중학 일차방정식 ⑧ 도형·과부족·일 — 도형·과부족·긴 의자·일 문제

드디어 마지막 편이에요. 1편에서 “방정식이 뭐예요?” 하고 조심조심 첫발을 뗀 여러분이, 이제 도형·돈·일까지 식으로 척척 세우는 자리까지 왔어요. 이번 편에서는 조금 더 어른스러운(?) 활용 문제 다섯 가지를 차근차근 다뤄요.

이번에도 약속은 똑같아요.

이 글의 약속

새로운 유형이 나오면 무엇을 $x$ 로 둘지부터 같이 정해요.

식을 세우는 생각의 길을 그림·표로 먼저 보여줘요.

계산은 한 단계씩, 그리고 답은 검산까지 해요.

이번 편의 큰 주제는 딱 하나예요.

“같은 것을 두 가지 방법으로 표현하면, 그 둘은 $=$ (같다)로 이을 수 있다.”

이 한 문장이 과부족·긴 의자 문제를 푸는 열쇠랍니다. 천천히 가 볼게요.

1. 도형에 대한 문제 — 둘레와 넓이를 식으로

도형 문제라고 겁먹지 마세요. 우리가 쓸 공식은 딱 두 개뿐이에요. 그것도 아주 익숙한 거요.

직사각형 공식 두 가지

둘레 $= 2 \times (\text{가로} + \text{세로})$ … 네 변을 다 더한 것과 같아요.

넓이 $= \text{가로} \times \text{세로}$

$\text{직사각형 둘레} = 2 \times (\text{가로} + \text{세로})$

$\text{직사각형 넓이} = \text{가로} \times \text{세로}$

왜 둘레가 $2 \times (\text{가로} + \text{세로})$ 일까요? 직사각형은 가로 변이 위·아래로 2개, 세로 변이 좌·우로 2개예요. 그래서 (가로 + 세로)를 두 번 더한 것, 즉 $2 \times (\text{가로} + \text{세로})$ 가 되는 거예요.

직사각형의 가로·세로·둘레·넓이 개념도

예제) 가로가 세로보다 3 cm 길고, 둘레가 26 cm인 직사각형

무엇을 $x$ 로 둘까요? “가로가 세로보다 길다”처럼 다른 것의 기준이 되는 쪽을 $x$ 로 두면 편해요. 여기서는 세로를 기준 삼아 $x$ 로 둘게요.

부분	식으로	설명
세로	$x$	기준이 되는 쪽
가로	$x + 3$	세로보다 3 길다
둘레	$2 \times (\text{가로} + \text{세로})$	$= 26$

이제 둘레 공식에 그대로 넣어 식을 세워요.

식 세우기: 가로 $(x+3)$ + 세로 $(x)$ 를 넣어요.

\begin{aligned} 2 \times ((x + 3) + x) &= 26 \end{aligned}

① 괄호 안을 먼저 정리하면 $(x + 3) + x = 2x + 3$ .

\begin{aligned} 2 \times (2x + 3) &= 26 \end{aligned}

② 괄호 앞의 2를 곱해서 푼다(분배): $2 \times 2x + 2 \times 3$ .

\begin{aligned} 4x + 6 &= 26 \end{aligned}

③ $+6$ 을 이항한다.

\begin{aligned} 4x &= 26 - 6 \\ 4x &= 20 \end{aligned}

④ 양변을 4로 나눈다.

\begin{aligned} x &= 20 \div 4 \\ x &= 5 \end{aligned}

$x = 5$ 이니까 세로 $= 5$ cm, 가로 $= 5 + 3 = 8$ cm예요.

검산: 둘레 $= 2 \times (8 + 5) = 2 \times 13 = 26$ → $26 = 26$

덤으로 넓이도 구할 수 있어요. 넓이 $= \text{가로} \times \text{세로} = 8 \times 5 = 40$ (cm²).

도형 문제 푸는 순서

기준이 되는 변을 $x$ 로 둔다.

나머지 변을 $x$ 로 나타낸다(예: $x + 3$ ).

둘레 공식 / 넓이 공식에 넣어 방정식을 세운다.

풀고 → 공식에 다시 넣어 검산한다.

2. 총합을 알 때의 문제 — 두 가지를 섞을 때

이번엔 두 종류가 섞여 있고, 전체 개수와 전체 금액을 둘 다 아는 문제예요. 동전 문제가 대표 선수죠.

예제) 50원·100원짜리 동전이 모두 12개, 금액 합이 900원

여기엔 우리가 아는 게 두 가지예요. ① 개수의 합(12개), ② 금액의 합(900원). 미지수도 두 종류(50원 개수, 100원 개수)지만, 하나만 $x$ 로 두면 나머지는 저절로 정해져요.

50원짜리를 $x$ 개라고 두면, 전체가 12개니까 100원짜리는 $(12 - x)$ 개예요. 표로 정리하면 머리가 시원해져요.

종류	개수	금액(원)
50원짜리	$x$	$50 \times x = 50x$
100원짜리	$12 - x$	$100 \times (12 - x)$
합계	$12$ (이미 사용함)	$900$

이제 금액의 합으로 식을 세워요. (개수의 합은 이미 $12 - x$ 를 만들 때 써먹었어요.)

\begin{aligned} 50x + 100 \times (12 - x) &= 900 \end{aligned}

① 괄호를 푼다: $100 \times 12 = 1200$ , $100 \times (-x) = -100x$ .

\begin{aligned} 50x + 1200 - 100x &= 900 \end{aligned}

② $x$ 끼리 모은다: $50x - 100x = -50x$ .

\begin{aligned} -50x + 1200 &= 900 \end{aligned}

③ $+1200$ 을 이항한다.

\begin{aligned} -50x &= 900 - 1200 \\ -50x &= -300 \end{aligned}

④ 양변을 $-50$ 으로 나눈다(음수 $\div$ 음수 $=$ 양수).

\begin{aligned} x &= (-300) \div (-50) \\ x &= 6 \end{aligned}

50원짜리는 6개, 그러면 100원짜리는 $12 - 6 = 6$ 개예요.

검산: 개수 합 $= 6 + 6 = 12$ → $12 = 12$ 금액 합 $= 50 \times 6 + 100 \times 6 = 300 + 600 = 900$ → $900 = 900$

개수와 금액 둘 다 맞으니 안심이에요. 이렇게 “개수의 합”으로 $(12 - x)$ 를 만들고, “금액의 합”으로 식을 세우는 두 관계가 이 유형의 핵심이에요.

3. 과부족에 대한 문제 — 같은 양을 두 번 말하기

드디어 이번 편의 주인공 등장이에요. ‘과부족(過不足)‘은 한자 그대로 남거나(過) 모자라거나(不足) 하는 상황을 뜻해요. 예를 들면 이런 문제요.

사탕을 학생들에게 나눠줘요.

4개씩 주면 5개가 남고,

5개씩 주면 3개가 모자라요. 학생은 몇 명이고, 사탕은 몇 개일까요?

핵심 아이디어는 이거예요. 사탕의 전체 개수는 하나로 정해져 있다는 점이에요. 그런데 그 “하나뿐인 사탕 수”를 두 가지 방법으로 말할 수 있어요.

학생 수를 $x$ 명이라고 둘게요.

4개씩 주면 5개가 남는다 → 나눠준 사탕 $4 \times x$ 개에, 남은 5개를 더하면 전체예요. → 사탕 수 $=$ $4x + 5$
5개씩 주면 3개가 모자란다 → 나눠주려면 $5 \times x$ 개가 필요한데, 3개가 부족했으니 실제 사탕은 그보다 3개 적어요. → 사탕 수 $=$ $5x - 3$

4개씩 주면 5개 남고 5개씩 주면 3개 모자란 막대 비교 그림

그림처럼 위·아래 막대는 똑같은 사탕 한 무더기를 표현한 거예요. 길이가 같아야 하죠? 그러니 두 식을 $=$ 로 이으면 돼요.

“같은 사탕 수”를 두 가지로 썼으니 → $4x + 5 = 5x - 3$

① $x$ 를 한쪽(왼쪽)으로, 숫자를 다른 쪽(오른쪽)으로 이항한다( $5x$ 는 왼쪽으로 $-5x$ , $+5$ 는 오른쪽으로 $-5$ ). ② 정리한다( $4x - 5x = -x$ , $-3 - 5 = -8$ ). ③ 양변에 $-1$ 을 곱한다(양변을 $-1$ 로 나눠도 같아요).

\begin{aligned} 4x + 5 &= 5x - 3 \\ 4x - 5x &= -3 - 5 \\ -x &= -8 \\ x &= 8 \end{aligned}

학생은 8명이에요. 사탕 수는 두 식 중 아무거나 넣어 구하면 돼요.

\begin{aligned} \text{사탕 수} &= 4x + 5 = 4 \times 8 + 5 = 32 + 5 = 37 \ (\text{개}) \end{aligned}

검산: 두 식 모두에 넣어 같은 값이 나오는지 확인해요. 4개씩: $4 \times 8 + 5 = 32 + 5 = 37$ 5개씩: $5 \times 8 - 3 = 40 - 3 = 37$ $37 = 37$ (사탕 37개로 둘 다 딱 맞아요)

한 줄 정리 과부족 문제는 “같은 전체 양”을 두 가지로 써서 $=$ 로 잇는다. 남으면 $+$ (더해야 전체), 모자라면 $-$ (빼야 전체).

4. 긴 의자에 대한 문제 — 자리 채우기의 과부족

긴 의자(벤치) 문제도 사실은 과부족 문제의 친척이에요. “같은 학생 수를 두 가지로 표현해서 $=$ 로 잇는다”는 아이디어가 똑같거든요. 한 번 더 연습한다고 생각하면 돼요.

어떤 반 학생들이 긴 의자에 앉아요.

한 의자에 5명씩 앉으면 4명이 못 앉고,

한 의자에 6명씩 앉으면 의자 2개가 남아요. 의자는 몇 개이고, 학생은 몇 명일까요?

이번엔 의자 수를 $x$ 개로 둘게요. 그리고 학생 수를 두 가지로 표현해 볼 거예요.

5명씩 앉으면 4명이 못 앉는다 → 의자 $x$ 개에 5명씩 앉히면 $5 \times x$ 명이 앉고, 거기에 못 앉은 4명을 더하면 전체 학생이에요. → 학생 수 $=$ $5x + 4$
6명씩 앉으면 의자 2개가 남는다 → 빈 의자 2개를 빼면 실제로 쓴 의자는 $(x - 2)$ 개고, 거기에 6명씩 꽉 찼다는 뜻이에요. → 학생 수 $=$ $6 \times (x - 2)$

5명씩 앉으면 4명 남고 6명씩 앉으면 의자 2개 비는 의자 그림

학생 수는 하나뿐이니, 두 표현을 $=$ 로 이어요.

$5x + 4 = 6 \times (x - 2)$

① 오른쪽 괄호를 푼다: $6 \times x = 6x$ , $6 \times (-2) = -12$ . ② $x$ 는 왼쪽, 숫자는 오른쪽으로 이항한다. ③ 정리한다( $5x - 6x = -x$ , $-12 - 4 = -16$ ). ④ 양변에 $-1$ 을 곱한다.

\begin{aligned} 5x + 4 &= 6 \times (x - 2) \\ 5x + 4 &= 6x - 12 \\ 5x - 6x &= -12 - 4 \\ -x &= -16 \\ x &= 16 \end{aligned}

의자는 16개예요. 학생 수는 식에 넣어 구해요.

\begin{aligned} \text{학생 수} &= 5x + 4 = 5 \times 16 + 4 = 80 + 4 = 84 \ (\text{명}) \end{aligned}

검산: 5명씩: $5 \times 16 + 4 = 80 + 4 = 84$ 6명씩: $6 \times (16 - 2) = 6 \times 14 = 84$ $84 = 84$ (확인: 6명씩 앉으면 $84 \div 6 = 14$ 개 의자가 꽉 차고, $16 - 14 = 2$ 개가 남죠. 맞아요.)

긴 의자 문제 정리

못 앉은 학생이 있으면 → 더한다 ( $5x + 4$ )

의자가 남으면 → 그 의자만큼 빼고 한 의자에 꽉 채운다 ( $6 \times (x - 2)$ )

둘 다 같은 학생 수이므로 $=$ 로 잇는다.

5. 일에 대한 문제 — 전체 일을 1로 두기

마지막 유형은 ‘일(work) 문제’예요. “혼자 하면 며칠, 둘이 함께 하면 며칠?” 같은 문제죠. 조금 새로운 발상이 필요한데, 천천히 가면 하나도 안 어려워요.

왜 전체 일을 ‘1’로 둘까요?

예를 들어 벽에 페인트 칠하기라는 일이 있다고 해요. 이 일의 양을 “몇 ㎡” 같은 숫자로 굳이 정하지 않아도 돼요. 그냥 이 일 전체를 $1$ (= 100%, 통째로 하나)이라고 약속하면 계산이 깔끔해지거든요.

$\text{전체 일} = 1$ 로 약속하면… 어떤 사람이 그 일을 혼자 $n$ 일 만에 끝낸다면, 하루에 하는 일의 양(일률) $= 1 \div n = \dfrac{1}{n}$ 이에요.

왜 $\dfrac{1}{n}$ 일까요? 전체( $1$ )를 $n$ 일 동안 똑같이 나눠서 한다고 보면, 하루치는 전체의 $n$ 분의 1, 즉 $\dfrac{1}{n}$ 이니까요. 케이크 한 판( $1$ )을 4일에 걸쳐 똑같이 나눠 먹으면 하루에 $\dfrac{1}{4}$ 판씩 먹는 것과 같아요.

예제) A는 혼자 6일, B는 혼자 12일 걸리는 일. 둘이 함께 하면 며칠?

먼저 하루에 하는 일의 양(일률) 부터 적어요.

사람	혼자 걸리는 날	하루에 하는 일(일률)
A	6일	$\dfrac{1}{6}$
B	12일	$\dfrac{1}{12}$

둘이 함께 하루를 일하면, 하루에 하는 일은 두 사람 일률의 합이에요.

함께 하루치 일 $= \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{12}$ . ① 분모를 같게(통분): $\dfrac{1}{6} = \dfrac{2}{12}$ . ② 약분한다: $\dfrac{3}{12} = \dfrac{1}{4}$ .

\begin{aligned} \frac{1}{6} + \frac{1}{12} &= \frac{2}{12} + \frac{1}{12} \\ &= \frac{3}{12} \\ &= \frac{1}{4} \end{aligned}

즉 둘이 함께 하면 하루에 전체의 $\dfrac{1}{4}$ 를 해요. 이제 걸리는 날을 $x$ 일이라 두면, $x$ 일 동안 한 일이 전체( $1$ )가 되어야 끝나는 거예요. 식으로 쓰면 이래요.

$\text{하루치 일} \times \text{날수} = \text{전체 일}$ 이므로

\begin{aligned} \frac{1}{4} \times x &= 1 \end{aligned}

① 양변에 4를 곱한다( $\dfrac{1}{4}$ 의 $\div 4$ 를 없애기).

\begin{aligned} \frac{1}{4} \times x &= 1 \\ x &= 1 \times 4 \\ x &= 4 \end{aligned}

둘이 함께 하면 4일 걸려요.

검산: 4일 동안 한 일 $= \dfrac{1}{4} \times 4 = \dfrac{4}{4} = 1$ → 전체 일 1과 같다 (A 혼자면 6일인데, B가 도와서 4일로 줄었으니 말이 되죠.)

일 문제 3단계

$\text{전체 일} = 1$ 로 둔다.

각자의 $\text{일률} = 1 \div \text{혼자 걸리는 날}$ 을 구한다.

$\text{함께 일률의 합} \times \text{날수} = 1$ 로 식을 세운다.

단원 마무리

이번 편에서 배운 다섯 가지 활용 유형을 한눈에 정리할게요.

도형: 기준 변을 $x$ 로 → 둘레 $= 2 \times (\text{가로} + \text{세로})$ , 넓이 $= \text{가로} \times \text{세로}$ 에 넣기.
총합(섞기): 한 종류를 $x$ , 다른 종류를 $(\text{전체} - x)$ 로 → 금액(또는 값)의 합으로 식 세우기.
과부족: 같은 전체 양을 두 가지로 표현 → 남으면 $+$ , 모자라면 $-$ → $=$ 로 잇기.
긴 의자: 같은 학생 수를 두 가지로 표현 → 못 앉으면 더하고, 의자 남으면 빼고 꽉 채우기.
일: $\text{전체 일} = 1$ , $\text{일률} = \dfrac{1}{\text{혼자 걸리는 날}}$ , $\text{함께 일률의 합} \times \text{날수} = 1$ .

가장 큰 줄기 하나만 다시 새겨요.

“같은 것을 두 가지로 표현하면 $=$ 로 이을 수 있다.” (과부족·긴 의자의 심장)

스스로 풀어보기 (정답·풀이 모두 있음)

연필을 들고 먼저 스스로 푼 다음, 아래 풀이와 맞춰보세요. 풀이는 한 줄도 생략 없이 적었어요.

문제 1. 가로가 세로보다 2 cm 길고, 둘레가 24 cm인 직사각형의 가로·세로는? 문제 2. 세로가 6 cm인 직사각형의 넓이가 48 cm²일 때, 가로의 길이는? 문제 3. 100원·500원짜리 동전이 모두 10개, 금액 합이 3000원일 때 각 동전의 개수는? 문제 4. 색종이를 학생들에게 3장씩 주면 4장 남고, 4장씩 주면 2장 모자란다. 학생 수와 색종이 수는? 문제 5. 긴 의자에 3명씩 앉으면 5명이 못 앉고, 4명씩 앉으면 1명이 못 앉는다. 의자 수와 학생 수는? 문제 6. (도전) 긴 의자에 4명씩 앉으면 6명이 못 앉고, 5명씩 앉으면 의자 1개가 남는다. 의자 수와 학생 수는? 문제 7. (도전) A는 혼자 4일, B는 혼자 12일 걸리는 일을 둘이 함께 하면 며칠 걸리는가? 문제 8. (도전) 물탱크를 A관은 3시간, B관은 6시간에 가득 채운다. 두 관을 함께 틀면 몇 시간 걸리는가?

풀이 1) 둘레 24, 가로가 세로보다 2 길다

세로를 $x$ 로 두면 가로는 $x + 2$ 예요. ( $(x+2)+x = 2x+2$ , 2를 분배, $+4$ 이항)

\begin{aligned} 2 \times ((x + 2) + x) &= 24 \\ 2 \times (2x + 2) &= 24 \\ 4x + 4 &= 24 \\ 4x &= 24 - 4 \\ 4x &= 20 \\ x &= 20 \div 4 \\ x &= 5 \end{aligned}

→ 세로 $= 5$ cm, 가로 $= 5 + 2 = 7$ cm 검산: 둘레 $= 2 \times (7 + 5) = 2 \times 12 = 24$ → $24 = 24$

풀이 2) 세로 6, 넓이 48

가로를 $x$ 로 두면 $\text{넓이} = \text{가로} \times \text{세로} = 6x$ 예요.

\begin{aligned} 6x &= 48 \\ x &= 48 \div 6 \\ x &= 8 \end{aligned}

→ 가로 $= 8$ cm 검산: 넓이 $= 8 \times 6 = 48$ → $48 = 48$

풀이 3) 동전 합 10개, 금액 3000원

100원짜리를 $x$ 개라 두면 500원짜리는 $(10 - x)$ 개예요. ( $500 \times 10 = 5000$ , $500 \times (-x) = -500x$ ; $100x - 500x = -400x$ ; $+5000$ 이항)

\begin{aligned} 100x + 500 \times (10 - x) &= 3000 \\ 100x + 5000 - 500x &= 3000 \\ -400x + 5000 &= 3000 \\ -400x &= 3000 - 5000 \\ -400x &= -2000 \\ x &= (-2000) \div (-400) \\ x &= 5 \end{aligned}

→ 100원짜리 5개, 500원짜리 $10 - 5 = 5$ 개 검산: 개수: $5 + 5 = 10$ → $10 = 10$ 금액: $100 \times 5 + 500 \times 5 = 500 + 2500 = 3000$ → $3000 = 3000$

풀이 4) 3장씩 주면 4장 남고, 4장씩 주면 2장 모자람

학생 수를 $x$ 로 두면, 색종이 수를 두 가지로 써요. 남으면 $+$ , 모자라면 $-$ → $3x + 4$ 와 $4x - 2$ . ( $4x$ 왼쪽으로, $+4$ 오른쪽으로 이항; $3x - 4x = -x$ , $-2 - 4 = -6$ )

\begin{aligned} 3x + 4 &= 4x - 2 \\ 3x - 4x &= -2 - 4 \\ -x &= -6 \\ x &= 6 \end{aligned}

→ 학생 6명, 색종이 $= 3 \times 6 + 4 = 22$ 장 검산: 3장씩: $3 \times 6 + 4 = 18 + 4 = 22$ 4장씩: $4 \times 6 - 2 = 24 - 2 = 22$ $22 = 22$

풀이 5) 3명씩 앉으면 5명 못 앉고, 4명씩 앉으면 1명 못 앉음

의자 수를 $x$ 로 두면, 학생 수를 두 가지로 써요. 둘 다 “못 앉음”이니 둘 다 $+$ 예요. ( $4x$ 왼쪽으로, $+5$ 오른쪽으로 이항; $3x - 4x = -x$ , $1 - 5 = -4$ )

\begin{aligned} 3x + 5 &= 4x + 1 \\ 3x - 4x &= 1 - 5 \\ -x &= -4 \\ x &= 4 \end{aligned}

→ 의자 4개, 학생 $= 3 \times 4 + 5 = 17$ 명 검산: 3명씩: $3 \times 4 + 5 = 12 + 5 = 17$ 4명씩: $4 \times 4 + 1 = 16 + 1 = 17$ $17 = 17$

풀이 6) (도전) 4명씩 앉으면 6명 못 앉고, 5명씩 앉으면 의자 1개 남음

의자 수를 $x$ 로 두면, 못 앉으면 더하고( $4x + 6$ ), 의자 남으면 빼고 꽉 채워요( $5 \times (x - 1)$ ). ( $5 \times x = 5x$ , $5 \times (-1) = -5$ ; $5x$ 왼쪽으로, $+6$ 오른쪽으로 이항; $4x - 5x = -x$ , $-5 - 6 = -11$ )

\begin{aligned} 4x + 6 &= 5 \times (x - 1) \\ 4x + 6 &= 5x - 5 \\ 4x - 5x &= -5 - 6 \\ -x &= -11 \\ x &= 11 \end{aligned}

→ 의자 11개, 학생 $= 4 \times 11 + 6 = 50$ 명 검산: 4명씩: $4 \times 11 + 6 = 44 + 6 = 50$ 5명씩: $5 \times (11 - 1) = 5 \times 10 = 50$ $50 = 50$ (5명씩이면 $50 \div 5 = 10$ 개 의자가 꽉 차고, $11 - 10 = 1$ 개가 남죠. 맞아요.)

풀이 7) (도전) A 혼자 4일, B 혼자 12일, 함께 며칠?

$\text{전체 일} = 1$ . 일률은 A $= \dfrac{1}{4}$ , B $= \dfrac{1}{12}$ . 걸리는 날을 $x$ 로 둬요. ( $\dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{12}$ 로 통분, 약분)

\begin{aligned} \text{함께 하루치 일} &= \frac{1}{4} + \frac{1}{12} \\ &= \frac{3}{12} + \frac{1}{12} \\ &= \frac{4}{12} \\ &= \frac{1}{3} \end{aligned}

양변에 3을 곱하면

\begin{aligned} \frac{1}{3} \times x &= 1 \\ x &= 1 \times 3 \\ x &= 3 \end{aligned}

→ 함께 하면 3일 검산: $\dfrac{1}{3} \times 3 = \dfrac{3}{3} = 1$ → 전체 일 1과 같다

풀이 8) (도전) A관 3시간, B관 6시간, 함께 몇 시간?

$\text{물탱크 전체} = 1$ . 일률은 A관 $= \dfrac{1}{3}$ , B관 $= \dfrac{1}{6}$ . 걸리는 시간을 $x$ 로 둬요. ( $\dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{6}$ 로 통분, 약분)

\begin{aligned} \text{함께 1시간에 채우는 양} &= \frac{1}{3} + \frac{1}{6} \\ &= \frac{2}{6} + \frac{1}{6} \\ &= \frac{3}{6} \\ &= \frac{1}{2} \end{aligned}

양변에 2를 곱하면

\begin{aligned} \frac{1}{2} \times x &= 1 \\ x &= 1 \times 2 \\ x &= 2 \end{aligned}

→ 함께 틀면 2시간 검산: $\dfrac{1}{2} \times 2 = \dfrac{2}{2} = 1$ → 물탱크 가득(1)과 같다

몇 개 틀렸어도 괜찮아요. 활용 문제는 “무엇을 $x$ 로 둘지” 와 “식을 어떻게 세울지”가 절반이에요. 틀린 문제는 풀이의 식 세우는 줄을 다시 천천히 읽어보면, 다음엔 분명히 보일 거예요.

시리즈를 마치며

자, 여기까지가 우리 일차방정식 여행의 마지막이에요. 잠깐 1편을 떠올려 볼까요?

처음엔 $x + 3 = 7$ 하나 앞에서도 “이게 뭐지?” 하고 멈칫했을지도 몰라요. 그런데 지금 여러분은 — 등식의 성질로 저울을 맞추고, 이항으로 식을 척척 옮기고, 분수·소수가 섞인 식도 깔끔하게 정리하고, 수·나이·거리·도형·돈·과부족·일 문제까지 스스로 식을 세워 푸는 사람이 되었어요.

수학을 잘하는 비결은 머리가 좋은 게 아니라 포기하지 않고 한 걸음씩 가는 거예요. 여러분은 8편까지 그 한 걸음을 걸어왔어요. 그 끈기는 앞으로 어떤 단원 — 연립방정식, 함수, 이차방정식 — 을 만나도 통할 진짜 실력이에요.

여러분은 이제 일차방정식을 정복했어요. “모르는 수”를 두려워하던 친구가, 이제 $x$ 를 친구처럼 다루게 되었으니까요.

혹시 중간에 어려운 부분이 있었다면, 언제든 다시 펼쳐 보세요. 그동안 한 편 한 편 끝까지 따라와 줘서 고마워요.

쉬어가기

과부족 문제의 옛 이름, ‘영부족술(盈不足術)’

오늘 푼 과부족 문제 — “남거나 모자라거나”를 $=$ 로 잇는 그 방법 — 은 사실 2000년도 더 된 옛 동양 수학에 이미 나와요. 옛 수학책 『구장산술(九章算術)』의 제7장 제목이 바로 ‘영부족(盈不足)‘이에요. ‘영(盈)‘은 가득 차서 남는다, ‘부족(不足)‘은 모자란다는 뜻이니, 말 그대로 “남고 모자라는 문제”인 거죠. 우리가 4개씩 주니 남고 5개씩 주니 모자랐던 그 사탕 문제와 똑같아요.

재미있는 건, 이 ‘영부족술’이 비단길(실크로드)을 따라 서양으로도 전해져서 아라비아 수학자들에게는 “두 번의 잘못으로 옳은 답을 얻는 방법(method of double false position)” 이라는 멋진 별명으로 불렸다는 거예요. 한 번은 “이 정도면 남겠지” 하고 찍어보고, 한 번은 “이 정도면 모자라겠지” 하고 찍어본 뒤, 그 둘을 견주어 정답을 찾아낸 거죠.

그러니 여러분이 오늘 푼 과부족 문제는, 동서양의 수많은 사람들이 수천 년에 걸쳐 다듬어 온 지혜와 똑같은 길을 걸은 거예요. 막대기를 늘어놓던 옛사람부터 종이에 $x$ 를 적는 오늘의 여러분까지 — 모두 같은 수수께끼를 풀어온 한 팀인 셈이죠.