중학 함수 ⑤ 반비례 y=a/x — 곡선 그래프 완전 이해

지난 글에서 우리는 정비례 $y = ax$ 를 배웠어요. $x$가 2배, 3배가 되면 $y$도 똑같이 2배, 3배가 되는, 사이좋게 같이 커지는 친구였죠. 이번 글에서는 그 친구의 반대편 친구인 반비례를 만나볼 거예요. 이번엔 한쪽이 커지면 다른 쪽이 작아지는, 시소 같은 관계예요.

그리고 한 가지 중요한 새 사실. 반비례의 그래프는 정비례처럼 곧은 직선이 아니라, 매끄럽게 휘어진 곡선이에요.

이 글의 약속

1. 새로운 말이 나오면 무슨 뜻인지 먼저 설명해요.
2. 계산은 한 단계씩 보여줘요. (암산으로 건너뛰지 않아요)
3. 답을 구하면 검산(맞는지 확인)까지 해요.

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1. 반비례란? — “한쪽이 커지면 다른 쪽이 작아지는 사이”

생활 속 이야기로 시작해 볼게요. 여기 넓이가 12인 직사각형이 있다고 해봐요. 직사각형의 넓이는 $\text{가로} \times \text{세로}$죠? 그러니까 가로와 세로를 곱하면 항상 12가 되어야 해요.

가로 ($x$)	세로 ($y$)	가로 × 세로
1	12	$1 \times 12 = 12$
2	6	$2 \times 6 = 12$
3	4	$3 \times 4 = 12$
4	3	$4 \times 3 = 12$
6	2	$6 \times 2 = 12$
12	1	$12 \times 1 = 12$

표를 가만히 보세요. 가로($x$)가 2배($1 \to 2$)가 되면, 세로($y$)는 $\frac{1}{2}$배($12 \to 6$)가 돼요. 가로가 3배($1 \to 3$)가 되면, 세로는 $\frac{1}{3}$배($12 \to 4$)가 되고요. 한쪽이 커진 만큼 다른 쪽이 딱 그만큼 작아지는 거예요. 마치 시소처럼요.

이렇게 한쪽이 2배, 3배, 4배가 되면 다른 쪽이 $\frac{1}{2}$배, $\frac{1}{3}$배, $\frac{1}{4}$배가 되는 관계를 반비례라고 해요. “반대로(反) 비례한다”는 뜻이에요.

그리고 한 가지 더. 표의 맨 오른쪽 칸을 보세요. 가로와 세로를 곱한 값이 항상 12로 똑같죠? 반비례에서는 이렇게 두 수의 곱($x \times y$)이 항상 일정해요. 이게 반비례의 핵심이에요.

한 줄 정리 반비례 = 한쪽이 ◯배면 다른 쪽이 $\frac{1}{◯}$배. 두 수의 곱 $x \times y$ 는 항상 일정.

정비례 vs 반비례 (지난 글과 비교)

• 정비례: $x$가 2배 → $y$도 2배 (같이 커진다). 몫 $\frac{y}{x}$ 가 일정.
• 반비례: $x$가 2배 → $y$는 $\frac{1}{2}$배 (반대로 작아진다). 곱 $x \times y$ 가 일정.

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2. 반비례 관계식 — y = a/x 로 쓰기

이제 이 관계를 식으로 나타내 볼게요. 넓이가 12인 직사각형에서 우리는

가로와 세로를 곱하면 넓이 12가 돼요. 즉

$$x \times y = 12$$

라는 걸 알아냈어요. 여기서 양변을 $x$로 나누면 ($x$는 0이 아니에요) 이렇게 돼요.

$$\begin{aligned} x \times y &= 12 \\ y &= 12 \div x \\ y &= \frac{12}{x} \end{aligned}$$

그러니까 반비례는 “어떤 수를 $x$로 나눈 모양”, 즉 분자에 어떤 수가 오고 분모가 $x$인 식으로 쓸 수 있어요. 이 “어떤 수”를 정비례 때처럼 $a$ 라고 부르기로 해요.

반비례 관계식: $y$가 $x$에 반비례할 때, 식으로 이렇게 써요. $y = \dfrac{a}{x}$ (단, $a \ne 0$) 또는 양변에 $x$를 곱한 모양으로 $x \times y = a$ 라고도 써요. 이때 $a$를 비례상수라고 해요.

여기서 잠깐, 왜 $a \ne 0$ ($a$는 0이 아니다) 일까요? 만약 $a$가 0이면 $y = \frac{0}{x} = 0$ 이 되어서 $y$가 항상 0이 되어버려요. 그러면 “반비례 관계”라고 할 게 없어지죠. 그래서 $a$는 0이 아니에요.

a 구하기 — 한 점을 대입하면 된다

반비례 문제에서 가장 많이 나오는 게 “$a$를 구하라”예요. 방법은 간단해요. $x$와 $y$의 값을 한 쌍 알면, 그걸 $x \times y = a$ 에 넣기만 하면 돼요.

예제) $y$가 $x$에 반비례하고, $x = 2$일 때 $y = 9$ 라고 해요. 관계식을 구해볼까요? 반비례니까 $x \times y = a$ (곱이 일정)이고, $x = 2$, $y = 9$ 를 대입해요.

$$\begin{aligned} a &= 2 \times 9 = 18 \\ y &= \frac{18}{x} \end{aligned}$$

검산: $x = 2$ 를 넣으면 $y = \frac{18}{2} = 9$ 가 되어 처음 조건과 같아요.

식 $y = \dfrac{a}{x}$ 에 직접 넣어서 구해도 똑같아요. $y = \dfrac{a}{x}$ 에 $x = 2$, $y = 9$ 를 넣으면 $9 = \dfrac{a}{2}$ 가 되고, 양변에 2를 곱하면 $a = 18$ 이에요. 어느 쪽으로 해도 답은 같답니다.

$a$ 구하는 법: 알고 있는 $x$값과 $y$값을 곱한다 ($a = x \times y$).

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3. 반비례 그래프는 곡선이에요 — 직선이 아니에요

이제 중요한 이야기예요. 정비례 $y = ax$ 의 그래프는 원점을 지나는 곧은 직선이었죠. 그런데 반비례 $y = \dfrac{a}{x}$ 의 그래프는 직선이 아니에요. 부드럽게 휘어진 곡선이에요.

왜 곡선이 되는지 느낌만 잡아볼게요. $y = \dfrac{6}{x}$ 로 몇 개 계산해 볼까요?

$x$	0.5	1	2	3	6
$y = \frac{6}{x}$	12	6	3	2	1

$x$가 아주 작을 때(0.5)는 $y$가 엄청 크고(12), $x$가 커질수록 $y$는 점점 천천히 작아지죠? 이렇게 일정한 비율로 똑바로 변하지 않기 때문에 직선이 안 되고 휘어지는 거예요. 이 곡선을 어려운 말로 쌍곡선이라고 불러요. (꼭 외울 필요는 없어요.)

$x = 0$ 은 안 돼요 $y = \dfrac{a}{x}$ 에서 $x$는 절대 0이 될 수 없어요. 왜냐하면 0으로 나누는 것은 수학에서 할 수 없는 일이거든요. $6 \div 0$ 은 답이 없어요. 그래서 반비례 그래프는 $x = 0$인 자리, 즉 $y$축 위에는 점이 하나도 없어요. 그래프가 두 조각으로 나뉘는 이유랍니다.

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4. 반비례 그래프 그리기 — 점을 찍고 곡선으로 잇기

그래프 그리는 방법은 정비례와 비슷하게 점을 여러 개 찍는 것부터 시작해요. 다만 직선이 아니니까, 점을 많이 찍고 매끄러운 곡선으로 이어야 해요.

$y = \dfrac{6}{x}$ 의 그래프를 그려볼게요. 먼저 $x > 0$ (양수)인 부분부터 표를 만들어요.

$x$	1	2	3	6
$y = \frac{6}{x}$	6	3	2	1

이 점들 $(1,\ 6)$, $(2,\ 3)$, $(3,\ 2)$, $(6,\ 1)$ 을 좌표평면에 찍고 부드럽게 이으면, 오른쪽 위에 매끄러운 곡선 한 조각이 생겨요.

그런데 끝이 아니에요. $x < 0$ (음수)인 부분도 있어요. 음수도 표로 만들어 볼게요. $\text{음수} \div \text{양수} = \text{음수}$ 니까 $y$도 음수가 돼요.

$x$	$-1$	$-2$	$-3$	$-6$
$y = \frac{6}{x}$	$-6$	$-3$	$-2$	$-1$

이 점들 $(-1,\ -6)$, $(-2,\ -3)$, $(-3,\ -2)$, $(-6,\ -1)$ 을 찍어서 이으면, 왼쪽 아래에도 똑같이 생긴 곡선 한 조각이 생겨요. 그래서 반비례 그래프는 항상 두 조각이에요.

그릴 때 주의: 두 곡선 조각은 서로 떨어져 있고, $x$축이나 $y$축에 닿지 않아요. 점점 가까워지기만 할 뿐, 절대 만나지는 않아요. (이유는 다음 장에서.)

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5. y = a/x 그래프의 성질 — a의 부호가 모양을 정해요

반비례 그래프는 $a$가 양수냐 음수냐에 따라 어느 쪽에 그려지는지가 달라져요. 먼저 좌표평면을 네 칸으로 나눈 사분면을 떠올려 보세요. 오른쪽 위부터 시계 반대 방향으로 1사분면, 2사분면, 3사분면, 4사분면이라고 불러요.

사분면	$x$의 부호	$y$의 부호	위치
1사분면	$+$	$+$	오른쪽 위
2사분면	$-$	$+$	왼쪽 위
3사분면	$-$	$-$	왼쪽 아래
4사분면	$+$	$-$	오른쪽 아래

a > 0 (양수)일 때 → 1사분면과 3사분면

앞에서 그린 $y = \dfrac{6}{x}$ 가 바로 이 경우예요(6은 양수). $x$가 양수면 $y$도 양수(1사분면), $x$가 음수면 $y$도 음수(3사분면)였죠? 그래서 곡선이 1사분면과 3사분면에 그려져요.

a < 0 (음수)일 때 → 2사분면과 4사분면

이번엔 $y = -\dfrac{6}{x}$ 를 볼게요. $a = -6$ 으로 음수예요. 표를 만들어 보면:

$x$	1	2	3	$-1$	$-2$	$-3$
$y = -\frac{6}{x}$	$-6$	$-3$	$-2$	6	3	2

$x$가 양수면 $y$는 음수(4사분면), $x$가 음수면 $y$는 양수(2사분면)가 되죠? 그래서 곡선이 2사분면과 4사분면에 그려져요.

모든 반비례 그래프의 공통 성질

부호와 상관없이 반비례 그래프가 항상 가지는 성질이 두 가지 있어요.

반비례 그래프의 성질

1. 원점에 대해 대칭이에요. (한 조각을 원점 기준으로 180° 돌리면 다른 조각과 딱 겹쳐요.)
2. 그래프는 $x$축과 $y$축에 점점 가까워지지만, 절대 닿지는 않아요.

2번을 조금 더 설명할게요. $y = \dfrac{6}{x}$ 에서 $x$를 아주 크게(100, 1000…) 하면 $y$는 $\frac{6}{100} = 0.06$, $\frac{6}{1000} = 0.006$ 처럼 0에 점점 가까워지지만 0이 되지는 않아요. 그래서 곡선이 $x$축($y = 0$인 선)에 한없이 가까워지되 닿지 않아요. $y$축에 닿지 않는 이유는 3장에서 본 것처럼 $x = 0$ 이 안 되기 때문이고요.

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6. 그래프 모양 총정리 — |a|가 클수록 원점에서 멀어져요

마지막으로 $a$의 크기가 그래프 모양에 어떤 영향을 주는지 정리할게요. 부호($\pm$)는 위치를 정하고, 크기($|a|$, $a$의 절댓값)는 곡선이 원점에서 얼마나 멀리 떨어지는지를 정해요.

같은 $x = 2$ 자리에서 비교해 볼까요?

식	$x = 2$일 때 $y$	원점에서
$y = \frac{2}{x}$	$\frac{2}{2} = 1$	가깝다
$y = \frac{6}{x}$	$\frac{6}{2} = 3$	중간
$y = \frac{12}{x}$	$\frac{12}{2} = 6$	멀다

같은 $x = 2$인데도 $a$가 클수록 $y$값이 커지죠? 즉 $|a|$가 클수록 곡선이 원점에서 더 멀리 바깥쪽으로 부풀어 올라요. 반대로 $|a|$가 작으면 원점에 바짝 붙어요.

반비례 $y = \dfrac{a}{x}$ 그래프 한눈에 보기

구분	내용
모양	두 조각으로 나뉜 곡선(쌍곡선)
$a > 0$	1사분면·3사분면
$a < 0$	2사분면·4사분면
대칭	원점 대칭
축과의 관계	$x$축·$y$축에 가까워지되 닿지 않음
$\|a\|$가 클수록	원점에서 멀어진다(바깥쪽)

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7. 교점의 좌표 — 두 그래프가 만나는 점 구하기

교점이란 두 그래프가 서로 만나는 점이에요. 교점에서는 두 그래프의 $x$값도 같고 $y$값도 같죠? 그래서 교점을 구하려면 두 식을 같다고 놓고(연립해서) 풀면 돼요.

예제) y = 4/x 와 y = x 의 교점

반비례 $y = \dfrac{4}{x}$ 와 정비례(직선) $y = x$ 가 만나는 점을 구해볼게요. 교점에서는 두 $y$값이 같으니까, $\dfrac{4}{x}$ 와 $x$ 를 같다고 놓아요. 그리고 양변에 $x$를 곱해요 ($x \ne 0$).

$$\begin{aligned} \frac{4}{x} &= x \\ 4 &= x \times x \\ 4 &= x^2 \end{aligned}$$

여기서 $x^2$ 은 $x$를 두 번 곱한 것($x \times x$)이에요. 어떤 수를 두 번 곱해서 4가 되는 수는 2 또는 $-2$ 죠. 즉 $x = 2$ 또는 $x = -2$ 예요.

이제 각 $x$에 대해 $y$값을 구해요. $y = x$ 가 더 쉬우니 거기에 넣을게요.

$x = 2$ 일 때 $y = x = 2$ 이므로 교점은 $(2,\ 2)$, $x = -2$ 일 때 $y = x = -2$ 이므로 교점은 $(-2,\ -2)$ 예요.

검산해 볼까요? 두 식 모두에 넣어서 같은 점이 나오는지 확인해요.

점 $(2,\ 2)$ 확인: $y = x$ 에서 $2 = 2$, $y = \dfrac{4}{x}$ 에서 $\dfrac{4}{2} = 2$ 점 $(-2,\ -2)$ 확인: $y = x$ 에서 $-2 = -2$, $y = \dfrac{4}{x}$ 에서 $\dfrac{4}{-2} = -2$

두 점 모두 양쪽 식을 만족해요. 그래서 교점은 $(2,\ 2)$와 $(-2,\ -2)$, 두 개예요. 직선이 반비례 곡선의 두 조각을 각각 한 번씩 뚫고 지나가서 교점이 두 개가 생긴 거예요.

한 걸음 더) 교점이 주어졌을 때 a 구하기

문제는 거꾸로 나오기도 해요. ”$y = \dfrac{a}{x}$ 와 $y = x$ 가 점 $(3,\ 3)$에서 만난다. $a$는?” 이럴 땐 교점이 곧 그래프 위의 점이니까, 그 점을 식에 대입하면 끝이에요. 점 $(3,\ 3)$이 $y = \dfrac{a}{x}$ 위에 있으니 대입하고, 양변에 3을 곱해요.

$$\begin{aligned} 3 &= \frac{a}{3} \\ a &= 3 \times 3 = 9 \\ y &= \frac{9}{x} \end{aligned}$$

검산: $x = 3$ 이면 $y = \dfrac{9}{3} = 3$ 이라서 점 $(3,\ 3)$을 지나요.

교점 구하기 핵심

• 두 그래프의 식을 = 로 연결해서 $x$를 구하고, 그 $x$로 $y$를 구한다.
• 구한 점은 반드시 두 식 모두에 넣어 검산한다.

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단원 마무리

이번 단원에서 배운 걸 한눈에 정리해 볼게요.

• 반비례: 한쪽이 ◯배가 되면 다른 쪽이 $\frac{1}{◯}$배. 곱 $x \times y$ 가 항상 일정.
• 관계식: $y = \dfrac{a}{x}$ ($a \ne 0$), 또는 $x \times y = a$. $a$는 비례상수.
• $a$ 구하기: 아는 $x$값과 $y$값을 곱하면 $a$ ($a = x \times y$).
• 그래프: 직선이 아니라 두 조각으로 나뉜 곡선(쌍곡선). $x = 0$ 은 제외(0으로 못 나눔).
• 부호: $a > 0$ → 1·3사분면, $a < 0$ → 2·4사분면. 항상 원점 대칭.
• 축: $x$축·$y$축에 가까워지되 닿지 않음. $|a|$가 클수록 원점에서 멀어짐.
• 교점: 두 식을 같다고 놓고 풀어 구하고, 양쪽 식에 대입해 검산.

스스로 풀어보기 (정답·풀이 모두 있음)

연필을 들고 먼저 스스로 풀어본 다음, 아래 풀이와 맞춰보세요. 풀이는 한 줄도 생략 없이 적었어요.

문제 1. $y$가 $x$에 반비례하고, $x = 3$일 때 $y = 4$ 예요. $y$를 $x$로 나타내세요. 문제 2. $y = \dfrac{8}{x}$ 일 때, $x = 4$ 이면 $y$는 얼마일까요? 문제 3. $y = \dfrac{10}{x}$ 의 그래프가 점 $(5,\ 2)$를 지나는지 확인하세요. 문제 4. 반비례 $y = \dfrac{a}{x}$ 의 그래프가 점 $(2,\ 6)$을 지나요. $a$를 구하세요. 문제 5. $y = -\dfrac{12}{x}$ 의 그래프는 어느 사분면을 지날까요? 문제 6. $y = \dfrac{5}{x}$ 와 $y = \dfrac{20}{x}$ 중, 원점에서 더 멀리 떨어진 그래프는 어느 것일까요? 문제 7. (도전!) $y = \dfrac{9}{x}$ 와 $y = x$ 의 교점을 모두 구하세요. 문제 8. (도전!) $y = \dfrac{a}{x}$ 와 $y = 2x$ 가 점 $(2,\ 4)$에서 만나요. $a$를 구하세요.

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풀이 1) x = 3일 때 y = 4, 반비례

반비례니까 $x \times y = a$ 예요.

$$\begin{aligned} a &= 3 \times 4 = 12 \\ y &= \frac{12}{x} \end{aligned}$$

검산: $x = 3$ 이면 $y = \dfrac{12}{3} = 4$ 라서 조건과 같아요.

풀이 2) y = 8/x, x = 4

$y = \dfrac{8}{x}$ 에 $x = 4$ 를 대입해요.

$$\begin{aligned} y &= \frac{8}{4} \\ y &= 2 \end{aligned}$$

검산: $x \times y = 4 \times 2 = 8$ 로 분자 8과 같아요.

풀이 3) y = 10/x 가 점 (5, 2)를 지나는가?

점 $(5,\ 2)$의 $x = 5$, $y = 2$ 를 식에 넣어 확인해요. (우변) $\dfrac{10}{x} = \dfrac{10}{5} = 2$, (점의 $y$) $= 2$ 이므로 $2 = 2$ → 식이 성립한다 → 지난다

풀이 4) y = a/x 가 점 (2, 6)을 지난다

점의 $x = 2$, $y = 6$ 을 대입해요.

$$\begin{aligned} a &= x \times y = 2 \times 6 = 12 \\ y &= \frac{12}{x} \end{aligned}$$

검산: $x = 2$ 이면 $y = \dfrac{12}{2} = 6$ 이라서 점 $(2,\ 6)$을 지나요.

풀이 5) y = −12/x 는 어느 사분면?

$a = -12$ 로 음수예요. $a < 0$ → 2사분면과 4사분면. 확인: $x = 2$ 이면 $y = -\dfrac{12}{2} = -6$ 이라서 $(2,\ -6)$은 4사분면, $x = -2$ 이면 $y = -\dfrac{12}{-2} = 6$ 이라서 $(-2,\ 6)$은 2사분면. 답: 2사분면, 4사분면

풀이 6) y = 5/x 와 y = 20/x 중 원점에서 먼 것은?

$|a|$가 클수록 원점에서 멀어요. 5 와 20 중 큰 것은 20이죠. 같은 $x = 2$ 에서 비교해 확인하면, $y = \dfrac{5}{x}$ 는 $\dfrac{5}{2} = 2.5$, $y = \dfrac{20}{x}$ 는 $\dfrac{20}{2} = 10$ 으로 더 커요(= 더 바깥쪽). 답: $y = \dfrac{20}{x}$ 가 원점에서 더 멀다

풀이 7) y = 9/x 와 y = x 의 교점 (도전)

두 $y$가 같다고 놓고, 양변에 $x$를 곱해요 ($x \ne 0$).

$$\begin{aligned} \frac{9}{x} &= x \\ 9 &= x^2 \end{aligned}$$

두 번 곱해서 9가 되는 수는 3 또는 $-3$ 이에요. $x = 3$ 이면 $y = x = 3$ 이라서 $(3,\ 3)$, $x = -3$ 이면 $y = x = -3$ 이라서 $(-3,\ -3)$. 검산 $(3,\ 3)$: $y = \dfrac{9}{x} = \dfrac{9}{3} = 3 = y$ 검산 $(-3,\ -3)$: $y = \dfrac{9}{x} = \dfrac{9}{-3} = -3 = y$ 답: $(3,\ 3)$ 과 $(-3,\ -3)$

풀이 8) y = a/x 와 y = 2x 가 점 (2, 4)에서 만난다 (도전)

교점 $(2,\ 4)$는 두 그래프 모두 위에 있어요. 먼저 점이 $y = 2x$ 위에 있는지 확인하면, $y = 2x$ 에서 $2 \times 2 = 4$ 라서 $(2,\ 4)$ 맞아요. 이제 $(2,\ 4)$를 $y = \dfrac{a}{x}$ 에 대입해요.

$$\begin{aligned} a &= x \times y = 2 \times 4 = 8 \\ y &= \frac{8}{x} \end{aligned}$$

검산: $x = 2$ 이면 $y = \dfrac{8}{2} = 4$ 라서 점 $(2,\ 4)$를 지나요.

몇 개 틀렸어도 괜찮아요. 풀이를 다시 천천히 읽으면서 어디서 갈렸는지 찾아보면 됩니다.

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쉬어가기

우리 주변의 반비례 — “빠르면 빨리 도착해요”

집에서 학교까지 거리가 12 km로 정해져 있다고 해봐요. 이 거리는 변하지 않아요. 그런데 얼마나 빠르게 가느냐(속력)에 따라 걸리는 시간이 달라지죠.

속력 (km/h)	걸리는 시간 (h)	속력 × 시간
4	3	$4 \times 3 = 12$
6	2	$6 \times 2 = 12$
12	1	$12 \times 1 = 12$

천천히(4 km/h) 가면 3시간, 세 배 빠르게(12 km/h) 가면 시간은 $\frac{1}{3}$로(3시간 → 1시간) 줄어요. $\text{속력} \times \text{시간} = \text{거리}\,(12)$ 가 항상 일정하니까, 속력과 시간은 딱 반비례 관계예요. “빨리 가면 빨리 도착한다”는 당연한 이야기 속에 사실은 반비례가 숨어 있었던 거예요.

곡선에도 이름이 있어요 — ‘쌍곡선’

반비례 그래프 같은 곡선을 쌍곡선(雙曲線)이라고 불러요. “쌍(雙)“은 둘, “곡선(曲線)“은 휜 선이라는 뜻이에요. 글자 그대로 두 개의 휘어진 선이라는 이름이죠. 그래프가 항상 두 조각으로 나뉘는 걸 떠올리면 이름이 잘 어울려요. 이 쌍곡선은 나중에 고등학교에서 다시 만나게 될, 수학의 오래된 친구랍니다.

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다음 글에서는 지금까지 배운 정비례와 반비례를 나란히 비교하면서, 어떤 상황이 정비례인지 반비례인지 한눈에 구별하는 법과, 그래프만 보고도 식을 알아맞히는 연습을 해볼 거예요. 오늘 배운 곱 $x \times y$가 일정하다는 한 가지만 꽉 잡고 있으면 충분해요.