중학 일차방정식 ③ 일차방정식의 활용 — 수에 대한 문장제 (어떤 수·연속하는 수·자릿수·나이)

앞 글에서 우리는 방정식을 푸는 법을 익혔어요. 이항도 배우고, 검산도 손에 익었죠. 그런데 사실 방정식이 진짜로 빛나는 순간은 따로 있어요. 바로 “말로 된 문제”, 즉 문장제를 풀 때예요. 길고 복잡해 보이는 한국어 문장을 방정식으로 바꿔서 푸는 법을 배워볼게요.

“문장제는 너무 어려워요…” 하는 친구가 많아요. 문장제는 요령(순서)만 알면 생각보다 훨씬 쉬워져요. 그 요령을 이 글에서 통째로 알려줄게요.

이 글의 약속

1. 문장제는 4단계 순서대로 푼다. (서두에서 배워요)
2. 왜 그렇게 식을 세우는지 말로 자세히 설명해요.
3. 식을 세우는 걸 그림·표로 도와줘요.
4. 모든 문제는 검산(답이 문제에 맞는지 확인)까지 해요.

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0. 문장제 푸는 4단계 — 이 순서만 지키면 돼요

문장제를 풀 때 가장 흔한 실수는, 문제를 읽자마자 머릿속으로 막 계산하려는 거예요. 그러면 길을 잃기 쉬워요. 대신 우리는 항상 똑같은 4단계를 차근차근 밟을 거예요. 이 순서는 어떤 문장제가 나와도 똑같이 통해요.

문장제 푸는 4단계 ① 놓기 — 구하려는 것을 $x$로 놓는다. (“무엇을 $x$라고 할까?”) ② 세우기 — 문장을 식(방정식)으로 옮긴다. (“한국어 → 수학어 번역”) ③ 풀기 — 방정식을 푼다. (앞 글에서 배운 그 방법.) ④ 확인 — 구한 답이 문제 상황에 맞는지 검산한다.

이 4단계를 그림으로 기억해 두세요.

특히 ②번이 핵심이에요. 문장제가 어려운 이유는 계산이 어려워서가 아니라, 문장을 식으로 바꾸는 게 낯설어서거든요. 그래서 이 글 내내 우리는 “이 말은 식으로 어떻게 쓸까?”를 계속 연습할 거예요.

한 줄 정리 문장제 = 한국어를 수학어로 번역하는 일. 번역만 되면 푸는 건 어렵지 않아요.

자주 나오는 번역 사전을 먼저 살짝 보여줄게요. (외우려 하지 말고, 눈에 익혀두기만 해요.)

한국어 (말)	수학어 (식)
어떤 수	$x$
어떤 수에 5를 더하면	$x + 5$
어떤 수에서 5를 빼면	$x - 5$
어떤 수의 3배	$3x$
어떤 수의 반(절반)	$x \div 2$ 또는 $\frac{x}{2}$
~보다 2 큰 수	$x + 2$
~보다 2 작은 수	$x - 2$
A는 B이다 / 와 같다	$A = B$

이제 유형별로 하나씩, 천천히 가볼게요.

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1. 어떤 수 문제 — 가장 기본부터 차근차근

가장 쉬운 유형이에요. “어떤 수” 하나를 찾는 문제죠. 이게 문장제의 출발점이에요.

예제 1) 차근차근 번역하기

어떤 수에 4를 더한 뒤, 그 결과를 3배 했더니 27이 되었어요. 어떤 수는 몇일까요?

자, 4단계대로 가봐요.

① 놓기 — 구하려는 건 “어떤 수”예요. 그러니까 그걸 $x$로 놓아요. 즉, (어떤 수) $= x$.

② 세우기 — 문장을 앞에서부터 차례대로 번역해요. 한 조각씩 끊어서요.

• “어떤 수에 4를 더한 뒤” → $x + 4$
• “그 결과를 3배 했더니” → $3 \times (x + 4) = 3(x + 4)$
• “27이 되었어요” → $\cdots = 27$

여기서 괄호가 정말 중요해요. “어떤 수에 4를 더한 그 전체”를 3배 하는 거니까, $x + 4$를 통째로 괄호로 묶고 거기에 3을 곱해야 해요. 그래서 식은 이렇게 돼요.

$3(x + 4) = 27$

흔한 실수: $3x + 4 = 27$이라고 쓰면 틀려요. 그건 “어떤 수를 3배 한 뒤 4를 더한 것”이라서 문장과 뜻이 달라요. “먼저 더하고, 그 다음에 3배”니까 괄호로 묶어야 해요.

③ 풀기 — 이제 앞 글에서 배운 대로 풀면 돼요. 괄호는 양변을 3으로 나눠서 풀어볼게요. 먼저 양변을 3으로 나누고, 그다음 $+4$를 이항해요(부호가 $-$로 바뀜).

$$\begin{aligned} 3(x + 4) &= 27 \\ x + 4 &= 27 \div 3 \\ x + 4 &= 9 \\ x &= 9 - 4 \\ x &= 5 \end{aligned}$$

④ 확인(검산) — 구한 $x = 5$를 원래 문장에 넣어봐요. 어떤 수가 5라면, 5에 4를 더하면 $5 + 4 = 9$, 그것을 3배 하면 $9 \times 3 = 27$ (문제의 27과 같다).

문장 그대로 맞아떨어지죠? 그러니까 어떤 수는 5예요.

예제 2) 한 번 더

어떤 수의 2배에서 7을 빼면 어떤 수보다 5만큼 큽니다. 어떤 수는?

① 놓기: (어떤 수) $= x$

② 세우기: 한 조각씩 번역해요.

• “어떤 수의 2배에서 7을 빼면” → $2x - 7$
• “어떤 수보다 5만큼 큽니다” → $x + 5$
• “~는 ~이다” (둘이 같다) → $2x - 7 = x + 5$

③ 풀기: $x$는 왼쪽으로, 숫자는 오른쪽으로 이항해요.

$$\begin{aligned} 2x - 7 &= x + 5 \\ 2x - x &= 5 + 7 \\ x &= 12 \end{aligned}$$

④ 검산: 어떤 수가 12라면, (좌변) 12의 2배에서 7 빼기 $= 2 \times 12 - 7 = 24 - 7 = 17$, (우변) 12보다 5 큰 수 $= 12 + 5 = 17$ → $17 = 17$.

어떤 수는 12예요. 4단계만 지키면 차근차근 풀려요.

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2. 연속하는 수 문제 (1) — 연속한 세 자연수

이번엔 조금 새로운 유형이에요. “연속하는 수”가 나와요.

먼저 연속하는 수가 뭔지부터 짚고 갈게요. 연속(連續)은 “이어진다”는 뜻이에요. 그러니까 연속하는 자연수는 $3, 4, 5$처럼 1씩 커지면서 줄줄이 이어진 수들이에요.

핵심 아이디어는 이거예요. 연속하는 수는 하나만 $x$로 놓으면, 나머지는 저절로 정해져요. 왜냐하면 1씩 차이가 나니까요.

연속한 세 자연수를 $x$로 나타내는 방법은 두 가지가 있어요. 둘 다 맞아요.

방법	세 수	설명
방법 A (가운데를 $x$)	$x-1$, $x$, $x+1$	가운데가 $x$, 양옆이 1 작고 1 큼
방법 B (제일 작은 걸 $x$)	$x$, $x+1$, $x+2$	처음이 $x$, 1씩 커짐

방법 A가 보통 계산이 더 깔끔해요. 합을 구할 때 $-1$과 $+1$이 서로 지워지거든요. 하지만 둘 중 편한 걸 쓰면 돼요. 우리는 두 방법 다 보여줄게요.

예제) 연속한 세 자연수의 합이 48

연속한 세 자연수의 합이 48입니다. 세 자연수를 구하세요.

[ 방법 A — 가운데를 $x$로 ]

① 놓기: 가운데 수를 $x$라 하면, 세 수는 $x-1$, $x$, $x+1$.

② 세우기: “세 수의 합이 48”이니까,

$(x - 1) + x + (x + 1) = 48$

③ 풀기: 왼쪽을 정리해요. $-1$과 $+1$이 서로 지워져요. 괄호를 풀어서 나란히 쓰면 $x$가 3개, $-1 + 1 = 0$이라 사라져요.

$$\begin{aligned} (x - 1) + x + (x + 1) &= 48 \\ x - 1 + x + x + 1 &= 48 \\ 3x &= 48 \\ x &= 48 \div 3 \\ x &= 16 \end{aligned}$$

가운데 수가 16이니까, 세 수는 $16 - 1 = 15$, $16$, $16 + 1 = 17$.

④ 검산: 세 수가 15, 16, 17이라면 $15 + 16 + 17 = 48$ (정말 1씩 이어지고, 합도 48).

세 자연수는 15, 16, 17이에요.

[ 방법 B — 제일 작은 수를 $x$로 ] (같은 답이 나오는지 봐요)

세 수는 $x$, $x+1$, $x+2$. 합이 48이고, $x$가 3개에 $1 + 2 = 3$이에요. 그다음 $+3$을 이항해요.

$$\begin{aligned} x + (x + 1) + (x + 2) &= 48 \\ x + x + 1 + x + 2 &= 48 \\ 3x + 3 &= 48 \\ 3x &= 48 - 3 \\ 3x &= 45 \\ x &= 45 \div 3 \\ x &= 15 \end{aligned}$$

세 수는 15, 16, 17.

똑같이 15, 16, 17이 나왔죠? 어느 방법으로 놓아도 답은 같아요. 다만 방법 A가 $3x = 48$로 더 깔끔하게 끝났어요. 그래서 합 문제는 가운데를 $x$로 놓는 습관을 들이면 편해요.

기억하기 연속한 세 수의 합 문제는 가운데 수를 $x$로. → $(x-1) + x + (x+1) = 3x$

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3. 연속하는 수 문제 (2) — 연속한 짝수 / 홀수

이번엔 살짝 응용이에요. 연속한 짝수나 연속한 홀수요.

여기서 자주 헷갈리는 게 있어요. 잘 생각해 봐요. 연속한 짝수는 $2, 4, 6$처럼 2씩 차이가 나죠? 홀수도 $3, 5, 7$처럼 2씩 차이가 나요. (짝수 사이에 홀수가 끼니까요.)

아주 중요. 연속한 짝수(또는 홀수)는 1씩이 아니라 $2$씩 커져요. 그래서 $x$, $x+2$, $x+4$로 놓아요. (절대 $x+1$이 아니에요.)

연속한 세 짝수(또는 세 홀수)는 이렇게 놓을 수 있어요.

방법	세 수
제일 작은 걸 $x$	$x$, $x+2$, $x+4$
가운데를 $x$	$x-2$, $x$, $x+2$

예제 1) 연속한 세 짝수의 합이 36

연속한 세 짝수의 합이 36입니다. 세 짝수를 구하세요.

① 놓기: 제일 작은 짝수를 $x$라 하면, 세 짝수는 $x$, $x+2$, $x+4$.

② 세우기: 합이 36이니까,

$x + (x + 2) + (x + 4) = 36$

③ 풀기: $x$가 3개, $2 + 4 = 6$이에요. 그다음 $+6$을 이항해요.

$$\begin{aligned} x + (x + 2) + (x + 4) &= 36 \\ x + x + 2 + x + 4 &= 36 \\ 3x + 6 &= 36 \\ 3x &= 36 - 6 \\ 3x &= 30 \\ x &= 30 \div 3 \\ x &= 10 \end{aligned}$$

제일 작은 짝수가 10이니까, 세 짝수는 $10$, $10 + 2 = 12$, $10 + 4 = 14$.

④ 검산: 세 수가 10, 12, 14라면, 모두 짝수이고 2씩 이어져요, 합은 $10 + 12 + 14 = 36$.

세 짝수는 10, 12, 14예요.

예제 2) 연속한 두 홀수의 곱 조건

연속한 두 홀수가 있어요. 큰 수가 작은 수의 3배보다 4만큼 작습니다. 두 홀수를 구하세요.

곱이 아니라 “배” 조건이 들어간 문제예요. 천천히 가볼게요.

① 놓기: 작은 홀수를 $x$라 하면, 다음 홀수(큰 홀수)는 $x + 2$.

② 세우기: “큰 수가 작은 수의 3배보다 4만큼 작다”를 번역해요.

• “큰 수” → $x + 2$
• “작은 수의 3배” → $3x$
• “~보다 4만큼 작다” → $3x - 4$
• “~이다 (같다)” → $x + 2 = 3x - 4$

“보다 4만큼 작다”는 그 수에서 4를 뺀다는 뜻이에요. 그래서 $3x - 4$가 돼요.

③ 풀기: $x$는 왼쪽, 숫자는 오른쪽으로 이항해요(부호 바뀜). $x - 3x = -2x$, $-4 - 2 = -6$, 그리고 음수 $\div$ 음수 $=$ 양수예요.

$$\begin{aligned} x + 2 &= 3x - 4 \\ x - 3x &= -4 - 2 \\ -2x &= -6 \\ x &= (-6) \div (-2) \\ x &= 3 \end{aligned}$$

작은 홀수가 3이니까, 두 홀수는 $3$, $3 + 2 = 5$.

④ 검산: 두 수가 3, 5라면, 둘 다 홀수이고 연속한 홀수예요. 큰 수 $= 5$, 작은 수의 3배보다 4 작은 수 $= 3 \times 3 - 4 = 9 - 4 = 5$ → $5 = 5$.

두 홀수는 3과 5예요. 음수 나눗셈이 살짝 나왔지만, $(-6) \div (-2) = 3$처럼 음수 $\div$ 음수는 양수라는 것만 기억하면 괜찮아요.

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4. 자릿수에 대한 문제 — $10a + b$의 비밀

이 유형은 처음 보면 “이게 뭐지?” 싶지만, 비밀 하나만 알면 정말 재밌어져요.

먼저: 두 자리 수는 어떻게 만들어질까?

$37$이라는 수를 생각해 봐요. 이건 그냥 “3과 7을 붙인 것”이 아니에요. 사실은 $30 + 7$, 즉 $10 \times 3 + 7$이에요. 십의 자리 숫자는 10배가 되니까요.

이걸 일반화하면 이래요. 십의 자리 숫자를 $a$, 일의 자리 숫자를 $b$라고 하면,

두 자리 수 $= 10a + b$ (십의 자리 $a$는 10배, 일의 자리 $b$는 그대로 더해요.) 예: $37$ → $a = 3$, $b = 7$ → $10 \times 3 + 7 = 37$.

그리고 하나 더. 자리를 바꾼 수(십의 자리와 일의 자리를 맞바꾼 수)는, $a$와 $b$의 역할이 뒤집히니까 $10b + a$가 돼요.

• 원래 수: $10a + b$ (십의 자리 $a$, 일의 자리 $b$)
• 자리 바꾼 수: $10b + a$ (십의 자리 $b$, 일의 자리 $a$)
• 예) 37의 자리를 바꾸면 → $73 = 10 \times 7 + 3$

표로 정리하면 한눈에 보여요.

	십의 자리	일의 자리	수의 값
원래 수	$a$	$b$	$10a + b$
자리 바꾼 수	$b$	$a$	$10b + a$

예제) 자리를 바꾸면 27이 커지는 두 자리 수

어떤 두 자리 수가 있어요. 십의 자리 숫자는 일의 자리 숫자보다 3만큼 작아요. 또, 이 수의 십의 자리와 일의 자리를 바꾼 수는 원래 수보다 27만큼 큽니다. 원래 수를 구하세요.

조건이 두 개 나오죠? 차근차근 정리해요.

① 놓기: 여기선 일의 자리 숫자를 $x$로 놓는 게 편해요. “십의 자리는 일의 자리보다 3 작다”고 했으니까, (일의 자리 숫자) $= x$, (십의 자리 숫자) $= x - 3$ (“일의 자리보다 3 작으니까”).

그러면 자리값으로 수를 쓸 수 있어요. 원래 수는 $10 \times$ (십의 자리) $+$ (일의 자리), 자리 바꾼 수는 $10 \times$ (일의 자리) $+$ (십의 자리)예요.

• 원래 수 $= 10(x - 3) + x$
• 자리 바꾼 수 $= 10x + (x - 3)$

② 세우기: “자리 바꾼 수가 원래 수보다 27만큼 크다”를 번역해요. “~보다 27 크다”는 원래 수에 27을 더한 것과 같다는 뜻이에요. 즉, (자리 바꾼 수) $=$ (원래 수) $+ 27$.

$10x + (x - 3) = 10(x - 3) + x + 27$

③ 풀기: 양쪽 괄호를 풀어서 정리해요. 분배법칙으로 $10(x-3) = 10x - 30$이에요. 좌변은 $10x + x = 11x$, 우변은 $10x + x = 11x$에 $-30 + 27 = -3$이에요.

$$\begin{aligned} 10x + (x - 3) &= 10(x - 3) + x + 27 \\ 10x + x - 3 &= 10x - 30 + x + 27 \\ 11x - 3 &= 11x - 3 \end{aligned}$$

어? 양쪽이 똑같아졌어요. $11x - 3 = 11x - 3$은 어떤 $x$를 넣어도 항상 참이에요. 이건 식을 세울 때 정보가 한 군데 부족했다는 신호예요. 사실 이 문제는 “십의 자리가 일의 자리보다 3 작다”는 조건만으로도 자리 바꾼 수가 항상 27 커지게 돼 있어요.

잠깐, 신기한 사실 십의 자리와 일의 자리 차이가 3이면, 자리를 바꿀 때 항상 $9 \times 3 = 27$만큼 변해요. (자리를 바꾸면 값이 $9 \times$ (두 자리 숫자의 차)만큼 변하거든요.)

그래서 이 문제는 답이 여러 개예요. 일의 자리 $x$가 십의 자리($x - 3$)를 한 자리 숫자(0~9)로 만들도록 정하면 돼요. 십의 자리는 0이 될 수 없으니 $x - 3 \ge 1$, 즉 $x \ge 4$. 그리고 $x$도 한 자리니까 $x \le 9$.

• $x = 4$ → 십의 자리 1, 일의 자리 4 → 14 (바꾼 수 41, $41 - 14 = 27$)
• $x = 5$ → 25 (바꾼 수 52, $52 - 25 = 27$)
• $x = 6$ → 36 (바꾼 수 63, $63 - 36 = 27$)
• … 47, 58, 69까지 모두 답

문장제도 가끔 이렇게 답이 여러 개일 수 있다는 걸 보여주려고 일부러 넣은 문제예요. 이제 조건이 딱 하나로 정해지는, 보통의 자릿수 문제를 풀어볼게요.

예제 2) 답이 하나로 정해지는 자릿수 문제

두 자리 수가 있어요. 십의 자리 숫자와 일의 자리 숫자의 합은 11이에요. 그리고 자리를 바꾼 수는 원래 수보다 27만큼 큽니다. 원래 수를 구하세요.

이번엔 조건이 두 개라서 답이 딱 정해져요.

① 놓기: 십의 자리 숫자를 $a$, 일의 자리 숫자를 $b$라 하면 헷갈릴 수 있으니, 두 정보를 모두 쓰려고 일의 자리를 $x$ 하나로 정리해 볼게요. “두 숫자의 합이 11”이니까, 일의 자리가 $x$면 십의 자리는 $11 - x$.

• 일의 자리 $= x$
• 십의 자리 $= 11 - x$ (합이 11이니까)
• 원래 수 $= 10(11 - x) + x$
• 자리 바꾼 수 $= 10x + (11 - x)$

② 세우기: (자리 바꾼 수) $=$ (원래 수) $+ 27$

$10x + (11 - x) = 10(11 - x) + x + 27$

③ 풀기: $10(11 - x) = 110 - 10x$예요. 좌변 $10x - x = 9x$, 우변 $-10x + x = -9x$에 $110 + 27 = 137$. 그다음 $-9x$ 이항(부호 바뀜)과 $+11$ 이항을 해요.

$$\begin{aligned} 10x + (11 - x) &= 10(11 - x) + x + 27 \\ 10x + 11 - x &= 110 - 10x + x + 27 \\ 9x + 11 &= 137 - 9x \\ 9x + 9x &= 137 - 11 \\ 18x &= 126 \\ x &= 126 \div 18 \\ x &= 7 \end{aligned}$$

일의 자리가 7이니까, 십의 자리는 $11 - 7 = 4$. 따라서 원래 수는 47.

④ 검산: 원래 수 47이라면, 십의 자리 4, 일의 자리 7 → 합 $4 + 7 = 11$, 자리 바꾼 수 $= 74$, $74 - 47 = 27$ → 바꾼 수가 27 크다.

원래 수는 47이에요. 자리값을 $10a + b$로 쓰는 것만 익히면, 자릿수 문제는 더 이상 어렵지 않아요.

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5. 나이에 대한 문제 — ‘몇 년 후’를 다루는 법

마지막 유형은 나이 문제예요. 일상에서도 자주 쓰는, 정말 재미있는 유형이에요.

나이 문제의 핵심 비밀은 딱 하나예요.

시간이 흐르면 모두가 똑같이 나이를 먹는다. $n$년 후 → 모든 사람의 나이에 $+\,n$ $n$년 전 → 모든 사람의 나이에 $-\,n$

부모님만 나이 드는 게 아니라, 자녀도 똑같이 나이를 먹죠? 이걸 표로 정리하면 실수가 확 줄어요. 나이 문제는 표가 최고의 무기예요.

예제 1) 몇 년 후 아버지 나이가 아들의 2배

올해 아버지는 42세, 아들은 12세입니다. 아버지의 나이가 아들의 나이의 2배가 되는 것은 몇 년 후일까요?

① 놓기: 구하려는 건 “몇 년 후”예요. 그걸 $x$년 후라고 놓아요.

② 세우기: 표로 나이를 정리해요. $x$년 후엔 둘 다 $x$살씩 더 먹어요.

	현재	$x$년 후
아버지	42	$42 + x$
아들	12	$12 + x$

“$x$년 후에 아버지 나이가 아들 나이의 2배”가 되는 거니까, ($x$년 후 아버지 나이) $= 2 \times$ ($x$년 후 아들 나이)예요.

$42 + x = 2 \times (12 + x)$

여기서도 괄호가 핵심이에요. 아들의 $x$년 후 나이 $12 + x$ 전체를 2배 하니까 괄호로 묶어요.

③ 풀기: 분배법칙으로 $2(12 + x) = 24 + 2x$. $x$는 왼쪽, 숫자는 오른쪽으로 이항해요. $x - 2x = -x$, $24 - 42 = -18$, 마지막에 양변에 $-1$을 곱해요(또는 $-1$로 나눔).

$$\begin{aligned} 42 + x &= 2(12 + x) \\ 42 + x &= 24 + 2x \\ x - 2x &= 24 - 42 \\ -x &= -18 \\ x &= 18 \end{aligned}$$

④ 검산: $18$년 후의 나이를 직접 구해봐요. 아버지 $= 42 + 18 = 60$, 아들 $= 12 + 18 = 30$. 60이 30의 2배인가? → $30 \times 2 = 60$.

18년 후예요. 표로 정리하니까 헷갈릴 일이 없어요.

예제 2) ‘몇 년 전’을 다루기

올해 어머니는 40세, 딸은 10세입니다. 어머니의 나이가 딸의 나이의 4배였던 것은 몇 년 전일까요?

이번엔 “전”이에요. 그러니 나이에서 빼요.

① 놓기: $x =$ (몇 년 전)

② 세우기: $x$년 전엔 둘 다 $x$살씩 적었어요.

	현재	$x$년 전
어머니	40	$40 - x$
딸	10	$10 - x$

“$x$년 전 어머니 나이가 딸 나이의 4배였다”니까,

$40 - x = 4 \times (10 - x)$

③ 풀기: $4(10 - x) = 40 - 4x$. $-4x$는 왼쪽으로, $+40$은 오른쪽으로 이항해요(부호 바뀜). $-x + 4x = 3x$, $40 - 40 = 0$.

$$\begin{aligned} 40 - x &= 4(10 - x) \\ 40 - x &= 40 - 4x \\ -x + 4x &= 40 - 40 \\ 3x &= 0 \\ x &= 0 \div 3 \\ x &= 0 \end{aligned}$$

$x = 0$이 나왔어요. 이건 “0년 전”, 즉 바로 지금이라는 뜻이에요.

④ 검산: 지금(0년 전)이라면, 어머니 $= 40$, 딸 $= 10$. 40이 10의 4배인가? → $10 \times 4 = 40$.

신기하게도 바로 지금 어머니가 딸의 4배네요. $x = 0$ 같은 답도 문제 상황에서 말이 되면(0년 전 = 지금) 올바른 답이에요. 당황하지 말아요.

예제 3) 나이의 합 조건

현재 형과 동생의 나이 합은 30세입니다. 형은 동생보다 4살 많아요. 형과 동생의 나이는 각각 몇 살일까요?

① 놓기: 동생 나이를 $x$라 하면, 형은 동생보다 4살 많으니 $x + 4$.

② 세우기: 둘의 합이 30.

$x + (x + 4) = 30$

③ 풀기: $x + x = 2x$, 그다음 $+4$를 이항해요.

$$\begin{aligned} x + (x + 4) &= 30 \\ 2x + 4 &= 30 \\ 2x &= 30 - 4 \\ 2x &= 26 \\ x &= 26 \div 2 \\ x &= 13 \end{aligned}$$

동생이 13살, 형은 $13 + 4 = 17$살.

④ 검산: 형 17, 동생 13이라면, 합 $17 + 13 = 30$, 형이 동생보다 $17 - 13 = 4$살 많다.

형은 17살, 동생은 13살이에요.

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단원 마무리

이번 단원에서 배운 걸 한눈에 정리해 볼게요.

• 문장제 4단계: ① 구하려는 것을 $x$로 놓기 → ② 문장을 식으로 세우기 → ③ 방정식 풀기 → ④ 문제에 맞는지 확인(검산).
• 번역이 핵심: “어떤 수의 3배” → $3x$, “~보다 5 큰 수” → $x + 5$, “~이다” → $=$. 먼저 더하고 나중에 곱하면 괄호 필수. (예: $3(x + 4)$)
• 연속한 세 자연수: $x-1, x, x+1$ (또는 $x, x+1, x+2$). 합 문제는 가운데를 $x$로.
• 연속한 짝수·홀수: $2$씩 커지므로 $x, x+2, x+4$. (1씩이 아님에 주의.)
• 두 자리 수: 십의 자리 $a$, 일의 자리 $b$ → $10a + b$. 자리 바꾼 수는 $10b + a$.
• 나이 문제: $n$년 후엔 모두 $+n$, $n$년 전엔 모두 $-n$. 표로 정리하면 안전해요.

스스로 풀어보기 (정답·풀이 모두 있음)

연필을 들고 먼저 4단계대로 풀어본 다음, 아래 풀이와 맞춰보세요. 풀이는 한 줄도 생략 없이, 검산까지 다 적었어요.

문제 1. 어떤 수에 7을 더한 뒤 2배 했더니 30이 되었다. 어떤 수는? 문제 2. 어떤 수의 4배에서 5를 빼면 23이다. 어떤 수는? 문제 3. 연속한 세 자연수의 합이 72이다. 세 수를 구하라. 문제 4. 연속한 세 홀수의 합이 51이다. 세 수를 구하라. 문제 5. 현재 이모는 35세, 조카는 5세이다. 이모 나이가 조카 나이의 3배가 되는 것은 몇 년 후인가? 문제 6. 형과 동생의 나이 합은 28세이고, 형이 동생보다 6살 많다. 각각 몇 살인가? 문제 7. (도전!) 두 자리 수가 있다. 일의 자리 숫자가 십의 자리 숫자보다 2 크고, 두 숫자의 합은 12이다. 원래 수를 구하라. 문제 8. (도전!) 현재 아버지는 45세, 딸은 13세이다. 아버지 나이가 딸 나이의 3배였던 것은 몇 년 전인가?

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풀이 1) 어떤 수에 7을 더한 뒤 2배 → 30

① 어떤 수 $= x$. ② “7을 더한 뒤 2배가 30” → $2(x + 7) = 30$ (먼저 더하고 나중에 2배 → 괄호). ③ 풀기 (양변을 2로 나누고, $+7$을 이항):

$$\begin{aligned} 2(x + 7) &= 30 \\ x + 7 &= 30 \div 2 \\ x + 7 &= 15 \\ x &= 15 - 7 \\ x &= 8 \end{aligned}$$

④ 검산: 8에 7을 더하면 15, 그것을 2배 하면 $15 \times 2 = 30$. 어떤 수는 8.

풀이 2) 어떤 수의 4배에서 5를 빼면 23

① 어떤 수 $= x$. ② $4x - 5 = 23$. ③ 풀기 ($-5$를 이항):

$$\begin{aligned} 4x - 5 &= 23 \\ 4x &= 23 + 5 \\ 4x &= 28 \\ x &= 28 \div 4 \\ x &= 7 \end{aligned}$$

④ 검산: $4 \times 7 - 5 = 28 - 5 = 23$. 어떤 수는 7.

풀이 3) 연속한 세 자연수의 합이 72

① 가운데 수를 $x$ → 세 수: $x-1$, $x$, $x+1$. ② $(x - 1) + x + (x + 1) = 72$. ③ 풀기 ($-1 + 1 = 0$이라 사라짐):

$$\begin{aligned} (x - 1) + x + (x + 1) &= 72 \\ 3x &= 72 \\ x &= 72 \div 3 \\ x &= 24 \end{aligned}$$

세 수: 23, 24, 25. ④ 검산: $23 + 24 + 25 = 72$. 세 자연수는 23, 24, 25.

풀이 4) 연속한 세 홀수의 합이 51

① 제일 작은 홀수를 $x$ → 세 홀수: $x$, $x+2$, $x+4$ (홀수는 2씩). ② $x + (x + 2) + (x + 4) = 51$. ③ 풀기 ($2 + 4 = 6$, 그다음 $+6$ 이항):

$$\begin{aligned} x + (x + 2) + (x + 4) &= 51 \\ 3x + 6 &= 51 \\ 3x &= 51 - 6 \\ 3x &= 45 \\ x &= 45 \div 3 \\ x &= 15 \end{aligned}$$

세 홀수: 15, 17, 19. ④ 검산: $15 + 17 + 19 = 51$, 모두 홀수이고 2씩 이어짐. 세 홀수는 15, 17, 19.

풀이 5) 이모 35세, 조카 5세 → 몇 년 후 이모가 조카의 3배?

① $x =$ 몇 년 후. ② 표로 정리:

	현재	$x$년 후
이모	35	$35 + x$
조카	5	$5 + x$

“이모 $=$ 조카의 3배” → $35 + x = 3(5 + x)$. ③ 풀기 ($3(5 + x) = 15 + 3x$, 이항하면 $x - 3x = -2x$, $15 - 35 = -20$):

$$\begin{aligned} 35 + x &= 3(5 + x) \\ 35 + x &= 15 + 3x \\ x - 3x &= 15 - 35 \\ -2x &= -20 \\ x &= (-20) \div (-2) \\ x &= 10 \end{aligned}$$

④ 검산: 10년 후 → 이모 45, 조카 15. $15 \times 3 = 45$. 10년 후.

풀이 6) 형·동생 합 28, 형이 6살 많음

① 동생 $= x$ → 형 $= x + 6$. ② $x + (x + 6) = 28$. ③ 풀기 ($+6$ 이항):

$$\begin{aligned} x + (x + 6) &= 28 \\ 2x + 6 &= 28 \\ 2x &= 28 - 6 \\ 2x &= 22 \\ x &= 22 \div 2 \\ x &= 11 \end{aligned}$$

동생 11살, 형 $11 + 6 = 17$살. ④ 검산: $11 + 17 = 28$, $17 - 11 = 6$. 형 17살, 동생 11살.

풀이 7) 일의 자리가 십의 자리보다 2 크고, 두 숫자 합이 12 (도전)

① 십의 자리 $= x$ → 일의 자리 $= x + 2$ (“십의 자리보다 2 크니까”). ② 두 숫자의 합이 12 → $x + (x + 2) = 12$. ③ 풀기 ($+2$ 이항):

$$\begin{aligned} x + (x + 2) &= 12 \\ 2x + 2 &= 12 \\ 2x &= 12 - 2 \\ 2x &= 10 \\ x &= 10 \div 2 \\ x &= 5 \end{aligned}$$

십의 자리 5, 일의 자리 $5 + 2 = 7$ → 원래 수 $= 10 \times 5 + 7 = 57$. ④ 검산: 십의 자리 5, 일의 자리 7. $7 - 5 = 2$ (일의 자리가 2 큼), $5 + 7 = 12$. 원래 수는 57.

풀이 8) 아버지 45세, 딸 13세 → 몇 년 전 아버지가 딸의 3배? (도전)

① $x =$ 몇 년 전. ② 표로 정리:

	현재	$x$년 전
아버지	45	$45 - x$
딸	13	$13 - x$

“아버지 $=$ 딸의 3배” → $45 - x = 3(13 - x)$. ③ 풀기 ($3(13 - x) = 39 - 3x$, $-3x$는 왼쪽으로 $+45$는 오른쪽으로 이항, $-x + 3x = 2x$, $39 - 45 = -6$):

$$\begin{aligned} 45 - x &= 3(13 - x) \\ 45 - x &= 39 - 3x \\ -x + 3x &= 39 - 45 \\ 2x &= -6 \\ x &= (-6) \div 2 \\ x &= -3 \end{aligned}$$

④ 답 해석·검산: $x = -3$이 나왔어요. “$-3$년 전”은 곧 “3년 후”라는 뜻이에요. 3년 후 → 아버지 $45 + 3 = 48$, 딸 $13 + 3 = 16$. $16 \times 3 = 48$. (즉, 딸의 3배였던 적은 과거가 아니라 3년 뒤예요.)

문제 8처럼 음수 답이 나오면 당황하지 말고, “몇 년 전이 음수 = 그만큼 후”로 해석하면 돼요. 그리고 항상 검산으로 확인해요.

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쉬어가기

문장제 잘 푸는 비결 = “한국어 → 수학어 번역가” 되기

수학을 잘하는 친구들을 보면, 마치 두 개의 언어를 쓰는 사람 같아요. 하나는 우리가 매일 쓰는 한국어, 다른 하나는 $x$와 $=$로 이루어진 수학어죠. 문장제를 푼다는 건 결국 한국어 문장을 수학어 문장으로 통역하는 일이에요.

외국어를 배울 때 단어를 하나씩 익히듯, 수학어도 작은 단어부터 익히면 돼요. “~의 3배” $= \times 3$, “~보다 큰” $= +$, “~이다” $= \,=$ 이렇게요. 오늘 배운 번역 사전이 바로 그 단어장이에요. 처음엔 한 조각씩 끊어서 천천히 번역하고, 익숙해지면 점점 빨라져요.

그리고 번역가에게 가장 중요한 습관, 기억하죠? 번역이 끝나면 다시 읽어보며 말이 되는지 확인하기 — 바로 검산이에요. 이 습관 하나가 “실수 없는 번역가”로 만들어 줘요.

한 줄 정리 문장제는 머리가 좋아야 푸는 게 아니라, 순서(4단계)와 번역에 익숙해지면 누구나 풀어요.

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다음 글에서는 지금 배운 활용을 한 단계 넓혀서, 개수·금액·도형(둘레와 넓이)처럼 더 다양한 상황의 문장제를 풀어볼 거예요. 오늘 손에 익힌 4단계와 표 그리기, 이 두 가지만 챙기면 다음 단원도 이어서 갈 수 있어요.