중학 함수 ① 함수란 무엇일까? — 대응으로 이해하는 함수와 f(x)

지금부터 함수를 아주 천천히, 하나도 빠짐없이 같이 알아볼 거예요. “함수? 이름부터 어렵게 생겼는데…” 하는 친구도 걱정 마세요. 함수는 사실 우리 일상 곳곳에 숨어 있는 아주 친근한 개념이에요. 자판기, 키와 그림자, 택시 요금… 전부 함수랍니다. 어려운 말은 하나씩 풀어서 설명하고, 그림으로 보여주고, 계산도 한 줄도 건너뛰지 않고 같이 할 거예요. 천천히 따라오기만 하면 돼요.

이 글의 약속

새로운 말이 나오면 무슨 뜻인지 먼저 설명해요.

가장 중요한 한 문장, “하나에 하나”를 계속 반복할 거예요. (함수의 핵심이거든요)

계산은 한 단계씩 보여주고, 답을 구하면 검산(맞는지 확인)까지 해요.

1. 함수의 의미 — “하나를 넣으면 하나가 나온다”

먼저 아주 익숙한 물건 하나를 떠올려 볼게요. 바로 자판기예요.

자판기에서 ‘콜라’ 버튼을 누르면 → 콜라가 나와요. ‘사이다’ 버튼을 누르면 → 사이다가 나오고요.

여기서 아주 중요한 점이 있어요. 콜라 버튼을 눌렀는데 어떤 날은 콜라, 어떤 날은 커피가 나온다면? 그건 고장 난 자판기겠죠. 제대로 된 자판기는 하나의 버튼을 누르면 항상 정해진 하나의 음료가 나와요. 이렇게 “하나를 넣으면 정해진 하나가 나오는” 관계, 이게 바로 함수의 핵심이에요.

이제 수학의 말로 바꿔 볼게요. 어떤 정사각형의 한 변의 길이를 정하면, 그 정사각형의 둘레가 딱 정해지죠? 한 변이 1이면 둘레는 4, 한 변이 2이면 둘레는 8처럼요.

한 변의 길이 ( $x$ )	1	2	3	4	5
정사각형 둘레 ( $y$ )	4	8	12	16	20

여기서 변하는 두 값이 있어요. 한 변의 길이를 $x$ , 둘레를 $y$ 라고 부를게요. 이렇게 값이 변하는 수를 변수라고 해요. (“변할 변(變), 셈 수(數)” — 변하는 수라는 뜻이에요.)

표를 잘 보세요. $x$ 를 하나 정하면 그에 따라 $y$ 도 딱 하나 정해지죠? $x$ 가 3이면 $y$ 는 12 하나로 정해져요. 12였다가 13이었다가 하지 않아요. 바로 이럴 때 우리는 “ $y$ 는 $x$ 의 함수”라고 말해요.

함수의 정의: 두 변수 $x$ , $y$ 에 대하여 $x$ 의 값이 하나 정해지면 거기에 따라 $y$ 의 값이 오직 하나로 정해질 때, $y$ 는 $x$ 의 함수라고 한다.

이 정의에서 가장 중요한 말은 “오직 하나”예요. 너무 중요해서 한 번 더 쓸게요.

함수의 한 문장: 하나( $x$ )에 하나( $y$ ). $x$ 하나에 $y$ 가 정확히 하나씩.

함수가 아닌 경우도 있어요

그럼 함수가 아닌 경우는 어떤 걸까요? $x$ 하나에 $y$ 가 여러 개가 딸려 나오면 함수가 아니에요. 예를 들어 볼게요.

“어떤 자연수 $x$ 보다 작은 자연수 $y$ ”

$x$ 가 5라고 해 볼게요. 5보다 작은 자연수 $y$ 는 1, 2, 3, 4… 여러 개가 나와요. $y$ 가 하나로 정해지지 않죠? 그래서 이건 함수가 아니에요. “하나에 하나”가 깨졌으니까요.

반대로, $x$ 보다 1만큼 큰 자연수 $y$ 는 어떨까요? $x$ 가 5면 $y$ 는 6 하나뿐이에요. $x$ 가 10이면 $y$ 는 11 하나뿐이고요. 이건 “하나에 하나”니까 함수가 맞아요.

한 줄 정리 $x$ 하나에 $y$ 가 정확히 하나면 함수, $y$ 가 여러 개면 함수가 아니다.

2. 함수의 기호 — y = f(x)

함수를 매번 “ $y$ 는 $x$ 의 함수예요”라고 말로 쓰면 번거롭겠죠? 그래서 수학자들은 짧고 멋진 기호를 만들었어요. 바로 이거예요.

$y = f(x)$

처음 보면 좀 낯설죠? 하나씩 뜯어볼게요.

$f$ 는 함수(규칙)에 붙인 이름이에요. 영어로 함수가 function이라서 $f$ 를 즐겨 써요. (사람 이름이 철수, 영희이듯, 함수에도 이름을 붙이는 거예요. $g$ , $h$ 를 쓰기도 해요.)
$f(x)$ 는 “ $f$ 라는 규칙에 $x$ 를 넣었더니 나온 결과”라는 뜻이에요.
그 결과가 곧 $y$ 니까 $y = f(x)$ 라고 쓰는 거예요.

자판기로 비유하면, $f$ 는 자판기 그 자체(규칙), $x$ 는 누른 버튼(넣는 값), $f(x)$ 는 나온 음료(결과)예요.

자판기로 보는 함수: x 넣으면 f(x) 나옴

함숫값 — f(2)가 무슨 뜻일까?

$f(x)$ 에서 $x$ 자리에 구체적인 수를 넣으면, 그때 나오는 값을 함숫값이라고 해요. 예를 들어 $f(2)$ 는 “ $x$ 에 2를 넣었을 때 나오는 값”이에요.

말로만 하면 헷갈리니까, 진짜 규칙을 하나 정해서 계산해 볼게요.

규칙: $f(x) = 2x + 1$ (어떤 수를 넣으면, 2배 한 다음 1을 더해서 내보내는 규칙)

이 규칙에 3을 넣어볼게요. 즉 $f(3)$ 을 구하는 거예요. $x$ 자리에 3을 그대로 대입(넣는다는 뜻)하면 돼요.

$x$ 자리에 3을 대입하면

\begin{aligned} f(x) &= 2x + 1 \\ f(3) &= 2 \times 3 + 1 \\ &= 6 + 1 \\ &= 7 \end{aligned}

검산: $2 \times 3 = 6$ , $6 + 1 = 7$ 이므로 $f(3) = 7$ .

그러니까 $f(3) = 7$ 이에요. “ $f$ 라는 규칙에 3을 넣었더니 7이 나왔다”는 뜻이죠.

이번엔 $f(5)$ 도 구해볼게요. 똑같이 $x$ 자리에 5를 넣으면 돼요.

$x$ 자리에 5를 대입하면

\begin{aligned} f(x) &= 2x + 1 \\ f(5) &= 2 \times 5 + 1 \\ &= 10 + 1 \\ &= 11 \end{aligned}

검산: $2 \times 5 = 10$ , $10 + 1 = 11$ 이므로 $f(5) = 11$ .

외워두면 좋은 한 문장 $f(2)$ 는 “ $x$ 에 2를 넣었을 때의 값”, 즉 함숫값이에요. 대입해서 계산하면 돼요.

자주 하는 실수 $f(3)$ 을 ” $f$ 곱하기 3”으로 오해하면 안 돼요. $f(3)$ 은 곱셈이 아니라 ” $f$ 규칙에 3을 넣는다”는 뜻이에요.

3. 관계식 — 말을 식으로 옮기기

함수에서는 $x$ 와 $y$ 의 관계를 식으로 나타내는 일이 아주 많아요. 이런 식을 관계식이라고 불러요. 자주 나오는 세 가지를 만나볼게요.

(1) 정비례 — y = ax

한 자루에 500원인 연필을 $x$ 자루 사면, 가격 $y$ 는 얼마일까요? 한 자루에 500원이니까 $x$ 자루면 $500 \times x$ 원이죠. 식으로 쓰면 이래요.

$y = 500x$

이렇게 $x$ 가 2배, 3배가 되면 $y$ 도 2배, 3배가 되는 관계를 정비례라고 해요. 정비례는 항상 $y = ax$ ( $a$ 는 0이 아닌 정해진 수) 모양이에요. 위 식에서는 $a$ 가 500이죠.

연필 수 $x$	1	2	3	4
가격 $y$ (원)	500	1000	1500	2000

$x$ 가 1에서 2로 2배가 되니 $y$ 도 500에서 1000으로 2배가 됐죠? 이게 정비례예요.

(2) 반비례 — y = a/x

이번엔 다른 상황이에요. 사탕 12개를 친구 $x$ 명이 똑같이 나눠 가지면, 한 명이 받는 개수 $y$ 는 몇 개일까요? 12개를 $x$ 명으로 나누니까 $12 \div x$ , 즉 이렇게 써요.

$y = \frac{12}{x}$

이렇게 $x$ 가 2배가 되면 $y$ 는 반대로 절반( $\frac{1}{2}$ 배)이 되는 관계를 반비례라고 해요. 반비례는 항상 $y = \frac{a}{x}$ 모양이에요. 위 식에서는 $a$ 가 12고요.

친구 수 $x$	1	2	3	4	6
한 명 몫 $y$ (개)	12	6	4	3	2

$x$ 가 1에서 2로 2배가 되니 $y$ 는 12에서 6으로 절반이 됐어요. 이게 반비례예요.

(3) 일차식 — y = ax + b

조금 더 복잡한 상황도 있어요. 기본요금 1000원에, 1km마다 800원씩 더 받는 택시를 $x$ km 탔을 때 요금 $y$ 를 생각해 볼게요. 기본요금 1000원에 $800 \times x$ 원이 더해지니까요.

$y = 800x + 1000$

이렇게 $y = ax + b$ 모양(정비례에 일정한 수 $b$ 가 더 붙은 모양)을 다음 편에서 배울 일차함수라고 불러요. 지금은 “말을 식으로 옮기면 이런 모양이 나오는구나” 정도만 느끼면 충분해요.

말 → 식으로 옮기는 연습

말 식
$x$ 의 3배 $y = 3x$
$x$ 의 3배보다 2 큰 수 $y = 3x + 2$
넓이 24를 $x$ 로 나눈 가로 $y = \frac{24}{x}$
$x$ 에서 5를 뺀 수 $y = x - 5$

말	식
$x$ 의 3배	$y = 3x$
$x$ 의 3배보다 2 큰 수	$y = 3x + 2$
넓이 24를 $x$ 로 나눈 가로	$y = \frac{24}{x}$
$x$ 에서 5를 뺀 수	$y = x - 5$

이 셋(정비례, 반비례, 일차식)은 모두 $x$ 하나에 $y$ 가 하나씩 정해지죠? 그러니까 전부 함수예요. 식이 있으면 함수인지 확인하기가 참 편하답니다.

4. 그림으로 보는 함수 — 대응 화살표

함수를 그림으로 보면 “하나에 하나”의 뜻이 눈에 확 들어와요. 이런 그림을 대응 그림이라고 해요. 대응은 “짝을 지어 연결한다”는 뜻이에요.

왼쪽에 $x$ 값들이 모여 있는 집합 X, 오른쪽에 $y$ 값들이 모여 있는 집합 Y를 두고, X의 각 값에서 Y의 값으로 화살표를 하나씩 그리는 거예요.

함수인 대응과 함수가 아닌 대응

함수인 대응 (왼쪽 그림)

규칙 $f(x) = 2x$ 를 그림으로 그려볼게요. X = {1, 2, 3}, 즉 $x$ 에 1, 2, 3을 넣어요.

$x = 1$ → $f(1) = 2 \times 1 = 2$
$x = 2$ → $f(2) = 2 \times 2 = 4$
$x = 3$ → $f(3) = 2 \times 3 = 6$

그러면 1은 2로, 2는 4로, 3은 6으로 화살표가 딱 하나씩 뻗어 나가요. X의 모든 값에서 화살표가 하나씩 나가죠? 이게 바로 함수인 대응이에요.

함수가 되는 그림의 조건 X의 각 값에서 화살표가 정확히 하나씩 나가야 한다. (하나도 빠짐없이, 하나씩만.)

함수가 아닌 대응 (오른쪽 그림)

만약 $x = 1$ 에서 화살표가 두 개(예: 2로도 가고 3으로도 가고) 나간다면 어떨까요? $x$ 하나에 $y$ 가 둘이 되니까 “하나에 하나”가 깨져요. 그래서 이건 함수가 아니에요.

또, $x = 2$ 에서 화살표가 하나도 안 나가도 함수가 아니에요. $x = 2$ 에 대응하는 $y$ 가 없는 거니까요. 정리하면 이래요.

상황	함수일까?
X의 각 값에서 화살표가 하나씩	함수 맞음
어떤 값에서 화살표가 두 개 이상	함수 아님
어떤 값에서 화살표가 없음	함수 아님

한 줄 정리 대응 그림에서 출발점(X)마다 화살표가 딱 하나씩 나가면 함수예요. (Y쪽에 화살표가 여러 개 모이는 건 괜찮아요. 출발점 기준으로만 보면 돼요.)

5. 관계식이 없는 함수 — 표나 그래프로만

여기서 아주 중요한 사실 하나. 함수라고 하면 꼭 $y = 2x$ 같은 식이 있어야 할 것 같지만, 그렇지 않아요. 식이 없어도 ” $x$ 하나에 $y$ 가 하나씩”이기만 하면 함수예요.

표로만 주어지는 함수

예를 들어 일주일 동안 매일 정오에 잰 기온을 적은 표예요.

요일 $x$	월	화	수	목	금
기온 $y$ (℃)	21	23	20	24	22

이 기온을 딱 맞히는 식 같은 건 없어요. 그래도 요일 하나를 정하면 기온이 하나로 정해지죠? ‘수요일’ 하면 20℃ 하나로요. 그래서 이것도 어엿한 함수예요.

그래프로만 주어지는 함수

병원에서 보는 심장 박동 그래프나, 하루 동안의 기온 변화 그래프를 떠올려 보세요. 식으로 적을 수는 없지만, 시각 $x$ 를 하나 정하면 그때의 값 $y$ 가 하나로 정해져요. 이런 그래프도 함수랍니다.

식 없이 표·그래프로 주어진 함수

꼭 기억하기 함수의 기준은 식이 있느냐가 아니라, 오직 ” $x$ 하나에 $y$ 가 하나냐”예요. 식, 표, 그래프, 말 — 어떤 모습이든 이 조건만 지키면 전부 함수예요.

단원 마무리

이번 단원에서 배운 걸 한눈에 정리해 볼게요.

변수: 여러 값으로 변하는 수(보통 $x$ , $y$ ).
함수: $x$ 값이 하나 정해지면 $y$ 값이 오직 하나로 정해질 때, $y$ 는 $x$ 의 함수. → 핵심은 언제나 “하나에 하나”.
함수가 아닌 경우: $x$ 하나에 $y$ 가 여러 개거나, 짝이 없는 경우.
기호 $y = f(x)$ : $f$ 는 함수(규칙)의 이름, $f(x)$ 는 $x$ 를 넣어 나온 값.
함숫값 $f(2)$ : $x$ 에 2를 대입해 계산한 값.
관계식: 정비례 $y = ax$ , 반비례 $y = \frac{a}{x}$ , 일차식 $y = ax + b$ 등.
식이 없어도 표·그래프로 “하나에 하나”면 함수다.

스스로 풀어보기 (정답·풀이 모두 있음)

연필을 들고 먼저 스스로 풀어본 다음, 아래 풀이와 맞춰보세요.

문제 1. 다음 중 $y$ 가 $x$ 의 함수인 것을 모두 고르세요. (가) $x$ 보다 2 큰 수 $y$ (나) $x$ 보다 작은 자연수 $y$ (다) 정육각형 한 변 $x$ 의 둘레 $y$

문제 2. $f(x) = 3x + 1$ 일 때, $f(2)$ 를 구하세요.

문제 3. $f(x) = 3x + 1$ 일 때, $f(0)$ 을 구하세요.

문제 4. $f(x) = \frac{6}{x}$ 일 때, $f(3)$ 을 구하세요.

문제 5. “공책 한 권이 700원일 때, $x$ 권의 값 $y$ 원”을 식으로 나타내세요.

문제 6. $f(x) = 2x - 5$ 일 때, $f(4)$ 를 구하세요.

문제 7. (도전!) $f(x) = 4x - 3$ 일 때, $f(x) = 9$ 가 되는 $x$ 를 구하세요.

문제 8. (도전!) $f(x) = 2x + 1$ 일 때, $f(1) + f(2)$ 를 구하세요.

풀이 1) 함수 고르기

(가) $x$ 보다 2 큰 수 $y$ → $x = 3$ 이면 $y = 5$ 하나, $x = 4$ 면 $y = 6$ 하나. “하나에 하나”이므로 함수 맞음. (나) $x$ 보다 작은 자연수 $y$ → $x = 5$ 면 $y = 1, 2, 3, 4$ (여러 개). “하나에 하나” 깨짐, 함수 아님. (다) 정육각형 둘레 $y = 6x$ → $x = 2$ 면 $y = 12$ 하나. “하나에 하나”이므로 함수 맞음. 정답: (가), (다)

풀이 2) f(2), f(x) = 3x + 1

$x$ 자리에 2를 대입하면

\begin{aligned} f(x) &= 3x + 1 \\ f(2) &= 3 \times 2 + 1 \\ &= 6 + 1 \\ &= 7 \end{aligned}

검산: $3 \times 2 = 6$ , $6 + 1 = 7$ 이므로 $f(2) = 7$ .

풀이 3) f(0), f(x) = 3x + 1

$x$ 자리에 0을 대입하면

\begin{aligned} f(x) &= 3x + 1 \\ f(0) &= 3 \times 0 + 1 \\ &= 0 + 1 \\ &= 1 \end{aligned}

검산: $3 \times 0 = 0$ , $0 + 1 = 1$ 이므로 $f(0) = 1$ .

풀이 4) f(3), f(x) = 6/x

$x$ 자리에 3을 대입하면

\begin{aligned} f(x) &= \frac{6}{x} \\ f(3) &= \frac{6}{3} \\ &= 2 \end{aligned}

검산: $6 \div 3 = 2$ 이므로 $f(3) = 2$ .

풀이 5) 공책 x권의 값

한 권이 700원이고 $x$ 권을 사니까 $700 \times x$ .

$y = 700x$

검산: $x = 2$ 면 $y = 700 \times 2 = 1400$ (원). 2권에 1400원이 맞음.

풀이 6) f(4), f(x) = 2x − 5

$x$ 자리에 4를 대입하면

\begin{aligned} f(x) &= 2x - 5 \\ f(4) &= 2 \times 4 - 5 \\ &= 8 - 5 \\ &= 3 \end{aligned}

검산: $2 \times 4 = 8$ , $8 - 5 = 3$ 이므로 $f(4) = 3$ .

풀이 7) f(x) = 9가 되는 x, f(x) = 4x − 3 (도전)

$f(x) = 4x - 3$ 이고, 이것이 9가 되어야 하므로 양변에 3을 더하고, 양변을 4로 나눠요.

\begin{aligned} 4x - 3 &= 9 \\ 4x &= 9 + 3 \\ 4x &= 12 \\ x &= 12 \div 4 \\ x &= 3 \end{aligned}

검산: $f(3) = 4 \times 3 - 3 = 12 - 3 = 9$ 이므로 $9 = 9$ .

풀이 8) f(1) + f(2), f(x) = 2x + 1 (도전)

먼저 $f(1)$ , 다음 $f(2)$ 를 구한 뒤 둘을 더해요.

\begin{aligned} f(1) &= 2 \times 1 + 1 = 2 + 1 = 3 \\ f(2) &= 2 \times 2 + 1 = 4 + 1 = 5 \\ f(1) + f(2) &= 3 + 5 = 8 \end{aligned}

검산: $f(1) = 3$ , $f(2) = 5$ , $3 + 5 = 8$ .

몇 개 틀렸어도 괜찮아요. 특히 함수 판별 문제는 ” $x$ 하나에 $y$ 가 하나냐?” 이 한 문장으로 다시 확인해 보면 금방 보일 거예요.

쉬어가기

‘함수(函數)‘와 ‘function’이라는 이름

입력하면 정해진 출력이 나오는 기계 비유

영어로 함수는 function이에요. 이 말에는 ‘기능, 작용’이라는 뜻이 있어요. 어떤 것을 넣으면 정해진 작용을 거쳐 결과가 나온다는 느낌이죠. 자판기에 버튼을 누르면(입력) 음료가 나오고(출력), 믹서기에 과일을 넣으면 주스가 나오는 것처럼요.

한자로 쓰는 ‘함수(函數)‘의 ‘함(函)‘은 사실 ‘상자’라는 뜻이에요. 옛날에 중국에서 function을 번역할 때, 소리가 비슷한 글자를 빌려 적은 데서 비롯됐다고 알려져 있어요. 그러고 보면 ‘상자에 수를 넣으면 수가 나온다’는 함수의 모습과도 묘하게 잘 어울리죠?

수백 년 전 수학자들이 고민해서 만든 이 ‘입력 → 작용 → 출력’ 아이디어가, 오늘날 계산기, 컴퓨터 프로그램, 게임 속 점수 계산까지 세상의 거의 모든 자동 장치의 바탕이 되었어요. 오늘 배운 “하나에 하나”가 그렇게 큰 아이디어였던 거예요.

다음 글에서는 함수를 눈으로 보는 방법, 즉 좌표평면과 그래프를 배울 거예요. $x$ 와 $y$ 를 점 $(x,\ y)$ 로 찍어서 그림으로 그리면, 함수의 모양이 한눈에 보이거든요. 오늘 배운 “하나에 하나”와 $f(x)$ 계산, 이 두 가지를 손에 익혀두면 다음 단원으로 이어집니다.