중학 함수 ③ 정비례 y=ax — 그래프와 기울기

이번 글에서는 정비례를 다뤄요. 식으로 쓰면 $y = ax$ 라는, 아주 단순하지만 함수의 세계에서 제일 기본이 되는 식이에요. “함수? 그래프? 기울기? 이름만 들어도 머리 아파요” 하는 친구도 걱정 마세요. 그림으로 보고, 표로 채우고, 점을 하나씩 찍어가면서 천천히 따라가면 돼요. 기초가 약해도 괜찮아요.

이 글의 약속

1. 새로운 말이 나오면 무슨 뜻인지 먼저 설명해요.
2. 그래프는 점을 하나씩 찍어서 그려요. (한 번에 휙 그리지 않아요)
3. 계산은 한 단계씩 보여주고, 구한 답은 검산(맞는지 확인)까지 해요.

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1. 일차함수란? — y = ax + b 라는 식

본격적으로 시작하기 전에, 우리가 어디쯤 있는지 지도부터 펼쳐 볼게요.

지난 글에서 함수가 뭔지 배웠죠? 간단히 다시 말하면, $x$를 하나 정하면 $y$가 딱 하나 정해지는 관계가 함수예요. $x$는 우리가 넣는 수(입력), $y$는 그에 따라 나오는 수(출력)라고 생각하면 돼요.

함수 중에서도 아주 자주 나오는 종류가 있어요. 바로 일차함수예요.

일차함수: $y$가 $x$에 대한 일차식으로 나타나는 함수. 즉 $y = ax + b$ (단, $a \ne 0$) 꼴로 쓸 수 있는 함수예요.

여기서 “일차”라는 말은 $x$가 딱 한 번만 곱해진다($x^2$, $x^3$ 같은 게 없다)는 뜻이에요. 그래서 “1차”예요. $a$와 $b$는 정해진 수(상수)이고, $x$ 앞에 곱해진 $a$는 0이 아니어야 해요. (왜냐하면 $a$가 0이면 $ax$가 통째로 사라져서 $x$가 없어지거든요. 그럼 더는 $x$의 함수가 아니죠.)

예를 들어 이런 것들이 전부 일차함수예요.

• $y = 2x + 1$ ($a = 2$, $b = 1$)
• $y = -3x + 5$ ($a = -3$, $b = 5$)
• $y = 2x$ ($a = 2$, $b = 0$)

마지막 $y = 2x$ 를 잘 보세요. 이건 $b = 0$인 경우예요. 즉 $y = ax + b$ 에서 뒤에 붙은 $b$가 없는, 가장 단순하고 깨끗한 일차함수죠.

한 줄 정리 일차함수는 $y = ax + b$ ($a \ne 0$) 꼴. 이번 글에서는 그중 $b = 0$인 $y = ax$ 만 집중해서 다뤄요.

이 $y = ax$ 가 바로 이번 글의 주인공, 정비례예요. 다음 장에서 정비례가 정확히 무슨 뜻인지 알아볼게요.

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2. 정비례 관계 — y = ax 의 뜻

“정비례”라는 말, 어디서 들어본 것 같지 않나요? 일상에서도 “노력한 만큼 결과가 나온다”처럼 비례 이야기를 자주 하죠. 수학에서 말하는 정비례도 딱 그 느낌이에요.

정비례: $x$가 2배, 3배, 4배… 되면 $y$도 똑같이 2배, 3배, 4배… 되는 관계. 이 관계는 항상 $y = ax$ 꼴로 쓸 수 있어요. ($a$는 0이 아닌 정해진 수)

말로만 들으면 알쏭달쏭하니까, $y = 2x$ 로 직접 확인해 볼게요. $x$에 여러 수를 넣어 $y$가 어떻게 변하는지 표로 만들어 볼게요. ($y = 2x$ 이니까 $x$에 2를 곱하면 $y$예요.)

x	1	2	3	4
y	2	4	6	8

자, 표를 손가락으로 짚으며 따라와 보세요.

• $x$가 1 → 2로 2배가 되니까, $y$도 2 → 4로 2배가 됐어요.
• $x$가 1 → 3으로 3배가 되니까, $y$도 2 → 6으로 3배가 됐어요.
• $x$가 1 → 4로 4배가 되니까, $y$도 2 → 8로 4배가 됐어요.

$x$가 커지는 만큼 $y$도 똑같은 비율로 커지죠? 이게 바로 정비례예요.

x가 0이면 y도 0 → “원점”을 지나요

정비례에서 꼭 기억할 것이 하나 더 있어요. $x$에 0을 넣어 보세요.

$y = 2x$ 에서 $x = 0$ 을 넣으면

$$y = 2 \times 0 = 0$$

$x$가 0이면 $y$도 0이에요. 이건 $y = 2x$뿐 아니라 모든 $y = ax$ 에서 그래요. ($a \times 0 = 0$ 이니까요.) 좌표로 말하면 점 $(0,\ 0)$ 을 지난다는 뜻이고, 이 점을 원점이라고 불러요. 그래프의 한가운데, 가로축과 세로축이 만나는 자리예요.

외워두면 좋은 한 문장 정비례 $y = ax$ 의 그래프는 반드시 원점 $(0,\ 0)$ 을 지난다.

a를 구하는 법 (y ÷ x)

거꾸로, 표만 보고 “이건 $y =$ 몇 $x$ 일까?”를 알아낼 수도 있어요. $y$를 $x$로 나누면 바로 $a$가 나와요. 위 표에서 확인해 볼게요.

$$\begin{aligned} x = 1,\ y = 2 &\rightarrow a = y \div x = 2 \div 1 = 2 \\ x = 2,\ y = 4 &\rightarrow a = y \div x = 4 \div 2 = 2 \\ x = 3,\ y = 6 &\rightarrow a = y \div x = 6 \div 3 = 2 \end{aligned}$$

어느 점으로 계산해도 $a = 2$ 로 똑같죠? 그래서 이 관계는 $y = 2x$ 인 거예요. (정비례에서는 $y \div x$ 가 항상 일정한 값 $a$가 나와요. 이게 정비례의 비밀이에요.)

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3. y = ax 의 그래프 그리기 — 점을 찍고 직선으로 잇기

이제 식을 그림으로 바꿔볼 차례예요. 함수의 그래프란, 식을 만족하는 $(x,\ y)$ 점들을 좌표평면 위에 전부 찍어 놓은 것이에요. 무서워 보이지만, 방법은 아주 단순해요. 표로 점 몇 개를 구해서, 찍고, 직선으로 잇기. 그게 다예요.

$y = 2x$ 의 그래프를 함께 그려볼게요.

① 표로 점 구하기

$x$에 적당한 수를 몇 개 넣어 $y$를 구해요. 음수도 한두 개 넣으면 좋아요.

x	−2	−1	0	1	2
y	−4	−2	0	2	4

한 칸씩 직접 계산해 볼게요. ($y = 2x$ 이니까 $x$에 2를 곱해요.) 각 줄 끝의 점이 좌표예요.

$$\begin{aligned} x = -2 &\rightarrow y = 2 \times (-2) = -4 \quad (-2,\ -4) \\ x = -1 &\rightarrow y = 2 \times (-1) = -2 \quad (-1,\ -2) \\ x = 0 &\rightarrow y = 2 \times 0 = 0 \quad (0,\ 0) \\ x = 1 &\rightarrow y = 2 \times 1 = 2 \quad (1,\ 2) \\ x = 2 &\rightarrow y = 2 \times 2 = 4 \quad (2,\ 4) \end{aligned}$$

($x = 0$ 일 때의 점 $(0,\ 0)$ 이 바로 원점이에요.)

② 점 찍고, 직선으로 잇기

위에서 구한 점 다섯 개 $(-2,\ -4)$, $(-1,\ -2)$, $(0,\ 0)$, $(1,\ 2)$, $(2,\ 4)$ 를 좌표평면에 콕콕 찍은 다음, 자를 대고 쭉 직선으로 이어줘요.

점들이 일직선 위에 나란히 놓이죠? 그리고 그 직선은 정확히 원점 $(0,\ 0)$ 을 지나요. (2장에서 배운 그대로예요.)

정비례 그래프의 두 가지 특징

1. 직선이다. (구불구불하지 않아요)
2. 반드시 원점을 지난다.

그래서 사실 $y = ax$ 그래프는 점 두 개만 있으면 그릴 수 있어요. 원점 $(0,\ 0)$ 하나는 공짜로 알고 있으니, 점 하나만 더 구해서 두 점을 직선으로 이으면 돼요.

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4. a의 부호 — 오른쪽 위로? 오른쪽 아래로?

$y = ax$ 에서 $a$가 양수냐 음수냐(부호)에 따라 그래프의 방향이 완전히 달라져요. $y = 2x$ 와 $y = -2x$ 를 나란히 비교해 볼게요.

a > 0 (양수)일 때 — 오른쪽 위로 (증가)

$y = 2x$ 는 $a = 2$ 로 양수예요. 표를 보면 $x$가 커질수록 $y$도 커지죠.

x	−2	−1	0	1	2
y(=2x)	−4	−2	0	2	4

그래프를 그리면 왼쪽 아래에서 오른쪽 위로 올라가는 직선이 돼요. $x$가 늘면 $y$도 느니까, 이걸 “증가한다”고 말해요. 그리고 이 직선은 제1사분면과 제3사분면을 지나가요.

잠깐, 사분면이 뭐예요? 좌표평면을 가로축·세로축으로 나누면 네 칸이 생겨요. 오른쪽 위부터 시계 반대 방향으로 제1, 2, 3, 4사분면이라고 불러요. 제1사분면(오른쪽 위)은 $x > 0$, $y > 0$ 인 칸, 제3사분면(왼쪽 아래)은 $x < 0$, $y < 0$ 인 칸이에요.

a < 0 (음수)일 때 — 오른쪽 아래로 (감소)

$y = -2x$ 는 $a = -2$ 로 음수예요. $x$에 $-2$를 곱해 표를 채워 볼게요. ($x = -2$ 줄을 보면 음수 $\times$ 음수 $=$ 양수예요.)

$$\begin{aligned} x = -2 &\rightarrow y = (-2) \times (-2) = 4 \\ x = -1 &\rightarrow y = (-2) \times (-1) = 2 \\ x = 0 &\rightarrow y = (-2) \times 0 = 0 \\ x = 1 &\rightarrow y = (-2) \times 1 = -2 \\ x = 2 &\rightarrow y = (-2) \times 2 = -4 \end{aligned}$$

x	−2	−1	0	1	2
y(=−2x)	4	2	0	−2	−4

이번엔 $x$가 커질수록 $y$는 작아지죠. 그래프는 왼쪽 위에서 오른쪽 아래로 내려가는 직선이 돼요. 이걸 “감소한다”고 말해요. 이 직선은 제2사분면과 제4사분면을 지나가요.

부호만 보면 방향을 안다

a의 부호	그래프 방향	변화	지나는 사분면
$a > 0$ (양수)	오른쪽 위로 ↗	증가	제1·3사분면
$a < 0$ (음수)	오른쪽 아래로 ↘	감소	제2·4사분면

두 직선 모두 원점은 똑같이 지난다는 것도 잊지 마세요. 부호는 방향만 바꿀 뿐이에요.

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5. a의 절댓값 — 가파른 직선? 완만한 직선?

$a$의 부호가 방향을 정했다면, $a$의 절댓값(부호를 뗀 크기)은 직선이 얼마나 가파른지를 정해요. “절댓값”은 그냥 부호를 떼고 본 크기예요. 예를 들어 3의 절댓값은 3, $-3$의 절댓값도 3이에요. 기호로는 $|a|$ 라고 써요.

$y = 3x$, $y = x$, $y = \frac{1}{3}x$ 세 개를 비교해 볼게요. 셋 다 $a$가 양수라 방향은 똑같이 오른쪽 위로 올라가요. 하지만 가파른 정도가 달라요. $x = 3$ 일 때 $y$값을 비교해 볼게요. (맨 위가 가장 가파르고, 맨 아래가 가장 완만해요.)

$$\begin{aligned} y = 3x &: \quad x = 3 \rightarrow y = 3 \times 3 = 9 \\ y = x &: \quad x = 3 \rightarrow y = 1 \times 3 = 3 \\ y = \tfrac{1}{3}x &: \quad x = 3 \rightarrow y = \tfrac{1}{3} \times 3 = 1 \end{aligned}$$

같은 $x = 3$ 인데도 $y = 3x$ 는 $y$가 9까지 쑥 올라가고, $y = \frac{1}{3}x$ 는 겨우 1까지만 올라가죠? 즉 $|a|$가 클수록 같은 $x$에서 $y$가 더 많이 올라가요. 그래서 직선이 더 가파르게(세로축, 즉 $y$축에 더 가깝게) 서요. 반대로 $|a|$가 작으면 완만하게(가로축에 가깝게) 누워요.

절댓값과 가파르기

• $|a|$가 클수록 → 직선이 가파르다 ($y$축에 가까움)
• $|a|$가 작을수록 → 직선이 완만하다 ($x$축에 가까움)

이건 $a$가 음수일 때도 똑같아요. 예를 들어 $y = -3x$ 는 $y = -x$ 보다 더 가파르게 내려가요. 방향(부호)과 가파르기(절댓값)는 따로따로 생각하면 쉬워요.

정리하면

• 부호(+/−) → 직선이 올라가나 내려가나를 정한다.
• 절댓값($|a|$) → 직선이 가파른가 완만한가를 정한다.

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6. 기울기 (1) — a가 바로 기울기예요

지금까지 “가파르다”, “완만하다”를 말로 했는데, 이걸 숫자로 정확하게 나타내는 게 바로 기울기예요. 기울기는 이렇게 정의해요.

$\text{기울기} = \frac{y\text{의 증가량}}{x\text{의 증가량}}$

즉 $x$가 늘어난 양에 비해, $y$가 얼마나 늘어났는지를 나눗셈으로 나타낸 값이에요.

“증가량”은 얼마나 늘었는가, 즉 (나중 값) − (처음 값) 이에요. 계단을 떠올리면 쉬워요. 가로로 한 칸 갈 때 세로로 몇 칸 올라가는지가 기울기예요.

$y = 2x$ 로 직접 구해 볼게요. $x$를 1에서 2로 늘려볼게요.

$$\begin{aligned} x : 1 \rightarrow 2 &\quad x \text{의 증가량} = 2 - 1 = 1 \\ y : 2 \rightarrow 4 &\quad y \text{의 증가량} = 4 - 2 = 2 \end{aligned}$$

이제 기울기를 구하면 $\text{기울기} = \dfrac{y\text{의 증가량}}{x\text{의 증가량}} = 2 \div 1 = 2$ 예요.

기울기가 2 나왔어요. 그런데 $y = 2x$ 의 $a$도 2죠? 우연이 아니에요.

아주 중요한 사실 $y = ax$ 에서 기울기는 항상 $a$ 와 같다. 그래서 $x$가 1 늘어나면, $y$는 $a$ 만큼 늘어나요.

확인해 볼게요. $y = 2x$ 에서 $x$를 1만큼 늘리면(예: 3 → 4) $y$는 얼마나 늘까요?

$$\begin{aligned} x = 3 &\rightarrow y = 2 \times 3 = 6 \\ x = 4 &\rightarrow y = 2 \times 4 = 8 \end{aligned}$$

$y$의 증가량 $= 8 - 6 = 2 = a$ ($x$가 1 늘 때 $y$는 $a$(=2) 늘어남)

정확히 $a$(=2) 만큼 늘었죠? 그래서 $a$를 그래프의 “기울어진 정도”, 즉 기울기라고 부르는 거예요. 5장에서 $|a|$가 클수록 가파르다고 한 이유도 이제 분명해요. $a$가 곧 기울기니까, $a$가 클수록 가파른 게 당연하죠.

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7. 기울기 (2) — 그래프에서, 두 점에서 기울기 읽기

이번엔 식이 없어도 그래프나 두 점만 보고 기울기를 구하는 법을 익혀볼게요. 원리는 6장과 똑같아요: 세로로 얼마, 가로로 얼마 움직였는지 보고 나누면 돼요.

그래프에서 기울기 읽기

그래프에서 한 점에서 오른쪽으로 1칸 갔을 때, 위(또는 아래)로 몇 칸 움직이는지 세어보면 그게 바로 기울기예요. 오른쪽으로 1칸 갈 때 위로 2칸 올라가면 기울기는 2, 오른쪽으로 1칸 갈 때 아래로 3칸 내려가면 기울기는 $-3$ 이에요. (내려가면 음수!)

두 점으로 기울기 구하기

점 두 개의 좌표만 알면 기울기를 계산할 수 있어요. 공식은 정의 그대로예요. $\text{기울기} = \dfrac{y\text{의 증가량}}{x\text{의 증가량}} = \dfrac{\text{두 점의 } y \text{ 차이}}{\text{두 점의 } x \text{ 차이}}$.

예제 1) 두 점 $(1,\ 3)$ 과 $(3,\ 9)$ 를 지나는 직선의 기울기는?

$x$와 $y$가 각각 얼마나 변했는지 빼서 구해요. (뒤 점에서 앞 점을 빼면 돼요.)

$$\begin{aligned} x \text{의 증가량} &= 3 - 1 = 2 \\ y \text{의 증가량} &= 9 - 3 = 6 \\ \text{기울기} &= 6 \div 2 = 3 \end{aligned}$$

기울기는 3 이에요. 이 직선이 원점을 지난다면 식은 $y = 3x$ 겠죠. 검산해 볼게요. $(1,\ 3)$: $3 \times 1 = 3$, $(3,\ 9)$: $3 \times 3 = 9$. 둘 다 맞아요.

예제 2) 두 점 $(2,\ -4)$ 와 $(5,\ -10)$ 을 지나는 직선의 기울기는?

$$\begin{aligned} x \text{의 증가량} &= 5 - 2 = 3 \\ y \text{의 증가량} &= (-10) - (-4) = -10 + 4 = -6 \\ \text{기울기} &= (-6) \div 3 = -2 \end{aligned}$$

기울기는 $-2$ (음수니까 오른쪽 아래로 내려가는 직선)예요. 원점을 지난다면 식은 $y = -2x$ 예요. 검산: $(2,\ -4)$: $-2 \times 2 = -4$, $(5,\ -10)$: $-2 \times 5 = -10$.

조심! 빼는 순서를 맞춰요 $y$도 “뒤 − 앞”, $x$도 “뒤 − 앞” 으로 순서를 똑같이 맞춰서 빼야 해요. 한쪽만 거꾸로 빼면 부호가 틀려요. (위 예제처럼 항상 같은 점을 “뒤”로 잡으면 안전해요.)

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8. y = ax 총정리 — 한 장으로 보는 그래프 지도

이번 글의 핵심을 표 하나로 묶어 볼게요. $y = ax$ 그래프는 결국 $a$ 하나로 모든 게 정해져요. 부호는 방향, 절댓값은 가파르기!

a의 모습	방향	증가/감소	지나는 사분면	기울기	가파르기
$a > 0$ (양수)	오른쪽 위 ↗	증가	제1·3사분면	양수 (= $a$)	|a|가 크면 가파름
$a < 0$ (음수)	오른쪽 아래 ↘	감소	제2·4사분면	음수 (= $a$)	|a|가 크면 가파름

그리고 공통점도 잊지 마세요.

• 모든 $y = ax$ 그래프는 원점 $(0,\ 0)$ 을 지나는 직선이다.
• $y = ax$ 의 기울기는 $a$ 이다. ($x$가 1 늘면 $y$는 $a$ 늘어난다)

한 줄 정리 $y = ax$ 는 원점을 지나는 직선. $a$의 부호 = 방향, $a$의 절댓값 = 가파르기, 그리고 $a$ = 기울기.

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단원 마무리

이번 단원에서 배운 걸 한눈에 정리해 볼게요.

• 일차함수: $y = ax + b$ ($a \ne 0$) 꼴의 함수. 이번 글은 $b = 0$인 $y = ax$(정비례)를 다뤘어요.
• 정비례: $x$가 2배·3배 되면 $y$도 2배·3배 되는 관계. 식은 $y = ax$, 항상 원점을 지나요.
• 그래프 그리기: 표로 점 몇 개 구해 찍고, 직선으로 잇기. (원점 + 점 하나면 충분!)
• a의 부호: $a > 0$이면 오른쪽 위(증가, 1·3사분면), $a < 0$이면 오른쪽 아래(감소, 2·4사분면).
• a의 절댓값: $|a|$가 크면 가파르고($y$축에 가까움), 작으면 완만하다($x$축에 가까움).
• 기울기: $\text{기울기} = \dfrac{y\text{의 증가량}}{x\text{의 증가량}}$. $y = ax$ 에서 기울기는 $a$ 와 같아요.

스스로 풀어보기 (정답·풀이 모두 있음)

연필을 들고 먼저 스스로 풀어본 다음, 아래 풀이와 맞춰보세요. 풀이는 한 줄도 생략 없이 적었어요.

문제 1. $y = 4x$ 일 때, $x = 3$ 이면 $y$는 얼마일까요? 문제 2. 아래 표를 채우고, 이 관계를 $y = (\ \ )x$ 꼴로 나타내세요.

x	1	2	3	4
y	5

문제 3. 점 $(3,\ 6)$ 은 $y = 2x$ 의 그래프 위에 있을까요? (지나는지 확인) 문제 4. 점 $(2,\ -5)$ 는 $y = -2x$ 의 그래프 위에 있을까요? 문제 5. 두 점 $(1,\ 4)$ 와 $(3,\ 12)$ 를 지나는 직선의 기울기를 구하세요. 문제 6. $y = -3x$ 의 그래프는 오른쪽 위로 올라갈까요, 내려갈까요? 그리고 어느 두 사분면을 지날까요? 문제 7. (도전!) 두 점 $(2,\ 6)$ 과 $(4,\ 12)$ 를 지나고 원점을 지나는 직선의 식을 $y = ax$ 꼴로 구하세요. 문제 8. (도전!) $y = ax$ 의 그래프가 점 $(4,\ -8)$ 을 지날 때, $a$의 값을 구하세요.

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풀이 1) y = 4x, x = 3

$$\begin{aligned} y &= 4 \times x \\ y &= 4 \times 3 \\ y &= 12 \end{aligned}$$

검산: $x = 3$ 일 때 $y = 4 \times 3 = 12$ → 맞아요.

풀이 2) 표 채우기 → y = 5x

$y$는 $x$에 항상 5를 곱한 값이에요($5 \div 1 = 5$). 한 칸씩 채워 볼게요.

$$\begin{aligned} x = 1 &\rightarrow y = 5 \times 1 = 5 \\ x = 2 &\rightarrow y = 5 \times 2 = 10 \\ x = 3 &\rightarrow y = 5 \times 3 = 15 \\ x = 4 &\rightarrow y = 5 \times 4 = 20 \end{aligned}$$

x	1	2	3	4
y	5	10	15	20

$x$가 2배·3배·4배 될 때 $y$도 똑같이 2배·3배·4배가 되죠? 그래서 식은 $y = 5x$ 예요. 검산: $y \div x$ 가 어느 점이든 5($10 \div 2 = 5$, $15 \div 3 = 5$, $20 \div 4 = 5$)로 일정해요.

풀이 3) 점 (3, 6) 이 y = 2x 위에 있나?

점을 직접 식에 넣어 확인해요. $x = 3$ 을 넣은 $y$가 6과 같으면 그래프 위의 점이에요.

$y = 2x$ 에 $x = 3$ 을 넣으면 $y = 2 \times 3 = 6$. 점의 $y$값도 6 → 같다 → 그래프 위에 있어요.

풀이 4) 점 (2, −5) 가 y = −2x 위에 있나?

$y = -2x$ 에 $x = 2$ 를 넣으면 $y = (-2) \times 2 = -4$. 그런데 점의 $y$값은 $-5$ 이라서 $-4 \ne -5$ → 같지 않다. 따라서 점 $(2,\ -5)$ 는 그래프 위에 없어요.

풀이 5) 두 점 (1, 4), (3, 12) 의 기울기

$$\begin{aligned} x \text{의 증가량} &= 3 - 1 = 2 \\ y \text{의 증가량} &= 12 - 4 = 8 \\ \text{기울기} &= 8 \div 2 = 4 \end{aligned}$$

기울기는 4 예요. (원점을 지난다면 식은 $y = 4x$.) 검산: $(1,\ 4)$ → $4 \times 1 = 4$, $(3,\ 12)$ → $4 \times 3 = 12$

풀이 6) y = −3x 의 방향과 사분면

$a = -3$ 으로 음수예요. $a < 0$ 이므로 오른쪽 아래로 내려가고(감소), 제2사분면과 제4사분면을 지나요.

즉 오른쪽 아래로 내려가고, 제2·4사분면을 지나요. 검산: $x = 1$ → $y = -3$, $x = -1$ → $y = 3$. $x$가 커질수록 $y$가 작아지니 정말 내려가는 직선이에요.

풀이 7) 두 점 (2, 6), (4, 12) 를 지나는 y = ax (도전)

먼저 기울기를 구해요. 원점을 지나는 정비례니까 기울기가 곧 $a$예요.

$$\begin{aligned} x \text{의 증가량} &= 4 - 2 = 2 \\ y \text{의 증가량} &= 12 - 6 = 6 \\ \text{기울기 } a &= 6 \div 2 = 3 \end{aligned}$$

따라서 식은 $y = 3x$. 검산: $(2,\ 6)$ → $3 \times 2 = 6$, $(4,\ 12)$ → $3 \times 4 = 12$. 둘 다 식을 만족해요.

풀이 8) y = ax 가 점 (4, −8) 을 지날 때 a (도전)

점을 식에 넣으면 $a$를 구할 수 있어요. $x = 4$, $y = -8$ 을 $y = ax$ 에 대입해요.

$$\begin{aligned} y &= a \times x \\ -8 &= a \times 4 \\ -8 \div 4 &= a \\ a &= -2 \end{aligned}$$

따라서 $a = -2$, 식은 $y = -2x$ 예요. 검산: $x = 4$ → $y = -2 \times 4 = -8$ → 점 $(4,\ -8)$ 을 지나요.

몇 개 틀렸어도 괜찮아요. 풀이를 다시 천천히 읽으면서 어디서 갈렸는지 찾아보면, 그게 바로 실력이 느는 순간이에요.

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쉬어가기

“기울기”는 사실 비탈길의 ‘경사도’와 똑같아요

산에 오르거나 도로를 달리다 보면 “경사도 10%” 같은 표지판을 본 적 있을 거예요. 이게 바로 우리가 배운 기울기랑 정확히 같은 개념이에요.

경사도 10%는 가로로 100m 갈 때 세로로 10m 올라간다는 뜻이에요. 기울기로 따지면 $10 \div 100 = 0.1$ 이죠. 그래서 가파른 언덕일수록 경사도(=기울기) 숫자가 커지고, 완만한 길일수록 작아져요. 우리가 5장에서 “$|a|$가 클수록 가파르다”고 한 그 이야기, 도로 표지판에 그대로 쓰이고 있는 거예요.

정비례는 생활 곳곳에 숨어 있어요

정비례 $y = ax$ 는 교과서 안에만 있는 게 아니에요.

• 속력이 일정할 때 거리: 시속 60km로 달리면, 1시간에 60km, 2시간에 120km, 3시간에 180km… 시간이 2배·3배면 거리도 2배·3배! 식으로 쓰면 $\text{거리} = 60 \times \text{시간}$, 즉 $y = 60x$ 예요. 기울기 60이 바로 속력이에요.
• 환율: 1달러가 1300원이라면, 2달러는 2600원, 3달러는 3900원… 달러가 2배·3배면 원화도 2배·3배. 식은 $\text{원화} = 1300 \times \text{달러}$, 기울기 1300이 바로 환율이에요.

이렇게 보면 정비례는 세상에서 가장 흔한 관계 중 하나예요. “하나가 변하면 다른 하나도 같은 비율로 변하는” 일은 우리 주변에 정말 많거든요. $y = ax$ 라는 짧은 식 하나에 속력도 환율도 경사도도 전부 담겨 있어요.

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다음 글에서는 오늘 슬쩍 만났던 $b$를 다시 데려올 거예요. 바로 $y = ax + b$, 정비례 직선을 위아래로 평행이동시킨 일차함수예요. 오늘 배운 기울기 $a$와 원점을 지나는 직선 개념만 손에 익히면, 다음 단원도 한결 수월해요.