중학 일차방정식 ② 일차방정식 — 항등식부터 소수·분수 계수까지 깔끔하게 푸는 법

지난 글에서 우리는 방정식과 친해졌어요. 모르는 수 $x$를 찾는 수수께끼, 양변이 똑같은 저울, 그리고 이항이라는 지름길까지요. 이번 글에서는 그 방정식 중에서도 가장 기본이 되는 일차방정식을 제대로 배울 거예요. 그리고 많은 친구들이 어려워하는 소수·분수가 섞인 방정식까지, 하나도 빠짐없이 깔끔하게 푸는 법을 같이 익힐 거예요.

이 글의 약속

1. 새로운 말이 나오면 무슨 뜻인지 먼저 설명해요.
2. 계산은 한 단계씩 보여줘요. (암산으로 건너뛰지 않아요)
3. 답을 구하면 검산(맞는지 확인)까지 해요.
4. 소수·분수는 정수로 바꿔서 마음 편하게 풀어요. (이게 오늘의 핵심이에요)

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1. 일차방정식이란? — “차수가 1인 방정식”

방정식에는 여러 종류가 있어요. 그중에서 우리가 가장 먼저, 가장 많이 만나는 게 바로 일차방정식이에요. 이름에 들어 있는 ‘일차(一次)‘가 무슨 뜻인지부터 풀어볼게요.

‘차수’가 뭐예요?

차수는 어떤 항에서 문자가 몇 번 곱해졌는지를 나타내는 수예요. 말이 어렵죠? 예시로 보면 아주 쉬워요.

항	문자가 곱해진 횟수	차수
$x$	$x$가 한 번 ($x$)	1차
$5x$	$x$가 한 번 ($5 \times x$)	1차
$x^2$	$x$가 두 번 ($x \times x$)	2차
$7$	$x$가 없음 (그냥 숫자)	0차 (상수)

그러니까 $x$가 딱 한 번만 들어 있고, $x \times x$($x^2$)처럼 두 번 이상 곱해지지 않은 식을 일차식이라고 해요. $2x + 3$, $-x + 5$, $4x$ 전부 일차식이에요.

일차방정식의 정의

일차방정식: 식을 잘 정리했을 때 (일차식) = 0, 즉 $ax + b = 0$ (단, $a \ne 0$) 꼴이 되는 방정식.

여기서 $a$, $b$는 그냥 어떤 정해진 수예요. $a$는 $x$ 앞에 곱해진 수, $b$는 따로 있는 숫자고요. 그리고 $a \ne 0$($a$는 0이 아니다)이라는 조건이 꼭 붙어요.

왜 $a \ne 0$이어야 할까요? 만약 $a$가 0이면 $0 \times x + b = 0$, 즉 $b = 0$이 되어서 $x$가 사라져 버려요. 그러면 더 이상 “$x$를 찾는 방정식”이 아니게 되죠. 그래서 $x$ 앞의 수는 0이 아니어야 비로소 일차방정식이라고 불러요.

어떤 게 일차방정식일까?

직접 골라볼게요. 식을 정리했을 때 $ax + b = 0$ 꼴이 되는지가 핵심이에요.

식	정리하면	일차방정식?
$2x + 3 = 7$	$2x - 4 = 0$	맞아요 ($a = 2$)
$5x = 1 - x$	$6x - 1 = 0$	맞아요 ($a = 6$)
$x^2 + 1 = 0$	$x^2$이 있음	아님 (2차라서 일차 아님)
$4 = 9$	$x$가 없음	아님 (방정식 아님)

세 번째 $x^2 + 1 = 0$은 $x$가 두 번 곱해진 $x^2$이 있으니까 일차가 아니에요. (이건 ‘이차방정식’이라고 해요. 나중에 배워요.) 우리는 이번 시리즈 내내 일차방정식만 다루니까 안심하세요.

한 줄 정리 일차방정식 = 정리하면 $ax + b = 0$ ($a \ne 0$) 꼴이 되는 식. ‘일차’는 $x$가 한 번만 들어 있다는 뜻.

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2. 항등식 — “언제나 참인 등식”

일차방정식을 본격적으로 풀기 전에, 잠깐 항등식(恒等式)이라는 특별한 친구를 소개할게요. ‘항상 항(恒)’, ‘같을 등(等)’ 자를 써서, 언제나 같은 식이라는 뜻이에요.

항등식이 뭐예요?

항등식: $x$에 어떤 값을 넣어도 항상 참이 되는 등식.

지난 글에서 배운 방정식은 $x$에 따라 참이 되기도 하고 거짓이 되기도 했죠? 그런데 항등식은 달라요. $x$에 무엇을 넣든 언제나 맞아요. 예를 들어볼게요.

$2(x + 1) = 2x + 2$

왼쪽 $2(x + 1)$을 분배법칙으로 풀면 $2 \times x + 2 \times 1 = 2x + 2$가 되죠? 그러면 좌변과 우변이 완전히 똑같아져요. 그러니 $x$에 뭘 넣어도 항상 맞을 수밖에 없어요. 직접 몇 개 넣어볼게요.

$x = 0$일 때: (좌변) $2(0 + 1) = 2$, (우변) $2 \times 0 + 2 = 2$ → $2 = 2$ $x = 1$일 때: (좌변) $2(1 + 1) = 4$, (우변) $2 \times 1 + 2 = 4$ → $4 = 4$ $x = 5$일 때: (좌변) $2(5 + 1) = 12$, (우변) $2 \times 5 + 2 = 12$ → $12 = 12$

어떤 수를 넣어도 좌변 = 우변이죠? 이런 게 바로 항등식이에요.

방정식 vs 항등식, 무엇이 다를까?

표로 깔끔하게 비교해 볼게요.

구분	방정식	항등식
뜻	$x$ 값에 따라 참/거짓이 갈림	$x$에 어떤 값을 넣어도 항상 참
예	$x + 3 = 7$	$2(x + 1) = 2x + 2$
해	특정한 값 (예: $x = 4$)	모든 수가 해
좌변=우변 정리하면	보통 $ax + b = 0$ 꼴 ($a \ne 0$)	$0 = 0$ 또는 양변이 똑같아짐

항등식인지 알아보는 법

어떤 등식이 항등식인지 아닌지는 좌변을 정리해서 우변과 똑같아지는지 보면 돼요.

$3(x - 2) = 3x - 6$ 이 항등식일까요? 좌변과 우변을 각각 정리해 볼게요.

(좌변) $3(x - 2) = 3 \times x - 3 \times 2 = 3x - 6$ (우변) $3x - 6$

좌변과 우변이 똑같으니 → 항등식.

반대로 좌변을 정리했더니 우변과 다르면, 그건 항등식이 아니라 그냥 방정식이에요.

$3(x - 2) = 3x - 5$ 는 어떨까요?

(좌변) $3(x - 2) = 3x - 6$ (우변) $3x - 5$

$3x - 6$ 과 $3x - 5$ 는 다르죠 ($-6 \ne -5$). 그래서 → 항등식 아님.

기억하기 항등식: 정리하면 좌변 = 우변 (또는 $0 = 0$). 모든 수가 답. 우리가 앞으로 풀 일차방정식은 딱 하나의 답을 가지는 보통의 방정식이에요.

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3. 일차방정식의 풀이 — 이항하고, 정리하고, 나누기

이제 일차방정식을 푸는 전체 흐름을 배워볼게요. 사실 지난 글에서 배운 이항을 그대로 쓰는 거라, 복습하는 기분으로 따라오면 돼요.

이항 살짝 복습

어떤 항을 등호($=$) 반대편으로 옮기면, 그 항의 부호($+$/$-$)가 반대로 바뀐다.

$x$가 들어간 항은 왼쪽으로, 숫자만 있는 항은 오른쪽으로 모으는 거예요. 넘어갈 때 부호가 바뀌는 것만 잊지 마세요.

일차방정식 푸는 4단계

일차방정식 풀이 순서 ① 괄호가 있으면 분배법칙으로 먼저 푼다. ② $x$가 든 항은 왼쪽으로, 숫자는 오른쪽으로 이항한다. ③ 양변을 정리해서 $ax = b$ 꼴로 만든다. ④ 양변을 $a$로 나누어 $x =$ (어떤 수) 를 구한다.

말로만 보면 막막하니, 바로 예제로 가요.

예제 1) $5x - 3 = 2x + 9$ (괄호 없는 기본형)

② $x$는 왼쪽으로, 숫자는 오른쪽으로 이항하고 ③ 양변을 정리한 뒤 ④ 양변을 3으로 나눠요.

$$\begin{aligned} 5x - 3 &= 2x + 9 \\ 5x - 2x &= 9 + 3 \\ 3x &= 12 \\ x &= \frac{12}{3} \\ x &= 4 \end{aligned}$$

검산: (좌변) $5 \times 4 - 3 = 20 - 3 = 17$, (우변) $2 \times 4 + 9 = 8 + 9 = 17$ → $17 = 17$

예제 2) $2(x + 3) = 10$ (괄호가 있는 경우)

괄호가 있으니 ①번부터 해야겠죠? $2(x + 3)$을 분배법칙으로 풀어요. $2 \times x + 2 \times 3 = 2x + 6$ 이에요.

$$\begin{aligned} 2(x + 3) &= 10 \\ 2x + 6 &= 10 \\ 2x &= 10 - 6 \\ 2x &= 4 \\ x &= \frac{4}{2} \\ x &= 2 \end{aligned}$$

검산: (좌변) $2(2 + 3) = 2 \times 5 = 10$, (우변) $10$ → $10 = 10$

예제 3) $3(x - 1) = x + 5$ (괄호 + 양쪽에 x)

① 괄호를 분배법칙으로 풀고 ($3 \times x - 3 \times 1 = 3x - 3$) ② $x$는 왼쪽, 숫자는 오른쪽으로 이항한 뒤 ③ 정리하고 ④ 양변을 2로 나눠요.

$$\begin{aligned} 3(x - 1) &= x + 5 \\ 3x - 3 &= x + 5 \\ 3x - x &= 5 + 3 \\ 2x &= 8 \\ x &= \frac{8}{2} \\ x &= 4 \end{aligned}$$

검산: (좌변) $3(4 - 1) = 3 \times 3 = 9$, (우변) $4 + 5 = 9$ → $9 = 9$

괄호 풀 때 가장 흔한 실수 $2(x + 3)$을 $2x + 3$으로 푸는 친구가 많아요. 앞의 수 2를 괄호 안 모든 항에 곱해야 해요. $2 \times x$ 그리고 $2 \times 3$, 둘 다요! 그래서 $2x + 6$이 맞아요.

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4. 계수가 소수인 일차방정식 (1) — “10을 곱해 정수로!”

이제부터가 이번 글의 핵심이에요. $x$ 앞이나 식에 소수($0.2$, $0.7$ 같은 수)가 붙어 있으면 까다로워 보이죠? 하지만 정해진 방법이 하나 있어요.

먼저 ‘계수’라는 말부터요. 계수는 $x$ 앞에 곱해진 수예요. $0.2x$에서 계수는 $0.2$, $3x$에서 계수는 $3$이에요.

소수가 있으면, 양변에 10(또는 100, 1000…)을 곱해서 정수로 바꾼다.

소수에 10을 곱하면 어떻게 될까요? 소수점이 오른쪽으로 한 칸 움직여요.

$$\begin{aligned} 0.2 \times 10 &= 2 \\ 0.3 \times 10 &= 3 \\ 0.7 \times 10 &= 7 \end{aligned}$$

소수점 아래가 한 자리인 소수는 10을 곱하면 깔끔한 정수가 돼요. 그러면 우리가 이미 잘 푸는 정수 방정식으로 바뀌죠.

예제 1) $0.2x + 0.3 = 0.7$

소수가 전부 소수점 아래 한 자리예요. 그러니 양변에 10을 곱하면 돼요. 여기서 중요한 주의사항이 있어요.

모든 항에 빠짐없이 곱해야 해요. 한 항이라도 빼먹으면 답이 틀려요.

양변에 10을 곱하고 (모든 항에 빠짐없이!) 정리한 뒤, $+3$을 오른쪽으로 이항하고 양변을 2로 나눠요.

$$\begin{aligned} 0.2x + 0.3 &= 0.7 \\ 0.2x \times 10 + 0.3 \times 10 &= 0.7 \times 10 \\ 2x + 3 &= 7 \\ 2x &= 7 - 3 \\ 2x &= 4 \\ x &= \frac{4}{2} \\ x &= 2 \end{aligned}$$

검산: (좌변) $0.2 \times 2 + 0.3 = 0.4 + 0.3 = 0.7$, (우변) $0.7$ → $0.7 = 0.7$

소수가 싹 사라지고 깔끔하게 풀렸죠? 검산은 원래 식(소수 그대로)에 넣어서 확인하는 거예요.

예제 2) $0.5x - 1.2 = 0.3x$

양변에 10을 곱하고 (세 항 모두!) 정리한 뒤, $x$는 왼쪽, 숫자는 오른쪽으로 이항하고 양변을 2로 나눠요.

$$\begin{aligned} 0.5x - 1.2 &= 0.3x \\ 0.5x \times 10 - 1.2 \times 10 &= 0.3x \times 10 \\ 5x - 12 &= 3x \\ 5x - 3x &= 12 \\ 2x &= 12 \\ x &= \frac{12}{2} \\ x &= 6 \end{aligned}$$

검산: (좌변) $0.5 \times 6 - 1.2 = 3 - 1.2 = 1.8$, (우변) $0.3 \times 6 = 1.8$ → $1.8 = 1.8$

핵심: 곱한 다음엔 소수가 하나도 안 남아야 정답으로 가는 거예요. 곱하고 나서 식을 보고 “소수가 다 사라졌나?” 꼭 확인하세요.

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5. 계수가 소수인 일차방정식 (2) — 자릿수가 다를 때

조금 더 어려운 경우를 볼게요. 소수의 자릿수가 서로 다르면 어떻게 할까요? 예를 들어 $0.05$(소수점 아래 두 자리)와 $0.1$(소수점 아래 한 자리)이 섞여 있으면요?

규칙: 소수점 아래 자릿수가 가장 많은 수에 맞춰 곱한다.

• 가장 깊은 자리가 한 자리면 → 10을 곱한다.
• 가장 깊은 자리가 두 자리면 → 100을 곱한다.

왜 가장 깊은 자리에 맞출까요? 가장 작은 소수까지 정수로 만들 수 있을 만큼 충분히 곱해야 하거든요. $0.05$를 정수로 만들려면 100을 곱해야 해요($0.05 \times 100 = 5$). 100을 곱하면 $0.1$ 같은 다른 소수도 당연히 정수가 되고요($0.1 \times 100 = 10$).

예제 1) $0.05x = 0.1x - 0.3$

가장 깊은 자리가 $0.05$의 두 자리니까, 양변에 100을 곱해요. 그다음 $10x$를 왼쪽으로 이항하고 양변을 $-5$로 나눠요.

$$\begin{aligned} 0.05x &= 0.1x - 0.3 \\ 0.05x \times 100 &= 0.1x \times 100 - 0.3 \times 100 \\ 5x &= 10x - 30 \\ 5x - 10x &= -30 \\ -5x &= -30 \\ x &= \frac{-30}{-5} \\ x &= 6 \end{aligned}$$

마지막 줄에서 (음수) ÷ (음수) = (양수)라서 $x = 6$이 돼요.

검산: (좌변) $0.05 \times 6 = 0.3$, (우변) $0.1 \times 6 - 0.3 = 0.6 - 0.3 = 0.3$ → $0.3 = 0.3$

작은 도움말: $-5x = -30$ 같은 게 나와도 당황하지 마세요. 양변을 $-5$로 나누면 돼요. 음수 ÷ 음수 = 양수라서 $x = 6$이 깔끔하게 나와요.

예제 2) $0.3x - 0.25 = 0.05x + 0.5$

소수가 $0.3$(한 자리), $0.25$(두 자리), $0.05$(두 자리), $0.5$(한 자리)로 섞여 있어요. 가장 깊은 자리가 두 자리니까 양변에 100을 곱해요 (네 항 모두 빠짐없이!). 그다음 $x$는 왼쪽, 숫자는 오른쪽으로 이항하고 양변을 25로 나눠요.

$$\begin{aligned} 0.3x - 0.25 &= 0.05x + 0.5 \\ 0.3x \times 100 - 0.25 \times 100 &= 0.05x \times 100 + 0.5 \times 100 \\ 30x - 25 &= 5x + 50 \\ 30x - 5x &= 50 + 25 \\ 25x &= 75 \\ x &= \frac{75}{25} \\ x &= 3 \end{aligned}$$

검산: (좌변) $0.3 \times 3 - 0.25 = 0.9 - 0.25 = 0.65$, (우변) $0.05 \times 3 + 0.5 = 0.15 + 0.5 = 0.65$ → $0.65 = 0.65$

가장 깊은 자리만 잘 보고, 거기에 맞춰 10이나 100을 모든 항에 곱하면 끝이에요.

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6. 계수가 분수인 일차방정식 (1) — “최소공배수를 곱해 정수로!”

이번엔 분수가 섞인 방정식이에요. 분수도 소수 때랑 똑같이 정수로 바꿔서 풀어요. 다만 곱하는 수가 조금 달라요.

분수가 있으면, 양변에 모든 분모의 ‘최소공배수’를 곱해서 정수로 바꾼다.

최소공배수는 여러 수의 공통된 배수 중 가장 작은 수예요. 예를 들어 분모가 $2$와 $3$이면, 2의 배수(2, 4, 6, …)와 3의 배수(3, 6, 9, …)에 공통으로 들어 있는 가장 작은 수는 6이에요. 그래서 분모가 2와 3이면 6을 곱하면 분수가 싹 사라져요.

예제 1) $\frac{x}{2} + \frac{1}{3} = 2$ (분모가 2와 3)

분모가 $2$와 $3$이니 최소공배수는 6이에요. 양변에 6을 곱해요. 이때도 모든 항에 빠짐없이, 그리고 각 항에 정확히 분배하는 게 중요해요.

각 항을 계산하면 $\frac{x}{2} \times 6 = \frac{6x}{2} = 3x$, $\frac{1}{3} \times 6 = \frac{6}{3} = 2$, $2 \times 6 = 12$ 가 돼요. 정리한 뒤 $+2$를 오른쪽으로 이항하고 양변을 3으로 나눠요.

$$\begin{aligned} \frac{x}{2} + \frac{1}{3} &= 2 \\ \frac{x}{2} \times 6 + \frac{1}{3} \times 6 &= 2 \times 6 \\ 3x + 2 &= 12 \\ 3x &= 12 - 2 \\ 3x &= 10 \\ x &= \frac{10}{3} \end{aligned}$$

검산: (좌변) $\frac{10/3}{2} + \frac{1}{3} = \frac{10}{6} + \frac{1}{3} = \frac{5}{3} + \frac{1}{3} = \frac{6}{3} = 2$, (우변) $2$ → $2 = 2$

답이 $\frac{10}{3}$처럼 분수가 나와도 괜찮아요. 방정식의 답은 꼭 깔끔한 정수일 필요가 없어요. 분수 답도 정답이에요. 검산해서 맞으면 그걸로 끝.

예제 2) $\frac{x}{4} - \frac{x}{6} = 1$ (분모가 4와 6)

분모가 $4$와 $6$이에요. 4의 배수(4, 8, 12, …)와 6의 배수(6, 12, 18, …)의 공통 중 가장 작은 건 12예요. 양변에 12를 곱해요.

각 항을 계산하면 $\frac{x}{4} \times 12 = \frac{12x}{4} = 3x$, $\frac{x}{6} \times 12 = \frac{12x}{6} = 2x$, $1 \times 12 = 12$ 가 돼요.

$$\begin{aligned} \frac{x}{4} - \frac{x}{6} &= 1 \\ \frac{x}{4} \times 12 - \frac{x}{6} \times 12 &= 1 \times 12 \\ 3x - 2x &= 12 \\ x &= 12 \end{aligned}$$

검산: (좌변) $\frac{12}{4} - \frac{12}{6} = 3 - 2 = 1$, (우변) $1$ → $1 = 1$

분수에서 가장 흔한 실수: 분배를 빼먹는 것. $\frac{x}{2} + \frac{1}{3} = 2$에 6을 곱할 때, 오른쪽의 $2$에도 꼭 6을 곱해야 해요. 왼쪽 분수에만 곱하고 오른쪽 숫자에 안 곱하면 식이 망가져요. 모든 항에 똑같이.

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7. 계수가 분수인 일차방정식 (2) — 괄호·소수·분수가 섞일 때

이제 한 단계만 더 올라가 볼게요. 분수 안에 괄호가 있거나, 소수와 분수가 같이 있는 경우예요. 원리는 똑같아요. 정수로 바꾸기! 다만 순서를 조금 신경 쓰면 돼요.

예제 1) $\frac{x + 1}{2} = \frac{x - 1}{3}$ (분자에 괄호가 숨어 있는 꼴)

$\frac{x+1}{2}$는 “$x+1$을 통째로 2로 나눈 것”이에요. 분모가 $2$, $3$이니 최소공배수 6을 곱해요.

각 변을 계산하면 $\frac{x + 1}{2} \times 6 = \frac{6(x + 1)}{2} = 3(x + 1)$, $\frac{x - 1}{3} \times 6 = \frac{6(x - 1)}{3} = 2(x - 1)$ 이에요. 그다음 괄호를 분배법칙으로 풀고 ($3 \times x + 3 \times 1 = 3x + 3$, $2 \times x - 2 \times 1 = 2x - 2$) $x$는 왼쪽, 숫자는 오른쪽으로 이항해요.

$$\begin{aligned} \frac{x + 1}{2} &= \frac{x - 1}{3} \\ \frac{x + 1}{2} \times 6 &= \frac{x - 1}{3} \times 6 \\ 3(x + 1) &= 2(x - 1) \\ 3x + 3 &= 2x - 2 \\ 3x - 2x &= -2 - 3 \\ x &= -5 \end{aligned}$$

검산: (좌변) $\frac{-5 + 1}{2} = \frac{-4}{2} = -2$, (우변) $\frac{-5 - 1}{3} = \frac{-6}{3} = -2$ → $-2 = -2$

$\frac{x+1}{2}$에 6을 곱하면 $3(x+1)$처럼 괄호가 그대로 남아요. $3x + 1$이 아니라 $3(x+1) = 3x + 3$이에요. 분자 전체가 괄호로 묶인다고 생각하세요.

예제 2) $0.5x + \frac{x}{3} = 5$ (소수와 분수가 섞인 경우)

소수와 분수가 같이 있네요. 이럴 땐 소수를 먼저 분수로 바꾸면 깔끔해요. $0.5 = \frac{1}{2}$ 이에요. 그러면 분모가 $2$와 $3$이 되니, 최소공배수 6을 곱해요.

각 항을 계산하면 $\frac{x}{2} \times 6 = 3x$, $\frac{x}{3} \times 6 = 2x$, $5 \times 6 = 30$ 이에요. 정리한 뒤 양변을 5로 나눠요.

$$\begin{aligned} 0.5x + \frac{x}{3} &= 5 \\ \frac{x}{2} + \frac{x}{3} &= 5 \\ \frac{x}{2} \times 6 + \frac{x}{3} \times 6 &= 5 \times 6 \\ 3x + 2x &= 30 \\ 5x &= 30 \\ x &= \frac{30}{5} \\ x &= 6 \end{aligned}$$

검산: (좌변) $0.5 \times 6 + \frac{6}{3} = 3 + 2 = 5$, (우변) $5$ → $5 = 5$

정리: 소수·분수가 섞이면 소수를 분수로 바꾼 뒤($0.5 = \frac{1}{2}$, $0.25 = \frac{1}{4}$ …), 분모들의 최소공배수를 양변에 곱하면 한 번에 정수가 돼요.

이렇게 어떤 모양이 나와도 “정수로 바꾸기”라는 큰 원칙은 변하지 않아요. 소수면 10·100을, 분수면 최소공배수를 곱하는 것뿐이에요.

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8. 일차방정식의 응용 — 문장을 식으로

마지막으로, 일차방정식이 진짜로 쓰이는 모습을 살짝 맛볼게요. 말로 된 문제(문장제)를 일차방정식으로 세워서 푸는 거예요. 핵심은 “모르는 것을 $x$로 놓기”예요.

문장제 푸는 순서 ① 구하려는 것을 $x$로 놓는다. ② 문장을 식(방정식)으로 바꾼다. ③ 방정식을 푼다. ④ 답이 문제에 맞는지 검산한다.

예제 1) 나이 맞히기

어떤 수에 3을 곱하고 5를 더했더니 20이 되었어요. 어떤 수는 무엇일까요?

① 어떤 수를 $x$로 놓아요. ② 문장을 식으로 바꾸면 “$x$에 3을 곱하고($3x$) 5를 더하면($+5$) 20”이 되어 $3x + 5 = 20$ 이에요. ③ 방정식을 풀어요 ($+5$ 이항).

$$\begin{aligned} 3x + 5 &= 20 \\ 3x &= 20 - 5 \\ 3x &= 15 \\ x &= \frac{15}{3} \\ x &= 5 \end{aligned}$$

④ 검산: $3 \times 5 + 5 = 15 + 5 = 20$ → $20 = 20$

어떤 수는 5예요.

예제 2) 사탕 나누기

사탕을 친구들에게 한 명당 4개씩 나눠 주었더니, 사탕이 3개 남았어요. 사탕이 모두 27개였다면, 친구는 몇 명일까요?

① 친구 수를 $x$로 놓아요. ② 한 명당 4개씩 $x$명에게 → $4x$개를 나눠 주고, 3개가 남으니, 전부 합치면 27개. 즉 $4x + 3 = 27$ 이에요. ③ 방정식을 풀어요 ($+3$ 이항).

$$\begin{aligned} 4x + 3 &= 27 \\ 4x &= 27 - 3 \\ 4x &= 24 \\ x &= \frac{24}{4} \\ x &= 6 \end{aligned}$$

④ 검산: $4 \times 6 + 3 = 24 + 3 = 27$ → $27 = 27$

친구는 6명이에요.

이렇게 모르는 것을 $x$로 놓고 식을 세우는 것이 응용 문제의 전부예요. 식만 잘 세우면, 푸는 건 우리가 이번 글에서 배운 그대로니까요.

다음 글 예고: [3]편에서는 이 ‘문장을 식으로 바꾸는 기술’을 본격적으로 파고들 거예요. 나이·거리·속력·개수 같은 다양한 문제를 일차방정식으로 세우는 법을 배워요.

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단원 마무리

이번 글에서 배운 걸 한눈에 정리해 볼게요.

• 일차방정식: 정리하면 $ax + b = 0$ ($a \ne 0$) 꼴이 되는 방정식. ‘일차’는 $x$가 한 번만 들어 있다는 뜻.
• 항등식: $x$에 어떤 값을 넣어도 항상 참인 등식. 정리하면 좌변=우변(또는 $0 = 0$). 모든 수가 해.
• 풀이 순서: ① 괄호는 분배법칙으로 풀기 → ② 이항 → ③ $ax = b$로 정리 → ④ $a$로 나누기.
• 소수 계수: 양변에 10·100…을 곱해 정수로. 가장 깊은 소수 자리에 맞춰서. 모든 항에 빠짐없이!
• 분수 계수: 양변에 분모들의 최소공배수를 곱해 정수로. 각 항에 정확히 분배!
• 소수+분수: 소수를 분수로 바꾼 뒤($0.5 = \frac{1}{2}$ …) 최소공배수를 곱한다.
• 응용: 모르는 것을 $x$로 놓고 → 문장을 식으로 → 풀고 → 검산.

스스로 풀어보기 (정답·풀이 모두 있음)

연필을 들고 먼저 스스로 풀어본 다음, 아래 풀이와 맞춰보세요. 풀이는 한 줄도 생략 없이 적었어요.

문제 1. $4x - 5 = 2x + 7$ 문제 2. $3(x - 2) = x + 4$ 문제 3. $0.3x + 0.4 = 1.3$ 문제 4. $0.7x - 0.2 = 0.5x + 0.6$ 문제 5. $0.04x + 0.1 = 0.02x + 0.2$ 문제 6. $\frac{x}{3} + \frac{x}{6} = 3$ 문제 7. $\frac{x - 2}{2} = \frac{x + 4}{5}$ 문제 8. (도전!) $0.5x - \frac{2}{3} = \frac{x}{6}$

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풀이 1) $4x - 5 = 2x + 7$

$2x$ 이항($-2x$), $-5$ 이항($+5$) 후 정리하고 양변을 2로 나눠요.

$$\begin{aligned} 4x - 5 &= 2x + 7 \\ 4x - 2x &= 7 + 5 \\ 2x &= 12 \\ x &= \frac{12}{2} \\ x &= 6 \end{aligned}$$

검산: (좌변) $4 \times 6 - 5 = 24 - 5 = 19$, (우변) $2 \times 6 + 7 = 12 + 7 = 19$ → $19 = 19$

풀이 2) $3(x - 2) = x + 4$

분배법칙으로 괄호를 풀고 ($3 \times x - 3 \times 2$), $x$ 이항($-x$), $-6$ 이항($+6$) 후 정리해요.

$$\begin{aligned} 3(x - 2) &= x + 4 \\ 3x - 6 &= x + 4 \\ 3x - x &= 4 + 6 \\ 2x &= 10 \\ x &= \frac{10}{2} \\ x &= 5 \end{aligned}$$

검산: (좌변) $3(5 - 2) = 3 \times 3 = 9$, (우변) $5 + 4 = 9$ → $9 = 9$

풀이 3) $0.3x + 0.4 = 1.3$

양변에 10을 곱하고 (모든 항에!) $+4$를 이항한 뒤 양변을 3으로 나눠요.

$$\begin{aligned} 0.3x + 0.4 &= 1.3 \\ 3x + 4 &= 13 \\ 3x &= 13 - 4 \\ 3x &= 9 \\ x &= \frac{9}{3} \\ x &= 3 \end{aligned}$$

검산: (좌변) $0.3 \times 3 + 0.4 = 0.9 + 0.4 = 1.3$, (우변) $1.3$ → $1.3 = 1.3$

풀이 4) $0.7x - 0.2 = 0.5x + 0.6$

양변에 10을 곱하고 (네 항 모두!) $5x$ 이항($-5x$), $-2$ 이항($+2$) 후 정리하고 양변을 2로 나눠요.

$$\begin{aligned} 0.7x - 0.2 &= 0.5x + 0.6 \\ 7x - 2 &= 5x + 6 \\ 7x - 5x &= 6 + 2 \\ 2x &= 8 \\ x &= \frac{8}{2} \\ x &= 4 \end{aligned}$$

검산: (좌변) $0.7 \times 4 - 0.2 = 2.8 - 0.2 = 2.6$, (우변) $0.5 \times 4 + 0.6 = 2 + 0.6 = 2.6$ → $2.6 = 2.6$

풀이 5) $0.04x + 0.1 = 0.02x + 0.2$

가장 깊은 자리가 두 자리($0.04$, $0.02$)니 양변에 100을 곱하고, $2x$ 이항($-2x$), $+10$ 이항($-10$) 후 정리하고 양변을 2로 나눠요.

$$\begin{aligned} 0.04x + 0.1 &= 0.02x + 0.2 \\ 4x + 10 &= 2x + 20 \\ 4x - 2x &= 20 - 10 \\ 2x &= 10 \\ x &= \frac{10}{2} \\ x &= 5 \end{aligned}$$

검산: (좌변) $0.04 \times 5 + 0.1 = 0.2 + 0.1 = 0.3$, (우변) $0.02 \times 5 + 0.2 = 0.1 + 0.2 = 0.3$ → $0.3 = 0.3$

풀이 6) $\frac{x}{3} + \frac{x}{6} = 3$

분모 3과 6의 최소공배수는 6이니 양변에 6을 곱해요. ($6 \div 3 = 2$라서 $2x$, $6 \div 6 = 1$라서 $x$, $3 \times 6 = 18$)

$$\begin{aligned} \frac{x}{3} + \frac{x}{6} &= 3 \\ \frac{x}{3} \times 6 + \frac{x}{6} \times 6 &= 3 \times 6 \\ 2x + x &= 18 \\ 3x &= 18 \\ x &= \frac{18}{3} \\ x &= 6 \end{aligned}$$

검산: (좌변) $\frac{6}{3} + \frac{6}{6} = 2 + 1 = 3$, (우변) $3$ → $3 = 3$

풀이 7) $\frac{x - 2}{2} = \frac{x + 4}{5}$

분모 2와 5의 최소공배수는 10이니 양변에 10을 곱하고 ($10 \div 2 = 5$라서 $5(x-2)$, $10 \div 5 = 2$라서 $2(x+4)$), 괄호를 분배법칙으로 푼 뒤 ($5 \times x - 5 \times 2$, $2 \times x + 2 \times 4$) $2x$ 이항($-2x$), $-10$ 이항($+10$) 후 정리해요.

$$\begin{aligned} \frac{x - 2}{2} &= \frac{x + 4}{5} \\ \frac{x - 2}{2} \times 10 &= \frac{x + 4}{5} \times 10 \\ 5(x - 2) &= 2(x + 4) \\ 5x - 10 &= 2x + 8 \\ 5x - 2x &= 8 + 10 \\ 3x &= 18 \\ x &= \frac{18}{3} \\ x &= 6 \end{aligned}$$

검산: (좌변) $\frac{6 - 2}{2} = \frac{4}{2} = 2$, (우변) $\frac{6 + 4}{5} = \frac{10}{5} = 2$ → $2 = 2$

풀이 8) $0.5x - \frac{2}{3} = \frac{x}{6}$ (도전 문제)

소수를 분수로 바꾸고 ($0.5 = \frac{1}{2}$), 분모 2, 3, 6의 최소공배수는 6이니 양변에 6을 곱해요 (모든 항에!). ($6 \div 2 = 3$라서 $3x$, $\frac{2}{3} \times 6 = \frac{12}{3} = 4$, $6 \div 6 = 1$라서 $x$) 그다음 $x$ 이항($-x$), $-4$ 이항($+4$) 후 정리하고 양변을 2로 나눠요.

$$\begin{aligned} 0.5x - \frac{2}{3} &= \frac{x}{6} \\ \frac{x}{2} - \frac{2}{3} &= \frac{x}{6} \\ \frac{x}{2} \times 6 - \frac{2}{3} \times 6 &= \frac{x}{6} \times 6 \\ 3x - 4 &= x \\ 3x - x &= 4 \\ 2x &= 4 \\ x &= \frac{4}{2} \\ x &= 2 \end{aligned}$$

검산: (좌변) $0.5 \times 2 - \frac{2}{3} = 1 - \frac{2}{3} = \frac{3}{3} - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$, (우변) $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ → $\frac{1}{3} = \frac{1}{3}$

몇 개 틀렸어도 괜찮아요. 곱하는 수를 제대로 골랐는지, 모든 항에 빠짐없이 곱했는지 다시 천천히 살펴보세요.

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쉬어가기

“정수로 바꾸기”라는 하나의 아이디어

이번 글에서 우리가 한 일을 곰곰이 보면, 사실 딱 하나의 아이디어였어요. “소수도 분수도, 일단 정수로 바꿔서 풀자.” 소수면 10이나 100을 곱하고, 분수면 분모의 최소공배수를 곱하고요. 모양은 복잡해 보여도, 양변에 같은 수를 곱하는 건 등식의 성질이라 답이 변하지 않아요. 우리는 그저 풀기 편한 옷으로 갈아입혔을 뿐이에요.

수학에서 어려운 문제를 만나면, 수학자들도 똑같이 해요. “내가 이미 풀 줄 아는 모양으로 바꿀 수 없을까?” 하고 고민하죠. 소수·분수 방정식을 정수 방정식으로 바꾼 것처럼요. 그러니 앞으로 복잡한 식을 만나도, “어떻게 하면 내가 아는 쉬운 모양이 될까?” 이 질문을 떠올려 보세요. 그게 수학자처럼 생각하는 방법이에요.

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다음 글 [3]편에서는 오늘 잠깐 맛본 문장제(응용 문제)를 본격적으로 다뤄요. “모르는 것을 $x$로 놓고 식 세우기”를 거리·속력·나이·개수 같은 여러 상황에서 연습할 거예요. 오늘 배운 이항, 검산, 그리고 정수로 바꾸기만 손에 익혔다면 다음 글도 어렵지 않게 따라올 수 있어요.