중학 일차방정식 ① 방정식 — 저울로 이해하는 등식·해·이항 (기초부터)

안녕하세요. 지금부터 방정식이라는 친구를 아주 천천히, 하나도 빠짐없이 같이 알아볼 거예요. “수학 기초가 약해서 걱정돼요” 하는 친구도 괜찮아요. 어려운 말은 하나씩 풀어서 설명하고, 그림으로 보여주고, 문제도 한 줄도 건너뛰지 않고 같이 풀 거니까요. 천천히 따라오기만 하면 돼요.

이 글의 약속

1. 새로운 말이 나오면 무슨 뜻인지 먼저 설명해요.
2. 계산은 한 단계씩 보여줘요. (암산으로 건너뛰지 않아요)
3. 답을 구하면 검산(맞는지 확인)까지 해요.

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1. 방정식이란? — “모르는 수를 찾는 수수께끼”

먼저 아주 쉬운 수수께끼 하나.

내가 어떤 수를 생각했어요. 그 수에 3을 더했더니 7이 되었어요. 내가 생각한 수는 몇일까요?

머릿속으로 “4!” 하고 떠올랐다면, 사실 여러분은 방금 방정식을 푼 거예요.

여기서 “내가 생각한 수”처럼 아직 모르는 수가 등장하죠. 수학에서는 이 모르는 수를 보통 $x$(엑스)라고 부르기로 약속했어요. 그러면 위의 수수께끼는 이렇게 식으로 쓸 수 있어요.

$x + 3 = 7$

이렇게 모르는 수 $x$가 들어 있고, ”$=$ (같다)“로 이어진 식이 바로 방정식이에요. 방정식을 푼다는 건, $x$가 어떤 수일 때 이 식이 진짜로 맞는지를 찾아내는 거고요.

저울로 생각하면 정말 쉬워요. 방정식 $x + 3 = 7$은 이런 저울이에요.

왼쪽 접시에는 $x$와 $3$이, 오른쪽 접시에는 $7$이 올라가 있어요. 그런데 저울이 딱 균형을 이루고 있죠? 이게 바로 ”$=$ (같다)“의 의미예요. 양쪽 무게가 똑같다는 뜻이에요. 그럼 $x$는 자연스럽게 4여야 해요. ($4 + 3 = 7$ 이니까요.)

한 줄 정리 방정식 = 모르는 수 $x$가 들어 있는, 양쪽이 똑같은 식. 그 $x$를 찾는 게 우리 목표예요.

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2. 방정식의 정의 — 등식·좌변·우변·양변

이제 조금 더 정확한 말로 정리해 볼게요. 새 단어가 몇 개 나오는데, 하나도 안 어려워요.

등식이란?

$=$ (등호)로 이어진 식을 등식이라고 해요. “같을 등(等)” 자를 써서 등식이에요. 예를 들면 이런 것들이 전부 등식이에요.

• $3 + 4 = 7$
• $10 - 2 = 8$
• $x + 3 = 7$

그림처럼 등호를 기준으로 왼쪽에 있는 식을 좌변, 오른쪽에 있는 식을 우변이라고 불러요. 그리고 좌변과 우변을 합쳐서 부를 때는 양변이라고 해요. (“양쪽 변”이라는 뜻이에요.)

이름	뜻	$x + 3 = 7$에서는
좌변	등호의 왼쪽	$x + 3$
우변	등호의 오른쪽	$7$
양변	좌변과 우변 둘 다	$x + 3$ 과 $7$

방정식이란? (정확한 정의)

방정식: $x$ 같은 모르는 수가 들어 있는 등식으로, $x$의 값에 따라 참이 되기도 하고 거짓이 되기도 하는 식.

말이 조금 어려워 보이죠? 예시로 풀어볼게요. 방정식 $x + 3 = 7$에서

• $x$에 4를 넣으면 → $4 + 3 = 7$ → $7 = 7$ → 맞아요(참).
• $x$에 1을 넣으면 → $1 + 3 = 7$ → $4 = 7$ → 틀려요(거짓).

이렇게 넣는 수에 따라 맞기도, 틀리기도 하죠? 바로 이런 식이 방정식이에요.

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3. 미지수와 해 — 가장 중요한 두 단어

이번 단원에서 가장 많이 나오는 두 단어예요. 여기만 확실히 알면 절반은 끝난 거예요.

미지수 (未知數)

아직(未) 알지(知) 못하는 수(數), 즉 우리가 찾으려는 모르는 수를 미지수라고 해요. 보통 $x$로 나타내지만, $y$나 $a$처럼 다른 글자를 쓰기도 해요. 글자는 그냥 “이름표”일 뿐이에요.

비유: 미지수 $x$는 속을 모르는 선물 상자 같은 거예요. 상자 안에 어떤 수가 들어 있는지 아직 모르지만, 단서(방정식)를 보고 알아낼 수 있어요.

해 (또는 근)

방정식을 참으로 만들어 주는 미지수의 값을 그 방정식의 해라고 해요. (근이라고도 불러요. 둘은 같은 말이에요.) 그리고 해를 구하는 것을 “방정식을 푼다”고 말해요.

예를 들어 $x + 3 = 7$의 해는 $x = 4$ 예요. 왜냐하면 4를 넣었을 때만 식이 참이 되니까요.

외워두면 좋은 한 문장 “해는 방정식을 참으로 만드는 $x$의 값”

해가 맞는지 확인하기 (검산)

어떤 친구가 “$x + 3 = 7$의 해는 $x = 5$야!”라고 했어요. 진짜일까요? 직접 넣어보면 돼요.

$x = 5$ 를 넣어 확인하면, (좌변) $= 5 + 3 = 8$, (우변) $= 7$ 이라서 $8 \ne 7$ → 좌변과 우변이 다르다 → 해가 아니에요.

이번엔 $x = 4$로 확인해 볼게요. (좌변) $= 4 + 3 = 7$, (우변) $= 7$ 이라서 $7 = 7$ → 좌변과 우변이 같다 → 해가 맞아요.

이렇게 구한 답을 다시 넣어 확인하는 것을 검산이라고 해요. 앞으로 문제를 풀 때마다 검산하는 습관을 들이면 실수를 거의 안 하게 돼요.

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4. 등식의 성질 — 방정식을 푸는 열쇠

방정식을 “감으로” 푸는 게 아니라 규칙대로 푸는 비법이 있어요. 그 비법의 바탕이 되는 게 바로 등식의 성질이에요. 다시 저울을 떠올려 보세요.

양쪽이 균형 잡힌 저울에, 양쪽을 똑같이 바꾸면 → 여전히 균형.

너무 당연하죠? 양쪽 접시에 똑같이 사과 한 개씩 더 올리면 저울은 그대로 균형이에요. 한쪽만 바꾸면 기울어지지만, 양쪽을 똑같이 바꾸면 균형은 깨지지 않아요. 이걸 식으로 정리한 게 등식의 성질 4가지예요.

등식의 성질 — $A = B$일 때,

1. 양변에 같은 수를 더해도 등식은 성립해요. → $A + C = B + C$
2. 양변에서 같은 수를 빼도 등식은 성립해요. → $A - C = B - C$
3. 양변에 같은 수를 곱해도 등식은 성립해요. → $A \times C = B \times C$
4. 양변을 같은 수로 나누어도 등식은 성립해요. → $A \div C = B \div C$ (단, $C \ne 0$일 때)

마지막 4번에는 별표가 붙어 있죠? 0으로는 나눌 수 없기 때문이에요. 그래서 나눗셈만 “0이 아닌 수로”라는 조건이 붙어요. (더하기·빼기·곱하기는 어떤 수든 괜찮아요.)

이 성질이 왜 중요하냐면요, 우리가 원하는 건 결국 $x = \;?$ 모양으로 만드는 거예요. 즉 $x$만 혼자 남기는 것이 목표예요. 그러려면 $x$ 옆에 붙은 거추장스러운 것들을 양변에서 똑같이 더하거나 빼거나 곱하거나 나눠서 하나씩 치워주면 돼요. 바로 다음 장에서 직접 해볼게요.

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5. 방정식 풀기 (1) — $x$를 혼자 남기자

방정식 풀기의 목표는 단 하나예요.

$x = (\text{어떤 수})$ 모양으로 만들기. ($x$를 등호 왼쪽에 혼자 남기기)

저울 그림으로 먼저 느낌을 잡아볼게요. $x + 3 = 7$을 풀어볼 거예요.

왼쪽에 $x + 3$, 오른쪽에 $7$이 있어요. $x$만 남기고 싶으니까, 거슬리는 $+3$을 없애야 해요. 그러려면 양쪽에서 똑같이 3을 빼면 돼요. (등식의 성질 2번) 그러면 왼쪽은 $x$만 남고, 오른쪽은 $7 - 3 = 4$가 되죠. 그래서 $x = 4$ 예요. 식으로 한 줄씩 써 볼게요.

$$\begin{aligned} x + 3 &= 7 \\ x + 3 - 3 &= 7 - 3 \\ x &= 4 \end{aligned}$$

검산도 해야겠죠? $x = 4$ → (좌변) $4 + 3 = 7$, (우변) $7$ → $7 = 7$

이제 종류별로 하나씩 더 풀어볼게요. 핵심은 항상 같아요: $x$ 옆에 붙은 걸 반대로 없애기.

예제 1) $x - 5 = 2$ (빼기를 없애려면 → 더하기)

$x$ 옆에 $-5$가 붙어 있어요. 이걸 없애려면 양변에 5를 더하면 돼요.

$$\begin{aligned} x - 5 &= 2 \\ x - 5 + 5 &= 2 + 5 \\ x &= 7 \end{aligned}$$

검산: (좌변) $7 - 5 = 2$, (우변) $2$ → $2 = 2$

예제 2) $3x = 12$ (곱하기를 없애려면 → 나누기)

$3x$는 $3 \times x$, 즉 “$x$가 3개”라는 뜻이에요. $x$ 하나만 남기려면 양변을 3으로 나누면 돼요.

$$\begin{aligned} 3x &= 12 \\ \frac{3x}{3} &= \frac{12}{3} \\ x &= 4 \end{aligned}$$

검산: (좌변) $3 \times 4 = 12$, (우변) $12$ → $12 = 12$

예제 3) $x \div 4 = 2$ (나누기를 없애려면 → 곱하기)

$x$를 4로 나눈 게 2라는 뜻이에요. $x$를 남기려면 반대로 양변에 4를 곱하면 돼요.

$$\begin{aligned} \frac{x}{4} &= 2 \\ \frac{x}{4} \times 4 &= 2 \times 4 \\ x &= 8 \end{aligned}$$

검산: (좌변) $8 \div 4 = 2$, (우변) $2$ → $2 = 2$

여기서 큰 그림이 보이나요? 반대 연산을 쓰는 거예요.

$x$ 옆에 있는 것	없애는 방법
$+$ (더하기)	양변에서 빼기
$-$ (빼기)	양변에 더하기
$\times$ (곱하기)	양변을 나누기
$\div$ (나누기)	양변에 곱하기

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6. 방정식 풀기 (2) — 두 단계 방정식

이번엔 $x$ 옆에 두 개가 붙어 있는 방정식을 풀어볼게요. 예를 들면 $2x + 1 = 9$ 같은 거요. $x$ 앞에는 곱하기(2)가, 뒤에는 더하기($+1$)가 있죠. 겁먹지 마세요. 순서만 지키면 돼요.

순서 규칙: 더하기·빼기를 먼저 없애고, 곱하기·나누기를 나중에 없앤다. (양말을 벗고 신발을 벗는 게 아니라, 신발을 먼저 벗고 양말을 벗는 것과 같아요. 입은 순서의 반대로 벗는 거예요.)

예제 1) $2x + 1 = 9$

① 먼저 $+1$을 없앤다 → 양변에서 1을 뺀다. ② 이제 $\times 2$를 없앤다 → 양변을 2로 나눈다.

$$\begin{aligned} 2x + 1 &= 9 \\ 2x + 1 - 1 &= 9 - 1 \\ 2x &= 8 \\ \frac{2x}{2} &= \frac{8}{2} \\ x &= 4 \end{aligned}$$

검산: (좌변) $2 \times 4 + 1 = 8 + 1 = 9$, (우변) $9$ → $9 = 9$

예제 2) $3x - 4 = 11$

① 먼저 $-4$를 없앤다 → 양변에 4를 더한다. ② 이제 $\times 3$을 없앤다 → 양변을 3으로 나눈다.

$$\begin{aligned} 3x - 4 &= 11 \\ 3x - 4 + 4 &= 11 + 4 \\ 3x &= 15 \\ \frac{3x}{3} &= \frac{15}{3} \\ x &= 5 \end{aligned}$$

검산: (좌변) $3 \times 5 - 4 = 15 - 4 = 11$, (우변) $11$ → $11 = 11$

①번에서 덧셈·뺄셈을 정리하고, ②번에서 곱셈·나눗셈을 정리하니까 복잡해 보이던 식도 풀리죠? 이 두 단계만 기억하면 웬만한 방정식은 다 풀 수 있어요.

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7. 이항 — 풀이를 빠르게 해주는 지름길

지금까지는 “양변에서 똑같이 빼고/더하고”를 한 줄씩 다 썼어요. 그런데 이걸 많이 풀다 보면 선배들이 쓰는 지름길이 보여요. 그게 바로 이항(移項)이에요. “옮길 이(移), 항 항(項)”, 즉 항을 옮긴다는 뜻이에요.

먼저 “항”이 뭔지부터요. 항은 식에서 $+$나 $-$로 나누어진 한 덩어리예요. 예를 들어 $x + 3$에서 항은 $x$와 $+3$, 이렇게 두 개예요.

이항의 핵심은 이거예요.

어떤 항을 등호($=$) 반대편으로 옮기면, 그 항의 부호($+$/$-$)가 반대로 바뀐다.

$x + 3 = 7$을 볼게요. 왼쪽의 $+3$을 오른쪽으로 이사시키면, $+3$이 $-3$으로 부호가 바뀌어요.

$$\begin{aligned} x + 3 &= 7 \\ x &= 7 - 3 \\ x &= 4 \end{aligned}$$

가운데 줄에서 $+3$이 오른쪽으로 가면서 $-3$으로 바뀐 게 보이죠?

이항은 사실 “등식의 성질”이에요

이항이 갑자기 튀어나온 마법처럼 보이지만, 사실은 우리가 4장에서 배운 등식의 성질을 짧게 줄여 쓴 것뿐이에요. 비교해 보세요.

등식의 성질로 (긴 방법):

$$\begin{aligned} x + 3 &= 7 \\ x + 3 - 3 &= 7 - 3 \\ x &= 7 - 3 \\ x &= 4 \end{aligned}$$

이항으로 (지름길):

$$\begin{aligned} x + 3 &= 7 \\ x &= 7 - 3 \\ x &= 4 \end{aligned}$$

지름길이 결국 긴 방법과 똑같은 일을 하고 있죠? 그래서 마음 편히 이항을 써도 돼요. “넘어가면 부호가 바뀐다” 이 한 마디만 기억하세요.

예제 1) $x - 5 = 2$

$-5$가 넘어가면서 $+5$로 바뀌어요.

$$\begin{aligned} x - 5 &= 2 \\ x &= 2 + 5 \\ x &= 7 \end{aligned}$$

검산: $7 - 5 = 2$

예제 2) $2x + 1 = 9$

$+1$이 넘어가면서 $-1$로 바뀌어요.

$$\begin{aligned} 2x + 1 &= 9 \\ 2x &= 9 - 1 \\ 2x &= 8 \\ x &= \frac{8}{2} = 4 \end{aligned}$$

검산: $2 \times 4 + 1 = 9$

예제 3) $4x = x + 9$ ( $x$가 양쪽에 있을 때 )

이번엔 $x$가 양쪽에 다 있어요. 이럴 땐 $x$가 들어간 항을 한쪽으로 모으면 돼요. 오른쪽의 $x$를 왼쪽으로 이항하면 $-x$가 되겠죠?

$$\begin{aligned} 4x &= x + 9 \\ 4x - x &= 9 \\ 3x &= 9 \\ x &= \frac{9}{3} = 3 \end{aligned}$$

가운데에서 오른쪽 $x$가 넘어가며 $-x$로 바뀌었고, $4x - x = 3x$로 정리됐어요. 검산: (좌변) $4 \times 3 = 12$, (우변) $3 + 9 = 12$ → $12 = 12$

이항 사용 설명서

1. $x$가 들어간 항은 왼쪽으로, 숫자만 있는 항은 오른쪽으로 모은다.
2. 넘어간 항은 부호를 반대로 바꾼다.
3. 정리해서 $(\text{숫자})\,x = (\text{숫자})$ 모양을 만든 뒤, 양변을 $x$ 앞의 숫자로 나눈다.

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단원 마무리

이번 단원에서 배운 걸 한눈에 정리해 볼게요.

• 방정식: 모르는 수 $x$(미지수)가 들어 있고, $x$ 값에 따라 참/거짓이 갈리는 등식.
• 등호($=$) 왼쪽은 좌변, 오른쪽은 우변, 둘 다 합치면 양변.
• 미지수: 찾으려는 모르는 수(보통 $x$). 해(근): 방정식을 참으로 만드는 $x$의 값.
• 등식의 성질: 양변에 똑같이 더하고·빼고·곱하고·나누어도 등식은 그대로. (단, 0으로 나누기는 안 됨)
• 방정식 풀기: 반대 연산으로 $x$ 옆의 것들을 치워서 $x = (\text{수})$ 만들기.
• 이항: 항을 등호 반대편으로 옮기면 부호가 바뀐다. (등식의 성질의 지름길)

스스로 풀어보기 (정답·풀이 모두 있음)

연필을 들고 먼저 스스로 풀어본 다음, 아래 풀이와 맞춰보세요. 풀이는 한 줄도 생략 없이 적었어요.

• 문제 1. $x + 8 = 15$
• 문제 2. $x - 6 = 10$
• 문제 3. $7x = 42$
• 문제 4. $x \div 3 = 5$
• 문제 5. $3x + 4 = 19$
• 문제 6. $2x - 7 = 5$
• 문제 7. $5x = 2x + 12$
• 문제 8. (도전) $4x + 3 = x + 18$

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풀이 1) $x + 8 = 15$

$$\begin{aligned} x + 8 &= 15 \\ x &= 15 - 8 \\ x &= 7 \end{aligned}$$

검산: $7 + 8 = 15$

풀이 2) $x - 6 = 10$

$$\begin{aligned} x - 6 &= 10 \\ x &= 10 + 6 \\ x &= 16 \end{aligned}$$

검산: $16 - 6 = 10$

풀이 3) $7x = 42$

$$\begin{aligned} 7x &= 42 \\ x &= \frac{42}{7} = 6 \end{aligned}$$

검산: $7 \times 6 = 42$

풀이 4) $x \div 3 = 5$

$$\begin{aligned} \frac{x}{3} &= 5 \\ x &= 5 \times 3 = 15 \end{aligned}$$

검산: $15 \div 3 = 5$

풀이 5) $3x + 4 = 19$

$$\begin{aligned} 3x + 4 &= 19 \\ 3x &= 19 - 4 \\ 3x &= 15 \\ x &= \frac{15}{3} = 5 \end{aligned}$$

검산: $3 \times 5 + 4 = 15 + 4 = 19$

풀이 6) $2x - 7 = 5$

$$\begin{aligned} 2x - 7 &= 5 \\ 2x &= 5 + 7 \\ 2x &= 12 \\ x &= \frac{12}{2} = 6 \end{aligned}$$

검산: $2 \times 6 - 7 = 12 - 7 = 5$

풀이 7) $5x = 2x + 12$

$$\begin{aligned} 5x &= 2x + 12 \\ 5x - 2x &= 12 \\ 3x &= 12 \\ x &= \frac{12}{3} = 4 \end{aligned}$$

검산: (좌변) $5 \times 4 = 20$, (우변) $2 \times 4 + 12 = 8 + 12 = 20$ → $20 = 20$

풀이 8) $4x + 3 = x + 18$ (도전 문제)

$x$는 왼쪽으로, 숫자($+3$)는 오른쪽으로 이항해요.

$$\begin{aligned} 4x + 3 &= x + 18 \\ 4x - x &= 18 - 3 \\ 3x &= 15 \\ x &= \frac{15}{3} = 5 \end{aligned}$$

검산: (좌변) $4 \times 5 + 3 = 20 + 3 = 23$, (우변) $5 + 18 = 23$ → $23 = 23$

몇 개 틀렸어도 괜찮아요. 풀이를 다시 천천히 읽으면서 어디서 갈렸는지 찾아보면, 그게 바로 실력이 느는 순간이에요.

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쉬어가기

‘방정식’이라는 이름의 유래

‘방정(方程)‘이라는 말은 아주 오래된 동양의 수학책 『구장산술』에 나오는 단어예요. 옛날에는 산가지(가느다란 대나무·나무 막대기)를 가지고 수를 셈했는데, 이 막대기들을 네모(方)나게 늘어놓고 여러 식을 나란히 줄 맞춰(程) 가며 풀었대요. 그 모습에서 ‘방정’이라는 이름이 붙었다고 해요.

지금 우리는 종이에 $x$라고 쓰지만, 수백 년 전 사람들은 막대기를 바닥에 늘어놓고 똑같이 “모르는 수 찾기”를 했던 거예요. 도구만 달랐지, 머릿속에서 한 일은 여러분이 오늘 배운 것과 똑같아요. 방정식은 이렇게 아주 오래된, 그리고 아주 쓸모 있는 수학이랍니다.

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다음 글에서는 ‘일차방정식’이 정확히 무엇인지, 그리고 소수·분수가 섞인 방정식까지 더 깔끔하게 푸는 법을 다룹니다. 오늘 배운 이항과 검산, 이 두 가지를 손에 익혀 두면 다음 단원으로 넘어가기가 한결 수월해요.