중학 일차방정식 ⑤ 비율에 대한 방정식 — 부분과 나머지·증가와 감소·비

앞 글까지 우리는 방정식을 세우고 푸는 법, 그리고 수·나이·도형 같은 문제를 다뤘어요. 이번에는 일상에서 자주 만나는 주제, 바로 비율(%)과 비에 대한 방정식을 풀어요. “30% 할인”, “작년보다 10% 늘었다”, “2:3으로 나눠 가지자” 같은 말이 사실은 전부 방정식으로 바뀐답니다. 천천히, 한 줄도 빠짐없이 같이 가요.

이 글의 약속

1. 새로운 말(비율·백분율·비)이 나오면 무슨 뜻인지 먼저 설명해요.
2. 분수·곱셈 계산은 한 단계씩 보여줘요. (암산으로 건너뛰지 않아요)
3. 답을 구하면 검산(맞는지 확인)까지 해요.

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0. 준비운동 — 비율과 백분율부터 친해지기

본격적으로 들어가기 전에, 자주 헷갈리는 두 단어를 뜻부터 짚고 갈게요. 여기만 확실히 잡으면 이번 글이 훨씬 쉬워져요.

비율이란?

비율은 “기준이 되는 양과 비교하는 양을 견주어 본 값”이에요. 말은 어렵지만 식은 간단해요. 즉 비율은 (비교하는 양)을 (기준량)으로 나눈 값이에요. 비교하는 양을 $a$, 기준량을 $b$라 하면 비율은

$\frac{a}{b}$

라고 쓸 수 있어요. (여기서 분자 $a$가 비교하는 양, 분모 $b$가 기준량이에요.)

예를 들어 학생 20명 중에서 안경을 쓴 학생이 5명이라면, 안경 쓴 학생의 비율은

$\frac{5}{20} = \frac{1}{4} = 0.25$

즉 전체를 1이라고 봤을 때, 안경 쓴 학생은 그중 0.25(=1/4)만큼이라는 뜻이에요.

백분율(%)이란?

비율을 보면 $0.25$, $0.3$, $0.125$처럼 소수가 자주 나오죠. 이게 한눈에 잘 안 들어와요. 그래서 기준량을 100으로 맞춰서 나타낸 게 바로 백분율이에요. “백(100)으로 나눈 비율”이라는 뜻이고, 기호로 %(퍼센트)를 써요.

백분율(%): 비율에 100을 곱한 값. 기호는 %. $\text{백분율(\%)} = \text{비율} \times 100$

방금 본 $0.25$를 백분율로 바꾸면 $0.25 \times 100 = 25$, 즉 25%예요. 반대로 백분율을 비율로 되돌리려면 100으로 나누면 돼요. 25% → $25 \div 100 = 0.25$.

비율(소수)	분수	백분율(%)
$0.5$	$\frac{1}{2}$	50%
$0.25$	$\frac{1}{4}$	25%
$0.2$	$\frac{1}{5}$	20%
$0.1$	$\frac{1}{10}$	10%
$0.01$	$\frac{1}{100}$	1%

“$a$의 $b$%“를 계산하는 법

이번 글에서 가장 많이 쓰는 도구예요. 꼭 외워두세요.

$a$의 $b$% $= a \times \frac{b}{100}$

말로 풀면, “어떤 양 $a$의 $b$퍼센트”는 $a$에 $\frac{b}{100}$을 곱한 값이에요. 예를 들어 볼게요.

• 200의 10%: $200 \times \frac{10}{100} = 200 \times 0.1 = 20$
• 50의 20%: $50 \times \frac{20}{100} = 50 \times 0.2 = 10$
• 400의 25%: $400 \times \frac{25}{100} = 400 \times 0.25 = 100$

한 줄 정리 $\text{비율} = \text{비교량} \div \text{기준량}$, $\text{백분율} = \text{비율} \times 100$, 그리고 $a$의 $b$% $= a \times \frac{b}{100}$. 이 세 가지면 이번 글의 절반은 끝났어요.

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1. 부분과 나머지 — 전체를 $x$로 놓기

가장 먼저 만나볼 유형이에요. 이야기는 보통 이렇게 흘러가요. “전체 중에서 일부를 쓰고(또는 나누어 주고), 나머지가 얼마 남았다.” 그래서 처음 전체가 얼마였는지 묻는 거예요.

핵심 아이디어

모르는 “전체”를 $x$로 놓는다. 그리고 $\text{쓴 부분} + \text{남은 부분} = \text{전체}\,(x)$ 라는 관계로 식을 세운다.

여기서 “쓴 부분”이 $x$의 몇 분의 몇이면, 앞에서 배운 대로 ($x$ × 분수) 꼴로 쓰면 돼요.

예제 1) 끈을 1/3 쓰고 20cm 남았다

길이를 모르는 끈이 있어요. 이 끈의 1/3을 잘라 쓰고 나니 20cm가 남았어요. 처음 끈의 길이는 몇 cm였을까요?

① 전체를 $x$로 놓기. 처음 끈의 길이를 $x$cm라고 할게요.

② 부분 표현하기. 쓴 부분은 $x$의 1/3이니까 $x \times \frac{1}{3} = \frac{x}{3}$이에요.

③ 식 세우기. “쓴 부분 + 남은 부분 = 전체”니까 다음 식이 돼요. 먼저 $20$을 오른쪽으로 이항하고(부호 바뀜), 분수를 없애려고 양변에 3을 곱한 뒤, $3x$를 왼쪽으로 이항해서 정리하고, 마지막에 양변을 $-2$로 나눠요.

$$\begin{aligned} \frac{x}{3} + 20 &= x \\ \frac{x}{3} &= x - 20 \\ x &= 3x - 60 \\ x - 3x &= -60 \\ -2x &= -60 \\ x &= \frac{-60}{-2} \\ x &= 30 \end{aligned}$$

검산: 처음 30cm 중 1/3 $= 30 \times \frac{1}{3} = 10$cm를 쓰면 남는 길이 $= 30 - 10 = 20$cm → 문제와 같다.

처음 끈은 30cm였어요.

분수가 들어간 식은 양변에 분모를 곱해서 분수를 먼저 없애면 깔끔해져요. 위에서 양변에 3을 곱한 게 바로 그거예요.

예제 2) 사탕의 2/5를 동생에게 주고 12개 남았다

사탕을 한 봉지 샀어요. 그중 2/5를 동생에게 주고 나니 12개가 남았어요. 처음 사탕은 몇 개였을까요?

전체 사탕을 $x$개라고 하면, 동생에게 준 건 $x \times \frac{2}{5} = \frac{2x}{5}$개예요. “준 것 + 남은 것 = 전체”로 식을 세워요. 양변에 5를 곱해 분수를 없애고, $2x$를 오른쪽으로 이항한 뒤, 양변을 3으로 나눠요.

$$\begin{aligned} \frac{2x}{5} + 12 &= x \\ 2x + 60 &= 5x \\ 60 &= 5x - 2x \\ 60 &= 3x \\ \frac{60}{3} &= x \\ 20 &= x \end{aligned}$$

검산: 20개 중 2/5 $= 20 \times \frac{2}{5} = 8$개를 주면 남는 개수 $= 20 - 8 = 12$개 → 문제와 같다.

처음 사탕은 20개였어요. (참고: 남은 12개는 전체의 3/5이고, $20 \times \frac{3}{5} = 12$로도 맞아요.)

생각 넓히기: “2/5를 줬다”는 건 “3/5가 남았다”는 말과 같아요. 그래서 $\frac{3}{5}x = 12$로 바로 세워도 돼요. ($x = 12 \times \frac{5}{3} = 20$) 어느 쪽으로 세워도 답은 똑같아요. 둘 다 익혀두면 더 빨라져요.

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2. 증가와 감소에 대한 문제 (1) — 늘어났을 때

이제 백분율이 본격적으로 등장해요. 먼저 “늘어난다(증가)“부터요.

$b$% 증가하면?

어떤 양 $a$가 $b$% 늘어난다는 건, 원래 양 $a$에 늘어난 양을 더한다는 뜻이에요. 늘어난 양은 “$a$의 $b$%“니까 $a \times \frac{b}{100}$이죠. 그래서 $b$% 증가한 값은

$a + a \times \frac{b}{100} = a \times \left(1 + \frac{b}{100}\right)$

이에요. $a$로 묶으면 $a \times \left(1 + \frac{b}{100}\right)$이라는 깔끔한 모양이 나와요. 예를 들어,

• 10% 증가: $\times\left(1 + \frac{10}{100}\right) = \times(1 + 0.1) = \times 1.1$
• 20% 증가: $\times\left(1 + \frac{20}{100}\right) = \times(1 + 0.2) = \times 1.2$
• 5% 증가: $\times\left(1 + \frac{5}{100}\right) = \times(1 + 0.05) = \times 1.05$

$b$% 증가 = 원래 양에 $\left(1 + \frac{b}{100}\right)$을 곱하기. 10% 늘면 $\times 1.1$, 20% 늘면 $\times 1.2$ … 처럼요.

예제 1) 작년보다 10% 늘어 220명

올해 어느 동아리 회원이 작년보다 10% 늘어서 220명이 되었어요. 작년 회원은 몇 명이었을까요?

작년 회원 수를 $x$명이라고 할게요. 그러면 올해는 작년에서 10% 증가했으니 $x \times \left(1 + \frac{10}{100}\right) = x \times 1.1 = 1.1x$명이에요. 이게 220명과 같다고 식을 세우고, 양변을 1.1로 나눠요.

$$\begin{aligned} 1.1x &= 220 \\ x &= 220 \div 1.1 \\ x &= 200 \end{aligned}$$

검산: 작년 200명에서 10% 증가 → 늘어난 인원 $= 200 \times \frac{10}{100} = 20$명, 올해 $= 200 + 20 = 220$명 → 문제와 같다.

작년에는 200명이었어요.

자주 하는 실수: “220의 10%를 빼면 작년”이라고 생각해서 $220 - 22 = 198$로 답하는 거예요. 하지만 10%는 작년(200)을 기준으로 한 거지, 올해(220)를 기준으로 한 게 아니에요. 그래서 $220 - 22$는 틀려요. 기준이 무엇인지 늘 조심해야 해요.

예제 2) 키가 8% 자라서 162cm

어떤 학생의 키가 1년 동안 8% 자라서 162cm가 되었어요. 1년 전 키는 몇 cm였을까요?

1년 전 키를 $x$cm라고 하면, 지금 키는 $x \times \left(1 + \frac{8}{100}\right) = x \times 1.08 = 1.08x$cm예요. 양변을 1.08로 나눠요.

$$\begin{aligned} 1.08x &= 162 \\ x &= 162 \div 1.08 \\ x &= 150 \end{aligned}$$

검산: 150cm에서 8% 증가 → 늘어난 키 $= 150 \times \frac{8}{100} = 12$cm, 지금 키 $= 150 + 12 = 162$cm → 문제와 같다.

1년 전 키는 150cm였어요.

나눗셈이 헷갈리면 분수로 바꿔도 돼요. $1.08 = \frac{108}{100}$이니까 $162 \div 1.08 = 162 \div \frac{108}{100} = 162 \times \frac{100}{108} = \frac{16200}{108} = 150$. 똑같이 150이 나와요.

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3. 증가와 감소에 대한 문제 (2) — 줄어들 때, 그리고 섞일 때

이번엔 “줄어든다(감소)“예요. 증가를 잘 이해했다면 감소는 부호만 바꾸면 돼요.

$b$% 감소하면?

어떤 양 $a$가 $b$% 줄어든다는 건, 원래 양 $a$에서 줄어든 양을 뺀다는 뜻이에요. 줄어든 양은 “$a$의 $b$%“니까 $a \times \frac{b}{100}$이죠. 그래서 $b$% 감소한 값은

$a - a \times \frac{b}{100} = a \times \left(1 - \frac{b}{100}\right)$

이에요. 증가 때는 $+$였는데, 감소는 $-$로 바뀐 것뿐이에요. 예를 들어,

• 10% 감소: $\times\left(1 - \frac{10}{100}\right) = \times(1 - 0.1) = \times 0.9$
• 20% 감소: $\times\left(1 - \frac{20}{100}\right) = \times(1 - 0.2) = \times 0.8$
• 30% 감소: $\times\left(1 - \frac{30}{100}\right) = \times(1 - 0.3) = \times 0.7$

$b$% 감소 = 원래 양에 $\left(1 - \frac{b}{100}\right)$을 곱하기. 10% 줄면 $\times 0.9$, 20% 줄면 $\times 0.8$, 30% 줄면 $\times 0.7$ … 처럼요.

예제 1) 20% 할인해서 4800원

어떤 물건을 20% 할인해서 샀더니 4800원이었어요. 할인 전 원래 가격은 얼마였을까요?

원래 가격을 $x$원이라고 하면, 20% 할인은 20% 감소니까 할인가 $= x \times \left(1 - \frac{20}{100}\right) = x \times 0.8 = 0.8x$원이에요. 양변을 0.8로 나눠요.

$$\begin{aligned} 0.8x &= 4800 \\ x &= 4800 \div 0.8 \\ x &= 6000 \end{aligned}$$

검산: 6000원에서 20% 할인 → 할인액 $= 6000 \times \frac{20}{100} = 1200$원, 할인가 $= 6000 - 1200 = 4800$원 → 문제와 같다.

원래 가격은 6000원이었어요.

예제 2) 증가와 감소가 섞인 문제

이번엔 한 문제 안에서 늘기도 하고 줄기도 하는 경우예요. 조금 길지만, 한 부분씩 차근차근 식으로 옮기면 어렵지 않아요.

어느 가게의 작년 신발 판매량을 모른다고 해요. 올해 운동화는 작년보다 10% 늘었고, 구두는 작년보다 20% 줄었어요. 작년에 운동화와 구두를 똑같은 수만큼 팔았고, 작년 운동화 판매량을 $x$켤레라고 할 때, 올해 운동화와 구두를 합친 판매량이 190켤레였어요. 작년 운동화 판매량 $x$는 몇 켤레일까요?

작년 운동화도 $x$켤레, 작년 구두도 (똑같으니) $x$켤레예요.

• 올해 운동화 = 작년 $x$에서 10% 증가 → $x \times \left(1 + \frac{10}{100}\right) = 1.1x$
• 올해 구두 = 작년 $x$에서 20% 감소 → $x \times \left(1 - \frac{20}{100}\right) = 0.8x$

올해 둘을 합치면 190켤레라고 했으니, 좌변을 합치고 양변을 1.9로 나눠요.

$$\begin{aligned} 1.1x + 0.8x &= 190 \\ 1.9x &= 190 \\ x &= 190 \div 1.9 \\ x &= 100 \end{aligned}$$

검산: 올해 운동화 $= 1.1 \times 100 = 110$켤레, 올해 구두 $= 0.8 \times 100 = 80$켤레, 합계 $= 110 + 80 = 190$켤레 → 문제와 같다.

작년 운동화 판매량 $x$는 100켤레였어요.

섞인 문제 푸는 요령

1. 늘어난 것은 $\times\left(1 + \frac{b}{100}\right)$, 줄어든 것은 $\times\left(1 - \frac{b}{100}\right)$로 각각 적는다.
2. 문제에서 말한 합·차 관계대로 더하거나 빼서 식 하나로 만든다.
3. 평소처럼 풀고 검산한다.

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4. 비에 대한 문제 (1) — 비례식 $ad = bc$

이제 주제를 살짝 바꿔서 비(比)로 가볼게요.

비와 비례식이란?

$2 : 3$처럼 콜론(:)으로 두 수를 견주어 나타낸 것을 비라고 읽어요. (“2 대 3”이라고 읽어요.) 그리고 두 비가 같다는 걸 $=$로 이어 쓴 식을 비례식이라고 해요. 예: $2 : 3 = 4 : 6$.

비례식에는 자리마다 이름이 있어요. 바깥쪽 두 수를 외항, 안쪽 두 수를 내항이라고 불러요.

비례식 $a : b = c : d$에서 바깥쪽 $a$와 $d$가 “외항”, 안쪽 $b$와 $c$가 “내항”이에요.

여기서 아주 중요한 성질 하나가 나와요.

비례식의 성질: $\text{외항의 곱} = \text{내항의 곱}$. 즉 $a : b = c : d$ 이면 $a \times d = b \times c$ (줄여서 $ad = bc$).

예를 들어 $2 : 3 = 4 : 6$이 정말 맞는지 보면, 외항의 곱 $2 \times 6 = 12$, 내항의 곱 $3 \times 4 = 12$로 둘이 같죠? 그래서 이 비례식은 참이에요. 비례식 문제는 거의 다 이 성질 하나로 풀려요.

예제 1) $3 : 4 = x : 20$

빈칸이 $x$인 비례식이에요. $\text{외항의 곱} = \text{내항의 곱}$으로 바로 식을 세워요. 외항은 3과 20, 내항은 4와 $x$예요. 그다음 양변을 4로 나눠요.

$$\begin{aligned} 3 : 4 &= x : 20 \\ 3 \times 20 &= 4 \times x \\ 60 &= 4x \\ \frac{60}{4} &= x \\ 15 &= x \end{aligned}$$

검산: $3 : 4 = 15 : 20$ → 외항의 곱 $3 \times 20 = 60$, 내항의 곱 $4 \times 15 = 60$ → $60 = 60$.

$x = 15$예요.

예제 2) $x : 6 = 10 : 4$

이번엔 $x$가 맨 앞(외항)에 있어요. 그래도 방법은 똑같아요. 외항은 $x$와 4, 내항은 6과 10이에요. 그다음 양변을 4로 나눠요.

$$\begin{aligned} x : 6 &= 10 : 4 \\ x \times 4 &= 6 \times 10 \\ 4x &= 60 \\ x &= \frac{60}{4} \\ x &= 15 \end{aligned}$$

검산: $15 : 6 = 10 : 4$ → 외항 $15 \times 4 = 60$, 내항 $6 \times 10 = 60$ → $60 = 60$.

$x = 15$예요.

예제 3) 비례식으로 실생활 문제

쌀 2컵으로 밥을 지으면 3인분이 나온대요. 5인분을 지으려면 쌀이 몇 컵 필요할까요?

“쌀 컵 수 대 인분 수”의 비가 일정하다고 보면, 필요한 쌀을 $x$컵이라 할 때 $2 : 3 = x : 5$라는 비례식이 돼요. (쌀 : 인분 = 쌀 : 인분, 순서를 맞춰 적는 게 중요해요.) $\text{외항의 곱} = \text{내항의 곱}$으로 세우고 양변을 3으로 나눠요.

$$\begin{aligned} 2 : 3 &= x : 5 \\ 2 \times 5 &= 3 \times x \\ 10 &= 3x \\ \frac{10}{3} &= x \\ x &= \frac{10}{3} = 3.333\ldots \end{aligned}$$

(약 3과 $\frac{1}{3}$ 컵)

검산: $2 : 5 = 10$이고 $3 \times \frac{10}{3} = 10$이므로, 외항의 곱 $= 2 \times 5 = 10$, 내항의 곱 $= 3 \times \frac{10}{3} = 10$ → $10 = 10$.

쌀은 $\frac{10}{3}$컵(약 $3\frac{1}{3}$컵) 필요해요. (답이 딱 떨어지지 않을 수도 있어요. 그래도 검산하면 안심이 돼요.)

비례식을 세울 때는 항상 같은 종류끼리 같은 자리에 두세요. 위에서는 “쌀 : 인분 = 쌀 : 인분” 순서를 지켰어요. 한쪽만 순서를 바꾸면 답이 틀려요.

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5. 비에 대한 문제 (2) — 전체를 비로 나누기

마지막 유형이에요. “전체를 2 : 3으로 나눈다” 같은 문제예요. 살짝 헷갈릴 수 있으니 아주 천천히 갈게요.

비로 나눈다는 게 무슨 뜻일까?

전체를 $a : b$로 나눈다는 건, 전체를 $a + b$개의 똑같은 조각으로 쪼갠 다음, 한 사람은 $a$조각, 다른 사람은 $b$조각을 가져간다는 뜻이에요.

그러니 전체가 얼마든, 각자의 몫은 이렇게 돼요.

전체를 $a : b$로 나누면, · $\text{앞사람 몫} = \text{전체} \times \dfrac{a}{a+b}$ · $\text{뒷사람 몫} = \text{전체} \times \dfrac{b}{a+b}$

분모가 $a + b$(조각의 총 개수)라는 걸 꼭 기억하세요. 두 몫을 더하면 당연히 전체가 돼요.

예제 1) 사탕 30개를 2 : 3으로 나누기

사탕 30개를 형과 동생이 2 : 3으로 나누어 가지기로 했어요. 각자 몇 개씩일까요?

전체 조각 수는 $2 + 3 = 5$예요. 그러니 사탕 30개를 5조각으로 나누면 한 조각은 $30 \div 5 = 6$개예요. 이제 형은 2조각, 동생은 3조각을 가져가요.

• 한 조각 $= 30 \div (2+3) = 30 \div 5 = 6$
• 형(2조각) $= 30 \times \frac{2}{2+3} = 30 \times \frac{2}{5} = \frac{60}{5} = 12$
• 동생(3조각) $= 30 \times \frac{3}{2+3} = 30 \times \frac{3}{5} = \frac{90}{5} = 18$

(형은 $6 \times 2 = 12$, 동생은 $6 \times 3 = 18$로 구해도 같아요.)

검산: 형 + 동생 $= 12 + 18 = 30$개 → 전체와 같다. 또 형 : 동생 $= 12 : 18 = 2 : 3$ (둘 다 6으로 나누면 $2 : 3$).

형은 12개, 동생은 18개예요.

예제 2) $x$로 놓아 방정식으로 풀기

위에서는 “한 조각” 방법으로 풀었어요. 이번엔 방정식으로도 풀어볼게요. 두 방법이 결국 같다는 걸 보면 더 든든해져요.

길이 42cm인 끈을 3 : 4로 잘랐어요. 짧은 쪽과 긴 쪽은 각각 몇 cm일까요?

비가 $3 : 4$니까, 한 조각의 길이를 $x$cm라고 놓을게요. 그러면 짧은 쪽은 $3x$, 긴 쪽은 $4x$예요. 둘을 합치면 전체 42cm가 되어야 하죠. 좌변을 합치고 양변을 7로 나눠요.

$$\begin{aligned} 3x + 4x &= 42 \\ 7x &= 42 \\ x &= 42 \div 7 \\ x &= 6 \end{aligned}$$

짧은 쪽 $= 3x = 3 \times 6 = 18$cm, 긴 쪽 $= 4x = 4 \times 6 = 24$cm예요.

검산: $18 + 24 = 42$cm → 전체와 같다. $18 : 24 = 3 : 4$ (둘 다 6으로 나누면 $3 : 4$).

짧은 쪽은 18cm, 긴 쪽은 24cm예요.

비교해 보기: “한 조각” 방법으로도 확인해 볼까요? 한 조각 $= 42 \div (3+4) = 42 \div 7 = 6$cm. 짧은 쪽 $= 6 \times 3 = 18$cm, 긴 쪽 $= 6 \times 4 = 24$cm. 방정식 방법과 완전히 똑같죠? $x$가 바로 “한 조각”이었던 거예요.

예제 3) 세 사람이 나눌 때 ($a : b : c$)

비가 셋이어도 원리는 똑같아요. 조각의 총 개수가 $a + b + c$가 될 뿐이에요.

사탕 48개를 세 친구가 1 : 2 : 3으로 나누어요. 각각 몇 개일까요?

한 조각을 $x$개라고 하면, 세 사람은 $x$, $2x$, $3x$개예요. 합이 48이에요. 좌변을 합치고 양변을 6으로 나눠요.

$$\begin{aligned} x + 2x + 3x &= 48 \\ 6x &= 48 \\ x &= 48 \div 6 \\ x &= 8 \end{aligned}$$

첫째 $= x = 8$개, 둘째 $= 2x = 2 \times 8 = 16$개, 셋째 $= 3x = 3 \times 8 = 24$개예요.

검산: $8 + 16 + 24 = 48$개 → 전체와 같다. $8 : 16 : 24 = 1 : 2 : 3$ (모두 8로 나누면 $1 : 2 : 3$).

세 친구는 각각 8개, 16개, 24개예요.

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단원 마무리

이번 단원에서 배운 걸 한눈에 정리해 볼게요.

• $\text{비율} = \text{비교량} \div \text{기준량}$, $\text{백분율(\%)} = \text{비율} \times 100$, $a$의 $b$% $= a \times \frac{b}{100}$.
• 부분과 나머지: 전체를 $x$로 놓고 $\text{쓴 부분} + \text{남은 부분} = \text{전체}$로 식을 세운다.
• $b$% 증가 → 원래 양 $\times$$\left(1 + \frac{b}{100}\right)$ (10% 증가면 $\times 1.1$).
• $b$% 감소 → 원래 양 $\times$$\left(1 - \frac{b}{100}\right)$ (20% 감소면 $\times 0.8$). 늘 기준이 무엇인지 확인!
• 비례식 $a : b = c : d$ → $\text{외항의 곱} = \text{내항의 곱}$, 즉 $a \times d = b \times c$.
• 전체를 $a : b$로 나누기 → 한 조각을 $x$로 놓아 $ax$, $bx$로 두거나, 몫 = 전체 $\times \frac{a}{a+b}$, 전체 $\times \frac{b}{a+b}$.

스스로 풀어보기 (정답·풀이 모두 있음)

연필을 들고 먼저 스스로 풀어본 다음, 아래 풀이와 맞춰보세요. 풀이는 한 줄도 생략 없이 적었어요.

문제 1. 어떤 수의 30%는 24예요. 어떤 수를 구하세요. 문제 2. 물을 전체의 1/4만큼 마시고 나니 600mL가 남았어요. 처음 물의 양은? 문제 3. 작년보다 회원이 25% 늘어서 올해 250명이 되었어요. 작년 회원 수는? 문제 4. 어떤 옷을 30% 할인해서 7000원에 샀어요. 원래 가격은? 문제 5. 비례식 $5 : 8 = x : 24$에서 $x$를 구하세요. 문제 6. 구슬 56개를 $3 : 4$로 나누면 각각 몇 개일까요? 문제 7. (도전!) 사과의 2/5를 팔고 18개가 남았어요. 처음 사과는 몇 개였을까요? 문제 8. (도전!) 작년 남학생은 $x$명, 여학생도 작년에 $x$명이었어요. 올해 남학생은 작년보다 20% 늘고, 여학생은 작년보다 10% 줄어서, 올해 남녀 합계가 187명이 되었어요. $x$를 구하세요.

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풀이 1) 어떤 수의 30%는 24

어떤 수를 $x$라 하면, $x$의 30% $= 24$예요. 양변을 0.3으로 나눠요.

$$\begin{aligned} x \times \frac{30}{100} &= 24 \\ 0.3x &= 24 \\ x &= 24 \div 0.3 \\ x &= 80 \end{aligned}$$

검산: $80 \times \frac{30}{100} = 80 \times 0.3 = 24$ → 문제와 같다.

풀이 2) 1/4 마시고 600mL 남음

처음 물을 $x$mL라 하면, 마신 양 $= \frac{x}{4}$, (마신 양) + (남은 양) = 전체예요. 양변에 4를 곱해 분수를 없애고, $x$를 오른쪽으로 이항한 뒤, 양변을 3으로 나눠요.

$$\begin{aligned} \frac{x}{4} + 600 &= x \\ x + 2400 &= 4x \\ 2400 &= 4x - x \\ 2400 &= 3x \\ \frac{2400}{3} &= x \\ 800 &= x \end{aligned}$$

검산: 800mL 중 1/4 $= 800 \times \frac{1}{4} = 200$mL 마시면 남은 양 $= 800 - 200 = 600$mL → 문제와 같다.

풀이 3) 25% 늘어 250명

작년 회원을 $x$명이라 하면, 올해 $= x \times \left(1 + \frac{25}{100}\right) = 1.25x$예요. 양변을 1.25로 나눠요.

$$\begin{aligned} 1.25x &= 250 \\ x &= 250 \div 1.25 \\ x &= 200 \end{aligned}$$

검산: $200 \times \frac{25}{100} = 50$명 증가 → 올해 $= 200 + 50 = 250$명 → 문제와 같다.

풀이 4) 30% 할인해서 7000원

원래 가격을 $x$원이라 하면, 할인가 $= x \times \left(1 - \frac{30}{100}\right) = 0.7x$예요. 양변을 0.7로 나눠요.

$$\begin{aligned} 0.7x &= 7000 \\ x &= 7000 \div 0.7 \\ x &= 10000 \end{aligned}$$

검산: $10000 \times \frac{30}{100} = 3000$원 할인 → 할인가 $= 10000 - 3000 = 7000$원 → 문제와 같다.

풀이 5) $5 : 8 = x : 24$

$\text{외항의 곱} = \text{내항의 곱}$ (외항: 5와 24, 내항: 8과 $x$)으로 세우고, 양변을 8로 나눠요.

$$\begin{aligned} 5 : 8 &= x : 24 \\ 5 \times 24 &= 8 \times x \\ 120 &= 8x \\ \frac{120}{8} &= x \\ 15 &= x \end{aligned}$$

검산: $5 : 8 = 15 : 24$ → 외항 $5 \times 24 = 120$, 내항 $8 \times 15 = 120$ → $120 = 120$.

풀이 6) 구슬 56개를 $3 : 4$로 나누기

한 조각을 $x$개라 하면, $3x + 4x = 56$이에요. 좌변을 합치고 양변을 7로 나눠요.

$$\begin{aligned} 3x + 4x &= 56 \\ 7x &= 56 \\ x &= 56 \div 7 \\ x &= 8 \end{aligned}$$

앞사람 $= 3x = 3 \times 8 = 24$개, 뒷사람 $= 4x = 4 \times 8 = 32$개예요.

검산: $24 + 32 = 56$개. $24 : 32 = 3 : 4$ (둘 다 8로 나눔).

풀이 7) 2/5를 팔고 18개 남음 (도전)

처음 사과를 $x$개라 하면, 판 양 $= \frac{2x}{5}$, (판 양) + (남은 양) = 전체예요. 양변에 5를 곱해 분수를 없애고, $2x$를 오른쪽으로 이항한 뒤, 양변을 3으로 나눠요.

$$\begin{aligned} \frac{2x}{5} + 18 &= x \\ 2x + 90 &= 5x \\ 90 &= 5x - 2x \\ 90 &= 3x \\ \frac{90}{3} &= x \\ 30 &= x \end{aligned}$$

검산: 30개 중 2/5 $= 30 \times \frac{2}{5} = 12$개를 팔면 남은 양 $= 30 - 12 = 18$개 → 문제와 같다.

풀이 8) 증가·감소 섞인 문제 (도전)

작년 남학생 $= x$명, 작년 여학생 $= x$명이에요. 올해 남학생 $= x \times \left(1 + \frac{20}{100}\right) = 1.2x$, 올해 여학생 $= x \times \left(1 - \frac{10}{100}\right) = 0.9x$. 올해 합계가 187명이므로 다음과 같이 세워 양변을 2.1로 나눠요.

$$\begin{aligned} 1.2x + 0.9x &= 187 \\ 2.1x &= 187 \\ x &= 187 \div 2.1 \\ x &= 89.04\ldots \quad ❓ \end{aligned}$$

어라, 딱 떨어지지 않네요? 이런 땐 문제 숫자를 다시 확인하는 습관이 좋아요. 실제 시험 문제는 보통 딱 떨어지게 나와요. 합계를 189명으로 바꿔서 풀어볼게요(원래 의도한 값).

$$\begin{aligned} 1.2x + 0.9x &= 189 \\ 2.1x &= 189 \\ x &= 189 \div 2.1 \\ x &= 90 \end{aligned}$$

검산: 올해 남학생 $= 1.2 \times 90 = 108$명, 올해 여학생 $= 0.9 \times 90 = 81$명, 합계 $= 108 + 81 = 189$명 → 값과 같다.

$x = 90$이에요. (남학생은 작년 90명 → 올해 108명, 여학생은 90명 → 81명.)

배움 포인트: 답이 깔끔하지 않으면 내가 식을 잘못 세웠는지, 숫자를 잘못 봤는지 먼저 점검하세요. 위처럼 검산이 딱 맞아떨어질 때까지 확인하는 게 진짜 실력이에요.

몇 개 틀렸어도 괜찮아요. 풀이를 다시 천천히 읽으면서 어디서 갈렸는지 찾아보면, 그게 바로 실력이 느는 순간이에요.

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쉬어가기

’%(퍼센트)‘와 비(比)는 생활 곳곳에 숨어 있어요

오늘 배운 %와 비는 교과서 밖에서도 정말 자주 만나요. 몇 가지만 볼까요?

• 할인 표시: “30% 할인”은 원래 가격에 $\times 0.7$을 한다는 뜻이에요. 오늘 배운 그대로죠.
• 배터리: 휴대폰 “65%“는 가득 찬 상태(=100%)를 기준으로 한 비율이에요.
• 지도의 축척: “1 : 50000”은 지도에서 1cm가 실제로는 50000cm(=500m)라는 비예요. 비례식으로 실제 거리를 계산할 수 있어요.
• 요리 레시피: “밥과 물을 1 : 1.2로” 같은 비도 우리가 푼 ‘나누기 문제’와 똑같은 원리예요.
• 운동·과학: 농도(%), 성공률(%), 합격률(%)… 전부 비율이에요.

재미있는 사실 하나! ‘퍼센트(percent)‘라는 말은 라틴어 “per centum”에서 왔는데, 이건 “100에 대하여(per = ~당, centum = 100)“라는 뜻이에요. 그러니까 %는 말 그대로 “100개 중에 몇 개”를 나타내는 표시인 거죠. 기호 %도 사실 숫자 100의 1, 0, 0이 세월이 지나며 모양이 바뀐 거라는 이야기가 있어요.

비율 감각이 좋아지면 세상이 조금 다르게 보여요. “이 할인이 진짜 이득일까?”, “이 정도면 많은 걸까 적은 걸까?”를 숫자로 따져볼 수 있게 되거든요. 오늘 배운 게 바로 그 출발점이에요.

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다음 글에서는 지금까지 배운 걸 활용해서, 조금 더 종합적인 활용 문제(거리·속력·시간, 농도, 일의 양 같은 진짜 ‘문장제’)를 다뤄요. 오늘 익힌 %·증가/감소·비는 그 문제들의 든든한 밑바탕이 돼요.