중학 일차방정식 ⑥ 농도에 대한 방정식 — 소금물 문제 한 번에 끝내기

일차방정식의 꽃이라고 불리는 농도 문제(소금물 문제)예요. “소금물 문제는 너무 어려워요…” 하고 미리 겁먹는 친구가 많은데요, 사실 이건 딱 세 개의 공식과 표 하나만 있으면 풀 수 있어요.

오늘은 새 방정식 기술을 배우는 게 아니에요. 지금까지 배운 이항과 검산을 소금물이라는 실생활 상황에 써먹는 날이에요.

이 글의 약속

1. 새로운 말(농도, %)이 나오면 무슨 뜻인지 먼저 설명해요.
2. 모든 문제는 표(소금물 | 농도 | 소금) 로 정리한 다음 풀어요.
3. 답을 구하면 검산(최종 농도가 맞는지)까지 꼭 확인해요.

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0. 오늘의 주문(呪文) — 이 세 줄이 전부예요

오늘 글 전체를 지배하는 세 개의 공식을 먼저 정리할게요. 이 세 줄만 머릿속에 넣으면 소금물 문제의 90%는 끝난 거예요.

소금물 3대 공식

1. $\text{소금의 양} = \text{소금물의 양} \times \frac{\text{농도}}{100}$
2. $\text{농도}\,(\%) = \frac{\text{소금의 양}}{\text{소금물의 양}} \times 100$
3. $\text{소금물의 양} = \text{소금의 양} + \text{물의 양}$

표로도 한 번 더 정리할게요. 이 표를 손바닥에 적어두고 싶을 만큼 중요해요.

구하려는 것	공식
소금의 양	$\text{소금물} \times \dfrac{\text{농도}}{100}$
농도(%)	$\dfrac{\text{소금}}{\text{소금물}} \times 100$
소금물의 양	$\text{소금} + \text{물}$

그리고 문제를 풀 때마다 우리는 항상 이 표를 그릴 거예요.

	소금물의 양	농도	소금의 양
처음
나중

빈칸을 하나씩 채워 나가면, 어느 순간 방정식이 저절로 완성돼요.

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1. 농도는 “진하기” — 같은 소금이라도 물이 적으면 더 짜다

먼저 농도가 무슨 뜻인지부터 일상으로 느껴볼게요. 어려운 말 하나도 없어요.

라면을 끓일 때를 떠올려 보세요. 같은 스프 한 봉지를 넣어도, 물을 적게 부으면 국물이 아주 짜고, 물을 많이 부으면 싱겁죠? 똑같은 스프(소금)인데 맛이 다른 건 바로 물의 양이 다르기 때문이에요.

핵심 느낌: 농도 = 진하기(짠 정도). 소금이 같아도 물이 적으면 진하고(짜고), 물이 많으면 묽어요(싱거워요).

그러니까 “얼마나 짠가?”를 정하는 건 소금의 양 하나만이 아니라, 소금과 물의 비율이에요. 같은 소금 10g이라도,

• 물 90g에 녹이면 → 묽은 소금물
• 물 40g에 녹이면 → 꽤 진한 소금물

이렇게 달라지죠. 그래서 “진하기”를 숫자로 정해서 말해요. 그 숫자가 바로 다음 장에서 배울 농도(%) 예요.

한 줄 정리 농도는 소금물이 얼마나 진한지(짠지)를 나타내는 숫자예요. 소금의 양뿐 아니라 물의 양도 함께 영향을 줘요.

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2. 농도를 %로 나타내기 — “소금물 100g 속에 소금 몇 g?”

이제 진하기를 숫자로 적는 법을 배워요. 우리가 쓸 단위는 퍼센트(%) 예요.

퍼센트(%) 는 “100 중에 몇”이라는 뜻이에요. 그러니까 소금물의 농도가 20%라는 말은, 소금물 100g 속에 소금이 20g 들어 있다는 뜻이에요.

공식으로 쓰면 이래요. (오늘의 주문 2번이에요.)

$\text{농도}\,(\%) = \frac{\text{소금의 양}}{\text{소금물의 양}} \times 100$

여기서 중요한 주의 하나. 분모는 물의 양이 아니라 “소금물 전체의 양”이에요. 소금물 전체란 소금 + 물을 합친 거예요. 이걸 헷갈리면 문제를 통째로 틀려요.

예제) 소금 20g을 물 80g에 녹였어요. 농도는?

먼저 소금물 전체의 양부터 구해요. (주문 3번: $\text{소금물} = \text{소금} + \text{물}$)

소금물의 양은 소금 20g과 물 80g을 더한 값이에요.

$$20 + 80 = 100$$

이제 농도 공식에 넣어요. (단위: g)

$$\begin{aligned} (20 \div 100) \times 100 &= 0.2 \times 100 \\ &= 20 \end{aligned}$$

그래서 이 소금물의 농도는 20% 예요. 표로 정리하면 이렇게 깔끔해요.

	소금물의 양	농도	소금의 양
이 소금물	100 g	20%	20 g

비유: 소금물 100g은 “100점 만점 시험지”예요. 그중 소금이 차지한 점수(g)가 곧 농도(%)인 셈이죠. 소금 20g이면 100점 중 20점 → 20%.

한 번 더) 소금 5g, 물 45g

소금물은 소금 5g과 물 45g을 더한 값(50)이고, 거기에 농도 공식을 적용해요.

$$\begin{aligned} 5 + 45 &= 50 \\ (5 \div 50) \times 100 &= 0.1 \times 100 = 10 \end{aligned}$$

소금물은 50g, 농도는 10%. (소금물 50g 속에 소금 5g이니까 “100 중 10”인 게 맞죠.)

자주 하는 실수: 농도를 구할 때 소금 $\div$ 물로 계산하면 틀려요. 반드시 소금 $\div$ 소금물(=소금+물)이에요. 위 예제로 확인하면, $5 \div 45$가 아니라 $5 \div 50$.

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3. 소금물의 양 구하기 — 농도와 소금을 알 때 거꾸로!

이번엔 반대 상황이에요. 소금의 양과 농도를 아는데, 소금물 전체가 몇 g인지 모를 때예요.

농도 공식 $\text{농도} = \dfrac{\text{소금}}{\text{소금물}} \times 100$ 을 소금물에 대해 거꾸로 정리하면 돼요. 이게 바로 우리가 1~5편에서 갈고닦은 방정식 풀기예요! 소금물의 양을 모르니까 $x$로 두죠.

예제) 소금 12g이 들어 있는 8% 소금물이 있어요. 소금물은 몇 g일까요?

소금물의 양을 $x$ g이라고 할게요. 표를 먼저 그려요.

	소금물의 양	농도	소금의 양
이 소금물	$x$ g	8%	12 g

농도 공식에 그대로 넣어요.

$$8 = (12 \div x) \times 100$$

이제 $x$를 구하는 방정식을 풀어요. (양변에 $x$를 곱해서 분모를 없애요.) 먼저 $12 \times 100 = 1200$.

$$\begin{aligned} 8 &= 1200 \div x \\ 8 \times x &= 1200 \\ 8x &= 1200 \\ x &= 1200 \div 8 \\ x &= 150 \end{aligned}$$

소금물은 150g이에요. 검산해 볼까요? (소금이 정말 12g인지 확인)

검산: 소금 $= 150 \times (8 \div 100) = 150 \times 0.08 = 12$ (g)

소금이 딱 12g 나오죠? 표를 완성하면 이렇게 돼요.

	소금물의 양	농도	소금의 양
이 소금물	150 g	8%	12 g

정리: $\text{소금물} = \text{소금} \div \frac{\text{농도}}{100}$ 로도 바로 구할 수 있어요. $12 \div (8 \div 100) = 12 \div 0.08 = 150$. 위 방정식과 똑같은 답이죠.

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4. 소금의 양 구하기 — 가장 많이 쓰는 공식

소금물 문제에서 가장 자주 쓰는 건 바로 이거예요.

$\text{소금의 양} = \text{소금물의 양} \times \frac{\text{농도}}{100}$

이게 제일 중요한 이유는, 앞으로 모든 문제에서 우리는 “소금의 양”을 기준으로 식을 세울 거기 때문이에요. (그 이유는 5장에서 밝혀져요.) 그러니 이 공식으로 소금을 뽑아내는 연습을 충분히 해둘게요.

예제 1) 8% 소금물 250g 속에 소금은 몇 g?

표를 그리고, 빈칸(소금)을 공식으로 채워요.

	소금물의 양	농도	소금의 양
이 소금물	250 g	8%	?

$$\begin{aligned} 250 \times (8 \div 100) &= 250 \times 0.08 \\ &= 20 \end{aligned}$$

소금은 20g이에요. 250g짜리 소금물 한 컵에 소금 20g이 녹아 있는 거죠.

예제 2) 5% 소금물 300g 속의 소금

$$300 \times (5 \div 100) = 300 \times 0.05 = 15$$

예제 3) 10% 소금물 400g 속의 소금

$$400 \times (10 \div 100) = 400 \times 0.1 = 40$$

$\text{소금물} \times \dfrac{\text{농도}}{100}$, 이 계산만 반복하면 돼요.

빠른 계산 팁: $\times$ (농도 $\div$ 100)은 그냥 농도 앞에 0.0X를 곱한다고 생각해도 돼요. 8% → $\times 0.08$, 5% → $\times 0.05$, 10% → $\times 0.1$, 20% → $\times 0.2$. 손에 익혀두면 빨라요.

소금물	농도	소금 $\left(= \text{소금물} \times \dfrac{\text{농도}}{100}\right)$
250 g	8%	20 g
300 g	5%	15 g
400 g	10%	40 g
200 g	6%	12 g
500 g	4%	20 g

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5. 물의 양이 변할 때 — 오늘의 가장 중요한 포인트

여기가 오늘 글의 심장이에요.

소금물에 물을 더 붓거나, 끓여서 물을 증발시키면 어떻게 될까요? 많은 친구가 “농도가 바뀌니까 다 바뀌겠지?” 하고 막막해해요. 하지만 사실은 간단해요.

물을 더 넣어도, 물이 증발해도 — 소금의 양은 변하지 않는다.

생각해 보세요. 물을 더 부어도 그 안에 녹아 있던 소금이 어디 도망가지 않잖아요? 물을 끓여서 날려도, 증발하는 건 물뿐이지 소금은 그대로 냄비에 남아요. 그래서 물만 변하는 상황에서는 $\text{처음 소금} = \text{나중 소금}$이에요. 이게 식을 세우는 열쇠예요.

상황	소금의 양	물의 양	소금물의 양	농도
물을 더 넣음	그대로	늘어남	늘어남	묽어짐(↓)
물이 증발함	그대로	줄어듦	줄어듦	진해짐(↑)

소금은 안 변하는데 소금물(전체)만 늘거나 줄죠? 그래서 농도가 바뀌는 거예요.

예제 1) 물을 더 넣기

10% 소금물 200g에 물을 더 넣어 8% 소금물을 만들려고 해요. 물을 몇 g 넣어야 할까요?

1단계. 넣을 물의 양을 $x$ g이라고 두고 표를 그려요.

	소금물의 양	농도	소금의 양
처음	200 g	10%	?
나중	$200 + x$ g	8%	?

소금물의 양: 물을 $x$g 더 넣었으니 나중에는 $200 + x$ g이 되죠.

2단계. 각 줄의 소금의 양을 공식($\text{소금물} \times \frac{\text{농도}}{100}$)으로 채워요.

처음 소금과 나중 소금을 각각 식으로 쓰면 이래요. (위가 처음 소금, 아래가 나중 소금)

$$\begin{aligned} 200 \times (10 \div 100) &= 200 \times 0.1 = 20 \\ (200 + x) \times (8 \div 100) &= (200 + x) \times 0.08 \end{aligned}$$

	소금물의 양	농도	소금의 양
처음	200 g	10%	20 g
나중	$200 + x$ g	8%	$(200 + x) \times 0.08$

3단계. 핵심! 소금의 양은 변하지 않으니까, $\text{처음 소금} = \text{나중 소금}$. 이게 방정식이에요.

$$20 = (200 + x) \times 0.08$$

4단계. 방정식을 풀어요. (오른쪽 괄호부터 풀어요.) 괄호를 풀면(분배) $200 \times 0.08 = 16$, 그리고 16을 이항하면 부호가 바뀌어요.

$$\begin{aligned} 20 &= (200 + x) \times 0.08 \\ 20 &= 200 \times 0.08 + x \times 0.08 \\ 20 &= 16 + 0.08x \\ 20 - 16 &= 0.08x \\ 4 &= 0.08x \\ x &= 4 \div 0.08 \\ x &= 50 \end{aligned}$$

그래서 물을 50g 더 넣으면 돼요!

검산. 물 50g을 넣으면 소금물은 $200 + 50 = 250$ g이 되고, 소금은 그대로 20g이에요. 이때 농도가 정말 8%인지 확인해요.

검산: 농도 $= (20 \div 250) \times 100 = 0.08 \times 100 = 8$ (%)

딱 8%. 소금(20g)은 처음부터 끝까지 한 번도 안 변했다는 점, 꼭 기억해두세요.

예제 2) 물을 증발시키기

6% 소금물 300g을 끓여서 물을 증발시켰더니 10% 소금물이 되었어요. 증발한 물은 몇 g일까요?

증발한 물을 $x$ g이라고 둘게요. 물이 날아갔으니 소금물은 줄어들어요.

	소금물의 양	농도	소금의 양
처음	300 g	6%	?
나중	$300 - x$ g	10%	?

소금의 양을 공식으로 채워요. (소금은 증발해도 그대로! 위가 처음 소금, 아래가 나중 소금)

$$\begin{aligned} 300 \times (6 \div 100) &= 300 \times 0.06 = 18 \\ (300 - x) \times (10 \div 100) &= (300 - x) \times 0.1 \end{aligned}$$

소금의 양은 변하지 않으니, $\text{처음 소금} = \text{나중 소금}$. 괄호를 풀고($300 \times 0.1 = 30$), $0.1x$와 18을 서로 이항해요.

$$\begin{aligned} 18 &= (300 - x) \times 0.1 \\ 18 &= 300 \times 0.1 - x \times 0.1 \\ 18 &= 30 - 0.1x \\ 0.1x &= 30 - 18 \\ 0.1x &= 12 \\ x &= 12 \div 0.1 \\ x &= 120 \end{aligned}$$

증발한 물은 120g이에요!

검산: 나중 소금물 $= 300 - 120 = 180$ (g), 소금은 그대로 18 g. 농도 $= (18 \div 180) \times 100 = 0.1 \times 100 = 10$ (%)

이 장의 핵심 문장 “물이 변할 땐 소금이 안 변한다 →” $\text{처음 소금} = \text{나중 소금}$ 이 한 줄이 소금물 문제의 자물쇠를 여는 열쇠예요.

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6. 소금의 양이 변할 때 — 소금을 더 넣으면?

5장에서는 물이 변했어요. 이번엔 반대로 소금을 더 넣는 경우예요. 소금을 추가하면 어떻게 될까요? 이번엔 소금이 변하니까 당연히…

소금을 더 넣으면 → 소금도 늘고, 소금물(전체)도 그만큼 늘어난다.

소금 $x$g을 넣으면 소금도 $+x$, 소금물도 $+x$ 예요. (소금 자신도 소금물의 일부니까요!) 물은 그대로고요. 표로 보면 한눈에 들어와요.

예제) 소금을 더 넣기

5% 소금물 200g에 소금을 더 넣어 20% 소금물을 만들려고 해요. 소금을 몇 g 넣어야 할까요?

넣을 소금을 $x$ g이라고 둘게요. 표를 그려요.

	소금물의 양	농도	소금의 양
처음	200 g	5%	?
나중	$200 + x$ g	20%	?

여기서 잘 보세요. 소금을 $x$g 넣으면 소금물도 $200 + x$ 가 돼요(소금이 더해진 만큼 전체도 무거워지니까).

이번엔 소금이 변하니까 “처음=나중”을 못 써요. 대신 소금의 양 자체로 식을 세워요. 처음 소금은 $200 \times (5 \div 100) = 200 \times 0.05 = 10$ (g)이고, 나중 소금은 (처음 소금) $+$ (더 넣은 소금) $= 10 + x$ 예요.

그런데 나중 소금은 $\text{나중 소금물} \times \text{나중 농도}$로도 표현돼요. 이 둘이 같아야 해요!

$$\begin{aligned} 10 + x &= (200 + x) \times (20 \div 100) \\ 10 + x &= (200 + x) \times 0.2 \end{aligned}$$

방정식을 풀어요. 괄호를 풀고($200 \times 0.2 = 40$), $x$는 왼쪽·숫자는 오른쪽으로 이항해요($x - 0.2x = 0.8x$).

$$\begin{aligned} 10 + x &= (200 + x) \times 0.2 \\ 10 + x &= 200 \times 0.2 + x \times 0.2 \\ 10 + x &= 40 + 0.2x \\ x - 0.2x &= 40 - 10 \\ 0.8x &= 30 \\ x &= 30 \div 0.8 \\ x &= 37.5 \end{aligned}$$

소금을 37.5g 더 넣으면 돼요.

검산: 나중 소금 $= 10 + 37.5 = 47.5$ (g), 나중 소금물 $= 200 + 37.5 = 237.5$ (g). 농도 $= (47.5 \div 237.5) \times 100 = 0.2 \times 100 = 20$ (%)

비교 정리

• 물을 넣을 때 → 소금물만 늘고 소금은 그대로 (소금: 처음=나중)
• 소금을 넣을 때 → 소금도 늘고 소금물도 늘어남 (소금물도 $+x$) 무엇을 넣느냐에 따라 소금물의 양 칸을 어떻게 채울지가 달라져요. 표가 그래서 중요해요.

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7. 소금물 합치기 — 표 한 장이면 끝

마지막 유형은 서로 다른 두 소금물을 섞는 문제예요. 이게 제일 어려워 보이지만, 핵심 원리는 5장과 똑같아요.

섞기 전 두 소금물의 소금을 다 합치면 = 섞은 뒤 소금물의 소금. (소금은 섞는다고 생기거나 사라지지 않아요. 그냥 한 통에 모일 뿐이에요.)

그러니까 $\text{A 소금물의 소금} + \text{B 소금물의 소금} = \text{섞은 소금물의 소금}$, 이게 방정식이에요. 그리고 $\text{섞은 소금물의 양} = \text{A의 양} + \text{B의 양}$이고요. 표로 정리하면 정말 쉬워요.

예제 1) 농도를 모를 때 (섞으면 몇 %?)

6% 소금물 200g과 10% 소금물 300g을 섞으면 몇 %의 소금물이 될까요?

섞은 소금물의 농도를 $x$ %라고 둘게요. 표를 그려요.

	소금물의 양	농도	소금의 양
A	200 g	6%	?
B	300 g	10%	?
섞은 것	$200 + 300 = 500$ g	$x$ %	?

각 줄의 소금을 공식으로 채워요. (섞은 소금은 $500 \div 100 = 5$이므로 $5x$. 위부터 차례로 A의 소금, B의 소금, 섞은 소금)

$$\begin{aligned} 200 \times (6 \div 100) &= 200 \times 0.06 = 12 \\ 300 \times (10 \div 100) &= 300 \times 0.1 = 30 \\ 500 \times (x \div 100) &= 5x \end{aligned}$$

이제 소금 보존 법칙: $\text{A 소금} + \text{B 소금} = \text{섞은 소금}$.

$$\begin{aligned} 12 + 30 &= 5x \\ 42 &= 5x \\ x &= 42 \div 5 \\ x &= 8.4 \end{aligned}$$

섞은 소금물은 8.4% 예요. (6%와 10% 사이의 값이 나왔죠? 둘을 섞었으니 그 사이가 맞아요.)

검산: $\text{섞은 소금} = \text{A소금} + \text{B소금} = 12 + 30 = 42$ (g), 섞은 소금물 $= 500$ g. 농도 $= (42 \div 500) \times 100 = 0.084 \times 100 = 8.4$ (%)

예제 2) 양을 모를 때 (얼마씩 섞어야 할까?)

4% 소금물과 10% 소금물을 섞어서 8% 소금물 600g을 만들려고 해요. 각각 몇 g씩 섞어야 할까요?

4% 소금물을 $x$ g이라고 두면, 둘을 합쳐 600g이니까 10% 소금물은 $600 - x$ g이에요. (여기서 미지수 하나로 둘 다 표현하는 게 포인트!)

	소금물의 양	농도	소금의 양
4% 소금물	$x$ g	4%	?
10% 소금물	$600 - x$ g	10%	?
섞은 것	600 g	8%	?

소금을 공식으로 채워요. (위부터 차례로 4% 쪽 소금, 10% 쪽 소금, 섞은 소금)

$$\begin{aligned} x \times (4 \div 100) &= 0.04x \\ (600 - x) \times (10 \div 100) &= (600 - x) \times 0.1 \\ 600 \times (8 \div 100) &= 600 \times 0.08 = 48 \end{aligned}$$

소금 보존: $\text{4\% 소금} + \text{10\% 소금} = \text{섞은 소금}$. 괄호를 풀고($600 \times 0.1 = 60$), 정리하면($0.04x - 0.1x = -0.06x$) 60을 이항해요.

$$\begin{aligned} 0.04x + (600 - x) \times 0.1 &= 48 \\ 0.04x + 600 \times 0.1 - x \times 0.1 &= 48 \\ 0.04x + 60 - 0.1x &= 48 \\ 0.04x - 0.1x + 60 &= 48 \\ -0.06x + 60 &= 48 \\ -0.06x &= 48 - 60 \\ -0.06x &= -12 \\ x &= (-12) \div (-0.06) \\ x &= 200 \end{aligned}$$

그래서 4% 소금물은 200g, 10% 소금물은 $600 - 200 = 400$ g 섞으면 돼요.

검산: 4% 쪽 소금 $= 200 \times 0.04 = 8$ (g), 10% 쪽 소금 $= 400 \times 0.1 = 40$ (g). 소금 합 $= 8 + 40 = 48$ (g), 소금물 합 $= 200 + 400 = 600$ (g). 농도 $= (48 \div 600) \times 100 = 0.08 \times 100 = 8$ (%)

합치기 문제의 만능 열쇠 “섞기 전 소금들의 합 = 섞은 후 소금” — 그리고 각 소금은 전부 $\text{소금물} \times \dfrac{\text{농도}}{100}$. 표의 ‘소금’ 칸만 정확히 채우면 방정식은 저절로 세워져요.

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단원 마무리

소금물 문제는 결국 표 + 소금 공식 + 보존 아이디어예요.

• 소금 3대 공식
  • $\text{소금} = \text{소금물} \times \dfrac{\text{농도}}{100}$
  • $\text{농도}\,(\%) = \dfrac{\text{소금}}{\text{소금물}} \times 100$
  • $\text{소금물} = \text{소금} + \text{물}$
• 농도(%) 는 “소금물 100g 속 소금 몇 g”이라는 뜻. 분모는 물이 아니라 소금물(=소금+물)!
• 물이 변할 때 → 소금은 그대로. → $\text{처음 소금} = \text{나중 소금}$으로 식 세우기. (오늘의 핵심!)
• 소금이 변할 때 → 소금도 늘고 소금물도 그만큼 늚.
• 두 소금물을 섞을 때 → $\text{A 소금} + \text{B 소금} = \text{섞은 소금}$. (소금은 보존된다!)
• 어떤 문제든 표(소금물 | 농도 | 소금) 를 그리고, 소금 칸을 공식으로 채우면 방정식 완성.
• 검산은 항상 최종 농도가 맞는지 $\dfrac{\text{소금}}{\text{소금물}} \times 100$으로 확인!

스스로 풀어보기 (정답·풀이 모두 있음)

연필을 들고 표부터 그려본 다음 풀어보세요. 풀이는 한 줄도 생략 없이 적었어요.

문제 1. 소금 30g을 물 170g에 녹였어요. 이 소금물의 농도는 몇 %일까요? 문제 2. 12% 소금물 350g 속에는 소금이 몇 g 들어 있을까요? 문제 3. 소금 24g이 들어 있는 6% 소금물은 몇 g일까요? 문제 4. 8% 소금물 150g에 물을 더 넣어 6% 소금물을 만들려고 해요. 물을 몇 g 넣어야 할까요? 문제 5. 9% 소금물 400g을 끓여 물을 증발시켰더니 12% 소금물이 되었어요. 증발한 물은 몇 g? 문제 6. 5% 소금물 320g에 소금을 더 넣어 20% 소금물을 만들려고 해요. 소금을 몇 g 넣을까요? 문제 7. 4% 소금물 250g과 10% 소금물 150g을 섞으면 몇 %의 소금물이 될까요? 문제 8. (도전!) 5% 소금물과 13% 소금물을 섞어 10% 소금물 800g을 만들려고 해요. 각각 몇 g씩?

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풀이 1) 소금 30g, 물 170g → 농도?

소금물은 소금 30g과 물 170g을 더한 값(200)이고, 거기에 농도 공식을 적용해요.

$$\begin{aligned} 30 + 170 &= 200 \\ (30 \div 200) \times 100 &= 0.15 \times 100 = 15 \end{aligned}$$

답: 15%

검산: 소금 $= 200 \times (15 \div 100) = 200 \times 0.15 = 30$ (g)

풀이 2) 12% 소금물 350g 속 소금?

$$350 \times (12 \div 100) = 350 \times 0.12 = 42$$

답: 42g

검산: 농도 $= (42 \div 350) \times 100 = 0.12 \times 100 = 12$ (%)

풀이 3) 소금 24g인 6% 소금물의 양?

소금물의 양을 $x$ g이라 하자. 농도 공식에 넣으면($24 \times 100 = 2400$), 양변에 $x$를 곱하고 6으로 나눠요.

$$\begin{aligned} 6 &= (24 \div x) \times 100 \\ 6 &= 2400 \div x \\ 6x &= 2400 \\ x &= 2400 \div 6 \\ x &= 400 \end{aligned}$$

답: 400g

검산: 소금 $= 400 \times (6 \div 100) = 400 \times 0.06 = 24$ (g)

풀이 4) 8% 소금물 150g + 물 → 6%. 넣을 물?

넣을 물을 $x$ g이라 하자.

	소금물의 양	농도	소금의 양
처음	150 g	8%	12 g
나중	$150 + x$ g	6%	$(150 + x) \times 0.06$

처음 소금 $= 150 \times (8 \div 100) = 150 \times 0.08 = 12$ (g). 물만 변하므로 소금은 그대로: $\text{처음 소금} = \text{나중 소금}$. 괄호를 풀고($150 \times 0.06 = 9$), 9를 이항해요.

$$\begin{aligned} 12 &= (150 + x) \times 0.06 \\ 12 &= 150 \times 0.06 + x \times 0.06 \\ 12 &= 9 + 0.06x \\ 12 - 9 &= 0.06x \\ 3 &= 0.06x \\ x &= 3 \div 0.06 \\ x &= 50 \end{aligned}$$

답: 물 50g

검산: 나중 소금물 $= 150 + 50 = 200$ (g), 소금 그대로 12 g. 농도 $= (12 \div 200) \times 100 = 0.06 \times 100 = 6$ (%)

풀이 5) 9% 소금물 400g 증발 → 12%. 증발한 물?

증발한 물을 $x$ g이라 하자.

	소금물의 양	농도	소금의 양
처음	400 g	9%	36 g
나중	$400 - x$ g	12%	$(400 - x) \times 0.12$

처음 소금 $= 400 \times (9 \div 100) = 400 \times 0.09 = 36$ (g). 물만 증발하므로 소금은 그대로: $\text{처음 소금} = \text{나중 소금}$. 괄호를 풀고($400 \times 0.12 = 48$), $0.12x$와 36을 서로 이항해요.

$$\begin{aligned} 36 &= (400 - x) \times 0.12 \\ 36 &= 400 \times 0.12 - x \times 0.12 \\ 36 &= 48 - 0.12x \\ 0.12x &= 48 - 36 \\ 0.12x &= 12 \\ x &= 12 \div 0.12 \\ x &= 100 \end{aligned}$$

답: 증발한 물 100g

검산: 나중 소금물 $= 400 - 100 = 300$ (g), 소금 그대로 36 g. 농도 $= (36 \div 300) \times 100 = 0.12 \times 100 = 12$ (%)

풀이 6) 5% 소금물 320g + 소금 → 20%. 넣을 소금?

넣을 소금을 $x$ g이라 하자. (소금을 넣으면 소금물도 $+x$!)

	소금물의 양	농도	소금의 양
처음	320 g	5%	16 g
나중	$320 + x$ g	20%	$16 + x$

처음 소금 $= 320 \times (5 \div 100) = 320 \times 0.05 = 16$ (g). 나중 소금 $= 16 + x$ (그리고 $=$ 나중 소금물 $\times$ 농도). 괄호를 풀고($320 \times 0.2 = 64$), $x$는 왼쪽·숫자는 오른쪽으로($x - 0.2x = 0.8x$) 정리해요.

$$\begin{aligned} 16 + x &= (320 + x) \times (20 \div 100) \\ 16 + x &= (320 + x) \times 0.2 \\ 16 + x &= 320 \times 0.2 + x \times 0.2 \\ 16 + x &= 64 + 0.2x \\ x - 0.2x &= 64 - 16 \\ 0.8x &= 48 \\ x &= 48 \div 0.8 \\ x &= 60 \end{aligned}$$

답: 소금 60g

검산: 나중 소금 $= 16 + 60 = 76$ (g), 나중 소금물 $= 320 + 60 = 380$ (g). 농도 $= (76 \div 380) \times 100 = 0.2 \times 100 = 20$ (%)

풀이 7) 4% 250g + 10% 150g → 몇 %?

섞은 농도를 $x$ %라 하자.

	소금물의 양	농도	소금의 양
A	250 g	4%	10 g
B	150 g	10%	15 g
섞은 것	400 g	$x$ %	$4x$

각 줄의 소금을 공식으로 채우고(섞은 소금은 $400 \div 100 = 4$이므로 $4x$), 소금 보존($\text{A소금} + \text{B소금} = \text{섞은 소금}$)으로 식을 세워요. (아래 첫 줄이 A 소금, 둘째 줄이 B 소금)

$$\begin{aligned} 250 \times (4 \div 100) &= 250 \times 0.04 = 10 \\ 150 \times (10 \div 100) &= 150 \times 0.1 = 15 \\ 10 + 15 &= 4x \\ 25 &= 4x \\ x &= 25 \div 4 \\ x &= 6.25 \end{aligned}$$

답: 6.25%

검산: 섞은 소금 $= 10 + 15 = 25$ (g), 섞은 소금물 $= 400$ g. 농도 $= (25 \div 400) \times 100 = 0.0625 \times 100 = 6.25$ (%)

풀이 8) (도전!) 5%와 13%를 섞어 10% 소금물 800g

5% 소금물을 $x$ g이라 하면, 13% 소금물은 $800 - x$ g.

	소금물의 양	농도	소금의 양
5% 소금물	$x$ g	5%	$0.05x$
13% 소금물	$800 - x$ g	13%	$(800 - x) \times 0.13$
섞은 것	800 g	10%	80 g

섞은 소금 $= 800 \times (10 \div 100) = 800 \times 0.1 = 80$ (g). 소금 보존($\text{5\% 소금} + \text{13\% 소금} = \text{섞은 소금}$)으로 식을 세우고, 괄호를 풀고($800 \times 0.13 = 104$), 정리하면($0.05x - 0.13x = -0.08x$) 104를 이항해요.

$$\begin{aligned} 0.05x + (800 - x) \times 0.13 &= 80 \\ 0.05x + 800 \times 0.13 - x \times 0.13 &= 80 \\ 0.05x + 104 - 0.13x &= 80 \\ 0.05x - 0.13x + 104 &= 80 \\ -0.08x + 104 &= 80 \\ -0.08x &= 80 - 104 \\ -0.08x &= -24 \\ x &= (-24) \div (-0.08) \\ x &= 300 \end{aligned}$$

답: 5% 소금물 300g, 13% 소금물 $800 - 300 = 500$ g

검산: 5% 쪽 소금 $= 300 \times 0.05 = 15$ (g), 13% 쪽 소금 $= 500 \times 0.13 = 65$ (g). 소금 합 $= 15 + 65 = 80$ (g), 소금물 합 $= 300 + 500 = 800$ (g). 농도 $= (80 \div 800) \times 100 = 0.1 \times 100 = 10$ (%)

몇 개 막혔어도 괜찮아요. 표를 먼저 그렸는지, 소금 칸을 공식으로 정확히 채웠는지 다시 점검해 보세요. 거기서 거의 모든 실수가 풀려요.

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쉬어가기

“소금은 사라지지 않는다” — 과학의 큰 약속, 보존 법칙

오늘 우리가 문제를 풀 때 가장 많이 쓴 생각은 이거였어요. “물을 넣어도, 끓여도, 섞어도 — 소금의 양은 변하지 않는다.” 사실 이건 단순한 문제 풀이 요령이 아니라, 과학에서 아주 크고 중요한 아이디어예요.

과학에는 “질량은 새로 생기거나 사라지지 않고, 모습만 바뀐다”는 약속이 있어요. 이걸 질량 보존이라고 불러요. 물이 증발하면 눈에는 사라진 것처럼 보이지만, 그 물 알갱이는 공기 중으로 옮겨 갔을 뿐 없어진 게 아니에요. 소금도 마찬가지로, 물에 녹아 안 보여도 그릇 안에 그대로 있고요.

오늘 $\text{처음 소금} = \text{나중 소금}$이라고 식을 세운 순간, 사실은 수백 년 전 과학자들이 저울로 수없이 확인했던 자연의 약속을 그대로 쓴 거예요. 수학과 과학은 이렇게 보이지 않는 곳에서 손을 잡고 있답니다.

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다음 글에서는 오늘처럼 표를 그려 푸는 또 다른 실생활 방정식, 거리·속력·시간 문제를 배울 거예요. “기차가 몇 시에 만날까?” 같은 문제요. 오늘 익힌 표 그리기와 보존 아이디어로 식 세우기, 이 두 무기만 챙기면 다음 단원도 어렵지 않아요.