아래로 3 내린 직선이 되겠죠. (모든 $y$ 값에서 3을 빼니까요.)

2. 기울기와 평행이동 — a는 기울기, b는 이사 거리

식 $y = ax + b$ 에는 글자가 두 개( $a$ 와 $b$ ) 들어 있어요. 각자 맡은 역할이 달라요.

기울기: 직선이 얼마나 가파른지를 나타내는 수예요. $y = ax + b$ 에서 $a$ 가 기울기예요. $x$ 가 1만큼 늘어날 때 $y$ 가 $a$ 만큼 변한다는 뜻이에요.

$a$ (기울기): 직선의 기울어진 정도. → 평행이동을 해도 변하지 않아요.
$b$ : 직선을 위(+)·아래( $-$ )로 얼마나 옮겼는지(이사 거리). → 직선의 높이만 바꿔요.

아까 $y = 2x$ 를 위로 3 옮겨 $y = 2x + 3$ 을 만들었죠? 이때 기울기는 둘 다 2로 똑같았어요. 들어 올리기만 했지, 가파른 정도(기울기)는 그대로니까요.

여기서 아주 중요한 사실이 나와요.

기울기가 같은 두 직선은 서로 평행하다. (절대 만나지 않아요.)

예를 들어 $y = 2x + 3$ 과 $y = 2x - 1$ 은 $b$ 만 다르고 기울기가 둘 다 2예요. 그래서 이 두 직선은 나란히 평행해요. 마치 기찻길의 두 레일처럼요. 반대로, 기울기가 다르면(예: $y = 2x + 3$ 과 $y = 5x + 3$ ) 두 직선은 언젠가 만나요.

헷갈리지 마세요. 두 직선이 평행한지 보려면 → $b$ 가 아니라 $a$ (기울기)만 비교해요. 기울기가 같으면 평행, 기울기가 다르면 평행이 아니에요.

3. x절편과 y절편 — 그래프가 축과 만나는 자리

직선을 그리다 보면 x축, y축과 만나는 점이 꼭 생겨요. 이 두 점에는 특별한 이름이 있어요. 이름이 비슷해서 자주 헷갈리는데, 딱 한 번만 제대로 정리하면 다시는 안 헷갈려요.

y절편: 그래프가 y축과 만나는 점의 y좌표. → y축 위의 점은 $x$ 가 0이므로, 식에 $x = 0$ 을 넣어 구해요. x절편: 그래프가 x축과 만나는 점의 x좌표. → x축 위의 점은 $y$ 가 0이므로, 식에 $y = 0$ 을 넣어 구해요.

말로만 보면 어렵죠? 예시로 바로 풀어볼게요. $y = 2x + 4$ 의 두 절편을 구해 봐요.

y절편 구하기 ( $x = 0$ 대입): ( $x$ 자리에 0을 넣어요.)

\begin{aligned} y &= 2x + 4 \\ y &= 2 \times 0 + 4 \\ y &= 0 + 4 \\ y &= 4 \end{aligned}

y절편은 4, 그래프는 점 $(0,\ 4)$ 에서 y축과 만나요.

x절편 구하기 ( $y = 0$ 대입): ( $y$ 자리에 0을 넣고, $+4$ 를 이항하면 부호가 바뀌어요.)

\begin{aligned} y &= 2x + 4 \\ 0 &= 2x + 4 \\ 2x + 4 &= 0 \\ 2x &= 0 - 4 \\ 2x &= -4 \\ x &= -4 \div 2 \\ x &= -2 \end{aligned}

x절편은 $-2$ , 그래프는 점 $(-2,\ 0)$ 에서 x축과 만나요.

y=2x+4 의 y절편 (0,4)·x절편 (−2,0)

여기서 아주 유용한 사실 하나. $y = ax + b$ 에 $x = 0$ 을 넣으면 $y = a \times 0 + b = b$ 가 돼요. 즉 y절편은 언제나 $b$ 그 자체예요. (식만 보면 바로 알 수 있어요.) 위에서도 $y = 2x + 4$ 의 y절편이 그대로 4였죠?

절편	뜻	구하는 법	점의 모양
y절편	y축과 만나는 점의 y좌표	$x = 0$ 대입 ( $= b$ )	(0, y절편)
x절편	x축과 만나는 점의 x좌표	$y = 0$ 대입	(x절편, 0)

절대 헷갈리지 말 것: x절편은 $y$ 에 0, y절편은 $x$ 에 0. (반대로 외우는 친구가 정말 많아요.) 외우는 요령: “x절편을 구할 땐 그 점이 x축 위에 있으니 $y$ 가 0” — 이렇게 한 박자 생각해요.

4. 일차함수의 식 구하기 — 단서로 직선을 알아내기

이번엔 거꾸로예요. 그래프(또는 단서)를 보고 $y = ax + b$ 의 식을 알아맞히는 거예요. 탐정처럼 단서를 모아 $a$ (기울기)와 $b$ (y절편) 두 개만 알아내면, 식이 완성돼요.

(가) 기울기와 한 점이 주어질 때

예: 기울기가 3이고, 점 $(1,\ 5)$ 를 지나는 직선의 식은?

기울기가 3이라고 했으니 $a = 3$ 이에요. 식은 일단 $y = 3x + b$ 모양이고, 우리는 $b$ 만 알면 돼요. 이 직선이 점 $(1,\ 5)$ 를 지난다고 했죠? “지난다”는 건 그 점의 $x$ , $y$ 를 넣으면 식이 맞다는 뜻이에요. 그러니 $x = 1$ , $y = 5$ 를 넣어봐요.

\begin{aligned} y &= 3x + b \\ 5 &= 3 \times 1 + b \\ 5 &= 3 + b \\ b &= 5 - 3 \\ b &= 2 \end{aligned}

식은 $y = 3x + 2$ . 검산: 점 $(1,\ 5)$ 넣기 → $3 \times 1 + 2 = 3 + 2 = 5$ → $y = 5$ . (잘 지나가요.)

(나) 두 점이 주어질 때

예: 두 점 $(1,\ 3)$ 과 $(3,\ 7)$ 을 지나는 직선의 식은?

이번엔 기울기를 안 줬어요. 하지만 점이 두 개 있으면 기울기를 직접 구할 수 있어요.

두 점으로 기울기 구하기: 점 $(x_1,\ y_1)$ 과 $(x_2,\ y_2)$ 를 지날 때,

$\text{기울기} = \frac{y\text{의 변화량}}{x\text{의 변화량}} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

로 구해요. (쉽게 말해 “ $y$ 가 변한 만큼 $\div$ $x$ 가 변한 만큼”이에요.)

1단계 — 기울기부터 구해요. $(x_1,\ y_1) = (1,\ 3)$ , $(x_2,\ y_2) = (3,\ 7)$ 로 두면,

\begin{aligned} a &= \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \\ &= \frac{7 - 3}{3 - 1} \\ &= \frac{4}{2} \\ &= 2 \end{aligned}

2단계 — $b$ 를 구해요. 기울기가 2이니 식은 $y = 2x + b$ 모양. 이제 두 점 중 아무거나 하나를 넣으면 돼요. $(1,\ 3)$ 을 넣어볼게요.

\begin{aligned} y &= 2x + b \\ 3 &= 2 \times 1 + b \\ 3 &= 2 + b \\ b &= 3 - 2 \\ b &= 1 \end{aligned}

식은 $y = 2x + 1$ .

검산은 두 점 다 넣어서 확인하면 더 안심돼요.

검산 ① 점 $(1,\ 3)$ : $2 \times 1 + 1 = 2 + 1 = 3$ → $y = 3$ 검산 ② 점 $(3,\ 7)$ : $2 \times 3 + 1 = 6 + 1 = 7$ → $y = 7$

두 점 모두 식에 딱 맞으니, $y = 2x + 1$ 이 정답이에요.

식 구하기 순서

기울기 $a$ 를 먼저 구한다. (주어졌으면 그대로, 두 점이면 $\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ )

식을 $y = ax + b$ 로 쓰고, 점 하나를 넣어 $b$ 를 구한다.

검산: 구한 식에 점을 다시 넣어 맞는지 확인.

5. 그래프와 식 — 그림에서 식을 읽어내기

이번엔 그래프 그림만 보고 식을 세워볼게요. 사실 4단원에서 배운 것과 똑같아요. 그래프에서는 두 가지만 찾으면 돼요: y절편( $b$ )과 기울기( $a$ ).

① y절편 읽기 — 그래프가 y축과 만나는 점을 봐요. 그 점의 y좌표가 바로 $b$ 예요.

② 기울기 읽기 — 직선 위에서 $x$ 가 오른쪽으로 1칸 갈 때 $y$ 가 몇 칸 오르내리는지를 봐요. 위로 올라가면 $+$ , 아래로 내려가면 $-$ 예요. 칸이 안 떨어지면 “오른쪽으로 □칸 갈 때 위로 △칸”을 세어서 △ ÷ □로 구해요.

예: 어떤 직선이 점 $(0,\ -1)$ 에서 y축과 만나고, 거기서 오른쪽으로 1칸 갈 때 위로 2칸 올라가요.

① y절편: y축과 만나는 점이 $(0,\ -1)$ → $b = -1$ ② 기울기: 오른쪽 1칸 → 위로 2칸 → $a = 2 \div 1 = 2$ → 식은 $y = 2x - 1$ 검산: $x = 0$ → $2 \times 0 - 1 = -1$ (점 $(0,\ -1)$ 통과) 검산: $x = 1$ → $2 \times 1 - 1 = 1$ (오른쪽 1칸 가면 $(1,\ 1)$ , 위로 2칸 ↑ 맞음)

$\text{오른쪽으로 1칸 갈 때 } y\text{가 변한 칸 수} = \text{기울기}$ 라고 기억하면 그래프에서 식 읽기는 끝이에요.

6. 일차함수 그래프의 성질 — a와 b의 부호로 모양 알기

식 $y = ax + b$ 를 보면, 그래프를 직접 안 그려도 대략적인 모양을 알 수 있어요. 비밀은 $a$ 의 부호와 $b$ 의 부호에 있어요.

① $a$ 의 부호 → 오른쪽으로 갈 때 오르막인가 내리막인가 (증가 / 감소)

$a > 0$ (양수): $x$ 가 커지면 $y$ 도 커져요. → 오른쪽 위로 올라가는 / 모양 (증가)
$a < 0$ (음수): $x$ 가 커지면 $y$ 는 작아져요. → 오른쪽 아래로 내려가는 \ 모양 (감소)

② $b$ 의 부호 → y축과 어디서 만나는가 (y절편의 위치)

$b > 0$ : y절편이 양수 → x축보다 위쪽에서 y축과 만나요.
$b < 0$ : y절편이 음수 → x축보다 아래쪽에서 y축과 만나요.

이 둘을 합치면 직선이 어느 사분면을 지나는지까지 알 수 있어요. (사분면은 좌표평면을 십자(+)로 나눈 네 칸이에요. 오른쪽 위부터 시계 반대 방향으로 제1·2·3·4사분면이라고 불러요.)

$a$ 의 부호	$b$ 의 부호	직선 모양	지나는 사분면	예
$a > 0$	$b > 0$	오른쪽 위로 ↗	1, 2, 3	$y = 2x + 3$
$a > 0$	$b < 0$	오른쪽 위로 ↗	1, 3, 4	$y = 2x - 3$
$a < 0$	$b > 0$	오른쪽 아래로 ↘	1, 2, 4	$y = -2x + 3$
$a < 0$	$b < 0$	오른쪽 아래로 ↘	2, 3, 4	$y = -2x - 3$

표가 복잡해 보이지만, 외울 필요 없어요. $a$ 부호로 오르막/내리막을 정하고, $b$ 부호로 y축과 만나는 높이를 정한 뒤, 머릿속에 직선을 쓱 그어 보면 어느 칸을 지나는지 저절로 보여요.

예: $y = -2x + 3$ 은 $a = -2$ ( $< 0$ ) 라서 오른쪽 아래로 내려가는 직선이고, $b = 3$ ( $> 0$ ) 이라 y축의 위쪽 $(0,\ 3)$ 에서 만나요. 이런 직선은 제1·2·4사분면을 지나요.

7. y축 방향 평행이동 — 다시 정리하는 위·아래 이동

1단원에서 “ $y = ax + b$ 는 $y = ax$ 를 위·아래로 $b$ 만큼 옮긴 것”이라고 배웠죠? 이걸 평행이동이라는 말로 한 번 더 또박또박 정리할게요. (시험에 자주 나오는 표현이에요.)

$y = ax$ 의 그래프를 y축 방향으로 $b$ 만큼 평행이동하면 → $y = ax + b$ 가 된다. ( $b$ 가 양수면 위로 $b$ 칸, 음수면 아래로 $|b|$ 칸)

왜 그럴까요? 평행이동은 직선 위 모든 점을 똑같이 옮기는 거예요. 위로 $b$ 칸 옮긴다는 건 모든 점의 y좌표에 $b$ 를 더하는 것과 같아요. 그러니 식에서도 $y$ 가 $b$ 만큼 커져서 $y = ax$ 가 $y = ax + b$ 가 되는 거랍니다.

예: $y = 3x$ 를 y축 방향으로 $-2$ 만큼 평행이동하면? $y$ 에서 2를 빼는 것 $= +(-2)$ → $y = 3x - 2$ . 검산: $y = 3x$ 위의 점 $(1,\ 3)$ → 아래로 2칸 → $(1,\ 1)$ . $y = 3x - 2$ 에 $x = 1$ 넣으면 $3 - 2 = 1$

8. x축 방향 평행이동 — 좌·우로 옮기기

위·아래(y축 방향)로 옮기는 건 익숙해졌죠? 이번엔 좌·우(x축 방향)로 옮겨볼 거예요. 조금 더 까다롭지만, 결과를 외우기보다 왜 그런지 이해하면 쉬워요.

$y = ax$ 의 그래프를 x축 방향으로 $p$ 만큼 평행이동하면 → $y = a(x - p)$ 가 된다.

여기서 헷갈리기 쉬운 게 부호예요. 오른쪽으로 $p$ 만큼 옮길 때 식에는 $(x - p)$ 가 들어가요. (“오른쪽으로 $+p$ 인데 왜 $-p$ ?”라고 느껴지죠? $x$ 를 $p$ 만큼 뒤로 끌어와야 원래 위치의 $y$ 값이 나오기 때문이에요. 지금은 “오른쪽으로 $p$ 이동 → $x - p$ “만 기억해도 충분해요.)

예: $y = 2x$ 를 x축 방향으로 3만큼(오른쪽으로 3) 평행이동하면?

$y = a(x - p)$ 에서 $a = 2$ , $p = 3$ . 전개하면(괄호를 풀면) 이렇게 돼요.

\begin{aligned} y &= 2(x - 3) \\ y &= 2 \times x - 2 \times 3 \\ y &= 2x - 6 \end{aligned}

전개해 보니 $y = 2x - 6$ , 결국 우리가 아는 $y = ax + b$ 꼴이 됐어요. (여기서 $b = -2 \times 3 = -6$ 이에요. 일반적으로 $y = a(x - p)$ 를 전개하면 $y = ax - ap$ 가 돼요.)

검산을 해 볼게요. $y = 2x$ 위의 점 $(0,\ 0)$ 을 오른쪽으로 3칸 옮기면 $(3,\ 0)$ 이 되어야 해요. 새 식 $y = 2x - 6$ 에 $x = 3$ 을 넣어보면?

$y = 2 \times 3 - 6 = 6 - 6 = 0$ → 점 $(3,\ 0)$ 을 지나요.

딱 맞죠? 옮긴 점 $(3,\ 0)$ 을 새 직선이 정확히 지나가니, 평행이동이 제대로 된 거예요.

두 평행이동 한눈에 보기

y축 방향(위·아래) $b$ 만큼: $y = ax$ → $y = ax + b$

x축 방향(좌·우) $p$ 만큼: $y = ax$ → $y = a(x - p)$ ( $= y = ax - ap$ )

단원 마무리

이번 단원에서 배운 걸 한눈에 정리해 볼게요.

$y = ax + b$ 는 $y = ax$ 를 y축 방향으로 $b$ 만큼 평행이동한 직선. ( $b > 0$ 위로, $b < 0$ 아래로)
기울기 $a$ : 직선의 가파른 정도. 평행이동해도 안 변함. 기울기가 같으면 두 직선은 평행.
y절편: y축과 만나는 점의 y좌표. $x = 0$ 대입 ( $= b$ ). / x절편: x축과 만나는 점의 x좌표. $y = 0$ 대입.
식 구하기: ① 기울기 $a$ 구하기 (두 점이면 $\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ ) → ② 점 넣어 $b$ 구하기 → ③ 검산.
성질: $a$ 부호 = 증가(↗)/감소(↘), $b$ 부호 = y절편 위치 → 지나는 사분면 결정.
x축 방향 $p$ 이동: $y = a(x - p)$ (전개하면 $y = ax - ap$ ).

스스로 풀어보기 (정답·풀이 모두 있음)

연필을 들고 먼저 스스로 풀어본 다음, 아래 풀이와 맞춰보세요. 풀이는 한 줄도 생략 없이 적었어요.

문제 1. $y = 3x - 6$ 의 y절편을 구하세요. 문제 2. $y = 3x - 6$ 의 x절편을 구하세요. 문제 3. 기울기가 $-2$ 이고 점 $(1,\ 1)$ 을 지나는 일차함수의 식을 구하세요. 문제 4. 두 점 $(2,\ 5)$ 와 $(4,\ 11)$ 을 지나는 일차함수의 식을 구하세요. 문제 5. 두 직선 $y = 4x + 1$ 과 $y = 4x - 7$ 은 서로 평행한가요? 이유와 함께 답하세요. 문제 6. $y = -3x + 5$ 의 그래프는 오른쪽 위로 올라갈까요, 내려갈까요? 또 y절편은 어디인가요? 문제 7. (도전!) $y = 2x$ 를 x축 방향으로 4만큼 평행이동한 직선의 식을 $y = ax + b$ 꼴로 나타내세요. 문제 8. (도전!) y절편이 $-2$ 이고, 오른쪽으로 1칸 갈 때 위로 3칸 올라가는 직선의 식을 구하세요.

풀이 1) y = 3x − 6의 y절편

y절편은 $x = 0$ 을 대입해요.

\begin{aligned} y &= 3 \times 0 - 6 \\ y &= 0 - 6 \\ y &= -6 \end{aligned}

y절편은 $-6$ . (식의 $b$ 가 곧 y절편이므로 바로 $-6$ 이라고 봐도 돼요.)

풀이 2) y = 3x − 6의 x절편

x절편은 $y = 0$ 을 대입해요. ( $-6$ 을 이항하면 부호가 바뀌어요.)

\begin{aligned} 0 &= 3x - 6 \\ 3x - 6 &= 0 \\ 3x &= 0 + 6 \\ 3x &= 6 \\ x &= 6 \div 3 \\ x &= 2 \end{aligned}

x절편은 2. 검산: $x = 2$ → $3 \times 2 - 6 = 6 - 6 = 0$ → $y = 0$ (x축 위의 점 $(2,\ 0)$ )

풀이 3) 기울기 −2, 점 (1, 1)을 지나는 식

기울기가 $-2$ 이므로 식은 $y = -2x + b$ . 점 $(1,\ 1)$ 대입( $x = 1$ , $y = 1$ ).

\begin{aligned} 1 &= -2 \times 1 + b \\ 1 &= -2 + b \\ b &= 1 + 2 \\ b &= 3 \end{aligned}

식은 $y = -2x + 3$ . 검산: 점 $(1,\ 1)$ 넣기 → $-2 \times 1 + 3 = -2 + 3 = 1$ → $y = 1$

풀이 4) 두 점 (2, 5), (4, 11)을 지나는 식

1단계 — 기울기 구하기. $(x_1,\ y_1) = (2,\ 5)$ , $(x_2,\ y_2) = (4,\ 11)$ .

\begin{aligned} a &= \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \\ &= \frac{11 - 5}{4 - 2} \\ &= \frac{6}{2} \\ &= 3 \end{aligned}

2단계 — $b$ 구하기. 식 $y = 3x + b$ 에 점 $(2,\ 5)$ 대입.

\begin{aligned} 5 &= 3 \times 2 + b \\ 5 &= 6 + b \\ b &= 5 - 6 \\ b &= -1 \end{aligned}

식은 $y = 3x - 1$ . 검산 ① 점 $(2,\ 5)$ : $3 \times 2 - 1 = 6 - 1 = 5$ → $y = 5$ 검산 ② 점 $(4,\ 11)$ : $3 \times 4 - 1 = 12 - 1 = 11$ → $y = 11$

풀이 5) y = 4x + 1 과 y = 4x − 7 은 평행한가?

평행 여부는 ‘기울기( $a$ )‘만 비교해요. $y = 4x + 1$ 의 기울기 $= 4$ $y = 4x - 7$ 의 기울기 $= 4$ → 기울기가 4 로 같다. → 따라서 두 직선은 평행하다. ( $b$ 만 다르므로 높이만 다른 나란한 두 직선)

풀이 6) y = −3x + 5 의 모양과 y절편

$a = -3$ (음수) → $x$ 가 커지면 $y$ 는 작아진다 → ‘오른쪽 아래로 내려가는’ 직선 (감소). $b = 5$ (양수) → y절편은 5 → y축의 $(0,\ 5)$ 에서 만난다 (x축보다 위쪽). → 오른쪽 아래로 내려가며, y절편은 5 (점 $(0,\ 5)$ ).

풀이 7) (도전) y = 2x를 x축 방향으로 4만큼 평행이동

x축 방향 $p$ 이동 → $y = a(x - p)$ , 여기서 $a = 2$ , $p = 4$ . 전개하면 이렇게 돼요.

\begin{aligned} y &= 2(x - 4) \\ y &= 2 \times x - 2 \times 4 \\ y &= 2x - 8 \end{aligned}

식은 $y = 2x - 8$ . 검산: $y = 2x$ 위의 점 $(0,\ 0)$ 을 오른쪽 4칸 → $(4,\ 0)$ . $y = 2x - 8$ 에 $x = 4$ 넣기 → $2 \times 4 - 8 = 8 - 8 = 0$ → 점 $(4,\ 0)$ 통과

풀이 8) (도전) y절편 −2, 오른쪽 1칸당 위로 3칸인 직선

y절편이 $-2$ → $b = -2$ . 오른쪽으로 1칸 갈 때 위로 3칸 → 기울기 $a = 3 \div 1 = 3$ . → 식은 $y = 3x - 2$ 검산 ① $x = 0$ → $3 \times 0 - 2 = -2$ (y절편 $-2$ , 점 $(0,\ -2)$ 통과) 검산 ② $x = 1$ → $3 \times 1 - 2 = 1$ (오른쪽 1칸 → $(1,\ 1)$ , $(0,\ -2)$ 에서 위로 3칸 ↑)

몇 개 틀렸어도 괜찮아요. 특히 x절편·y절편을 바꿔 넣은 실수는 거의 모두가 한 번씩 해 보는 거예요. 풀이를 다시 천천히 읽으며 어디서 갈렸는지 찾아보면, 그게 바로 실력이 느는 순간이에요.

쉬어가기

기울기와 절편은 생활 속 ‘요금표’에 숨어 있어요

택시 요금은 보통 “기본요금 + 거리에 따른 추가요금”으로 정해져요. 예를 들어 기본요금 4000원에, 1km마다 1000원씩 더 붙는다고 해 봐요. 이걸 식으로 쓰면 이렇게 돼요. ( $x =$ 간 거리(km), $y =$ 요금(원))

$y = 1000x + 4000$

어디서 본 모양이죠? 바로 $y = ax + b$ 예요! 여기서

$b = 4000$ (y절편): 아직 한 발짝(0km)도 안 갔을 때 내는 돈, 즉 기본요금이에요. 그래프가 y축과 만나는 높이가 곧 기본요금이죠.
$a = 1000$ (기울기): 1km 갈 때마다 늘어나는 돈, 즉 거리당 추가요금이에요. 기울기가 가파를수록(숫자가 클수록) 요금이 빨리 올라가요.

휴대폰 요금제(기본료 + 사용량당 요금), 헬스장(가입비 + 월 회비), 주차장(기본 30분 + 10분당 추가)… 이렇게 “처음에 딱 정해진 값 + 늘어날 때마다 일정하게 더해지는 값” 구조는 우리 주변에 정말 많아요. 그 모든 게 사실은 일차함수 $y = ax + b$ 랍니다.

그래서 일차함수를 잘 읽으면, 어떤 요금제가 더 이득인지(어디서 두 그래프가 만나는지)까지 척척 비교할 수 있어요. 수학이 생활에 이렇게 가까이 있다니, 조금 신기하지 않나요?

다음 글에서는 지금까지 배운 두 일차함수의 그래프가 만나는 점, 즉 연립방정식과 그래프의 관계를 다룰 거예요. 두 요금제 중 어느 게 이득인지 그래프로 한눈에 가려내는 이야기죠. 오늘 배운 기울기·절편·평행이동만 손에 익혀 두면 다음 단원도 한결 수월해요.