중학 함수 ② 좌표평면 — 순서쌍·사분면·대칭이동

지난 글에서 우리는 함수를 처음 만났어요. 이번에는 함수를 그림으로 보여주는 무대, 바로 좌표평면을 배워요. 좌표평면은 나중에 함수 그래프를 그릴 때 꼭 필요한 바탕이라서, 여기를 탄탄하게 다져두면 앞으로가 수월해져요. 어려운 말은 하나씩 풀어서, 그림과 함께 천천히 갈게요.

이 글의 약속

새로운 말이 나오면 무슨 뜻인지 먼저 설명해요.

좌표는 항상 $(x,\ y)$ 순서로 정확하게 써요.

부호( $+$ , $-$ )는 한 번도 실수하지 않게 같이 꼼꼼히 확인해요.

1. 순서쌍 — 두 수를 “순서대로” 짝지은 것

먼저 아주 작은 약속 하나부터 시작해요.

영화관에 갔어요. 표에 “3열 5번”이라고 적혀 있어요. 그럼 자리가 딱 하나로 정해지죠? 그런데 만약 “5열 3번”이라고 적혀 있으면 완전히 다른 자리가 돼요.

여기서 중요한 건, 3과 5라는 두 수를 어떤 순서로 말하느냐에 따라 자리가 달라진다는 거예요. 이렇게 두 수를 순서를 정해서 짝지은 것을 순서쌍이라고 해요. 그리고 이렇게 써요.

$(3,\ 5)$

괄호 안에 두 수를 쉼표(,)로 나란히 적고, 앞에 오는 수가 첫 번째, 뒤에 오는 수가 두 번째예요.

순서쌍: 두 수를 순서를 정해 $(a,\ b)$ 모양으로 짝지은 것. $a$ 를 첫 번째 수, $b$ 를 두 번째 수라고 불러요.

”순서”가 왜 그렇게 중요할까?

순서쌍에서 가장 강조하고 싶은 건 이거예요.

$(1,\ 2)$ 와 $(2,\ 1)$ 은 서로 다른 순서쌍이에요.

영화관 자리로 다시 생각해 봐요. $(1,\ 2)$ 는 “1열 2번”, $(2,\ 1)$ 은 “2열 1번”이니까 완전히 다른 자리잖아요? 수도 똑같아요. 들어 있는 수가 같아도, 순서가 다르면 다른 순서쌍이에요.

순서쌍	첫 번째 수	두 번째 수	뜻
$(1,\ 2)$	1	2	첫째가 1, 둘째가 2
$(2,\ 1)$	2	1	첫째가 2, 둘째가 1

두 순서쌍이 같다고 말하려면, 첫 번째 수끼리 같고 두 번째 수끼리도 같아야 해요. 즉 $(a,\ b) = (c,\ d)$ 이려면 $a = c$ 이고 $b = d$ 여야 하죠.

한 줄 정리 순서쌍은 “무엇이 먼저냐”가 중요한 두 수의 짝. 순서가 바뀌면 다른 거예요.

2. 좌표평면 — 점에게 “주소”를 주는 종이

순서쌍을 배웠으니, 이제 그걸 그림 위에 콕 찍는 무대를 만들 차례예요.

종이 위에 점 하나를 찍었다고 해볼게요. 그런데 “그 점이 어디 있어?”라고 물으면 딱 잘라 말하기가 어렵죠. 그래서 사람들은 점의 정확한 위치(주소)를 말할 수 있게 바닥에 가로줄과 세로줄을 그어두기로 했어요. 그게 바로 좌표평면이에요.

좌표평면 위에 점 찍기

축과 원점

좌표평면에는 수직으로 만나는 두 개의 수직선이 있어요.

x축: 가로로 누워 있는 수직선. (오른쪽으로 갈수록 수가 커져요)
y축: 세로로 서 있는 수직선. (위로 갈수록 수가 커져요)
원점 O: x축과 y축이 만나는 딱 가운데 점. 좌표는 $(0,\ 0)$ 이고, 알파벳 O로 표시해요.

좌표평면: x축(가로)과 y축(세로)이 직각으로 만나 만들어진 평면. 두 축이 만나는 점이 원점 $\mathrm{O}(0,\ 0)$ 이에요.

점의 좌표 읽기

이제 점 하나의 위치를 순서쌍으로 나타낼 수 있어요. 이걸 그 점의 좌표라고 해요.

x좌표: 그 점이 x축 방향(가로)으로 얼마나 떨어져 있는지. → 순서쌍의 첫 번째 수
y좌표: 그 점이 y축 방향(세로)으로 얼마나 떨어져 있는지. → 순서쌍의 두 번째 수

좌표도 순서쌍이니까 항상 (x좌표, y좌표) 순서로 써요. 가로가 먼저, 세로가 나중이에요. 예를 들어 점 P의 좌표가 $(3,\ 2)$ 라면, 이렇게 읽어요.

점 $\mathrm{P}(3,\ 2)$ 에서

x좌표는 $3$ : 원점에서 오른쪽으로 3칸
y좌표는 $2$ : 거기서 위로 2칸

원점에서 오른쪽으로 3칸, 위로 2칸 간 자리, 거기가 바로 점 P예요.

점을 직접 찍어보기 (좌표 → 점)

이번엔 반대로, 좌표를 보고 점을 찍어볼게요. 점 $\mathrm{Q}(-2,\ 3)$ 을 찍어봐요.

점 $\mathrm{Q}(-2,\ 3)$ 에서

x좌표 $-2$ : 원점에서 왼쪽으로 2칸 (음수니까 왼쪽!)
y좌표 $3$ : 거기서 위로 3칸 (양수니까 위로!)

여기서 부호가 길잡이예요. x좌표가 양수면 오른쪽 / 음수면 왼쪽, y좌표가 양수면 위 / 음수면 아래. 위 그림에는 $\mathrm{P}(3,\ 2)$ , $\mathrm{Q}(-2,\ 3)$ , $\mathrm{R}(-3,\ -1)$ , $\mathrm{S}(2,\ -2)$ 네 점이 찍혀 있어요. 하나씩 손가락으로 짚으면서 “오른쪽/왼쪽 몇 칸, 위/아래 몇 칸”을 직접 따라가 보세요.

외워두면 좋은 한 문장 좌표는 (가로, 세로) = (x좌표, y좌표) 순서. 첫 번째가 가로(x), 두 번째가 세로(y).

3. 사분면 — 좌표평면을 넷으로 나눈 방

x축과 y축은 좌표평면을 네 개의 구역으로 나눠요. 이 네 구역을 각각 사분면이라고 불러요. “넉 사(四), 나눌 분(分)” — 넷으로 나눈 면이라는 뜻이에요.

사분면의 부호

번호를 매기는 방법이 정해져 있어요. 오른쪽 위에서 시작해서 시계 반대 방향으로 돌아요.

제1사분면: 오른쪽 위 ( $x > 0$ , $y > 0$ )
제2사분면: 왼쪽 위 ( $x < 0$ , $y > 0$ )
제3사분면: 왼쪽 아래 ( $x < 0$ , $y < 0$ )
제4사분면: 오른쪽 아래 ( $x > 0$ , $y < 0$ )

각 사분면에서 x좌표와 y좌표의 부호가 어떻게 되는지가 가장 중요해요. 표로 딱 정리할게요.

사분면	위치	x좌표 부호	y좌표 부호	부호 짝
제1사분면	오른쪽 위	$+$	$+$	$(+,\ +)$
제2사분면	왼쪽 위	$-$	$+$	$(-,\ +)$
제3사분면	왼쪽 아래	$-$	$-$	$(-,\ -)$
제4사분면	오른쪽 아래	$+$	$-$	$(+,\ -)$

예시 점으로 확인해 볼게요.

$\mathrm{P}(3,\ 2)$ : $x>0,\ y>0$ → $(+,\ +)$ → 제1사분면
$\mathrm{Q}(-2,\ 3)$ : $x<0,\ y>0$ → $(-,\ +)$ → 제2사분면
$\mathrm{R}(-3,\ -1)$ : $x<0,\ y<0$ → $(-,\ -)$ → 제3사분면
$\mathrm{S}(2,\ -2)$ : $x>0,\ y<0$ → $(+,\ -)$ → 제4사분면

부호 외우는 요령 1사분면은 $(+,\ +)$ 로 시작해서, 시계 반대 방향으로 돌면 $(+,\ +)$ → $(-,\ +)$ → $(-,\ -)$ → $(+,\ -)$ 순서로 부호가 바뀌어요.

아주 중요한 주의: 축 위의 점은 사분면이 없어요!

여기서 학생들이 자주 헷갈리는 부분이에요. 꼭 기억해 주세요.

x축이나 y축 위에 있는 점은 어느 사분면에도 속하지 않아요.

왜냐하면 사분면은 방(구역) 인데, 축은 그 방들의 경계선(벽)이기 때문이에요. 벽 위에 서 있으면 어느 방 안에 있는 것도 아니죠?

좌표로 보면 이렇게 구분돼요.

$(5,\ 0)$ : y좌표가 0 → x축 위의 점 → 사분면 없음
$(0,\ 4)$ : x좌표가 0 → y축 위의 점 → 사분면 없음
$(0,\ 0)$ : 원점 → 축이 만나는 점 → 사분면 없음

즉 x좌표가 0이거나, y좌표가 0이면 그 점은 축 위에 있고, 사분면에 속하지 않아요. “이 점은 몇 사분면?”이라는 문제가 나오면, 먼저 0이 들어 있는지부터 살펴보는 습관을 들이세요.

한 줄 정리 사분면 = $(+,\ +)$ , $(-,\ +)$ , $(-,\ -)$ , $(+,\ -)$ 네 방. 단, 좌표에 0이 있으면 사분면 없음!

4. 점의 대칭이동 — 거울에 비춘 점 찾기

마지막으로 대칭이동을 배워요. 말이 어려워 보이지만, 거울에 비추는 것이라고 생각하면 아주 쉬워요. 거울(또는 기준)을 두고 점을 반대편 똑같은 거리에 옮기는 거예요.

기준이 무엇이냐에 따라 세 가지가 있어요: x축 대칭, y축 대칭, 원점 대칭. 하나씩 부호가 어떻게 바뀌는지 보면 규칙이 딱 보여요. 점 $(a,\ b)$ 를 옮긴다고 할게요.

x축 대칭 — 위아래로 뒤집기

x축(가로선)을 거울처럼 두고 점을 위아래로 뒤집어요. 가로 위치(x)는 그대로, 세로 위치(y)만 반대쪽(부호 반대)으로 가요. (x좌표 그대로, y좌표 부호만 바뀜)

$(a,\ b)\ \rightarrow\ (a,\ -b)$

y축 대칭 — 좌우로 뒤집기

y축(세로선)을 거울처럼 두고 점을 좌우로 뒤집어요. 세로 위치(y)는 그대로, 가로 위치(x)만 반대쪽(부호 반대)으로 가요. (y좌표 그대로, x좌표 부호만 바뀜)

$(a,\ b)\ \rightarrow\ (-a,\ b)$

원점 대칭 — 원점 기준으로 정반대편

원점 O를 기준으로 정반대편으로 가요. 가로도, 세로도 둘 다 부호가 바뀌어요. (x좌표, y좌표 둘 다 부호 바뀜)

$(a,\ b)\ \rightarrow\ (-a,\ -b)$

한 표로 정리

대칭 기준	규칙	x좌표	y좌표
x축 대칭	$(a,\ b) \rightarrow (a,\ -b)$	그대로	부호 반대
y축 대칭	$(a,\ b) \rightarrow (-a,\ b)$	부호 반대	그대로
원점 대칭	$(a,\ b) \rightarrow (-a,\ -b)$	부호 반대	부호 반대

외우는 요령

x축 대칭 → x축이 가로선이니까 y만 바뀐다. (이름의 축은 그대로)

y축 대칭 → y축이 세로선이니까 x만 바뀐다. (이름의 축은 그대로)

원점 대칭 → 가운데 기준이니까 둘 다 바뀐다.

예시 점으로 확인 — 점 $(3,\ 2)$

실제 점으로 직접 옮겨볼게요. 점 $(3,\ 2)$ 를 세 가지로 대칭이동해 봐요.

원래 점: $(3,\ 2)$
x축 대칭 (y만 부호 바꿈): $(3,\ -2)$
y축 대칭 (x만 부호 바꿈): $(-3,\ 2)$
원점 대칭 (둘 다 부호 바꿈): $(-3,\ -2)$

점 (3,2)의 세 가지 대칭이동

그림에서 보면, 원래 점 $(3,\ 2)$ 는 제1사분면에 있고,

x축 대칭한 $(3,\ -2)$ 는 바로 아래쪽(제4사분면)으로,
y축 대칭한 $(-3,\ 2)$ 는 바로 왼쪽(제2사분면)으로,
원점 대칭한 $(-3,\ -2)$ 는 대각선 반대편(제3사분면)으로 갔어요.

네 점이 원점을 가운데 두고 마주 보고 있죠? 이게 대칭이동의 모습이에요.

한 줄 정리 x축 대칭은 y만, y축 대칭은 x만, 원점 대칭은 둘 다 부호를 바꾼다.

단원 마무리

이번 단원에서 배운 걸 한눈에 정리해 볼게요.

순서쌍 $(a,\ b)$ : 두 수를 순서대로 짝지은 것. $(1,\ 2) \ne (2,\ 1)$ — 순서가 중요!
좌표평면: x축(가로) · y축(세로)이 직각으로 만나는 평면. 만나는 점이 원점 $\mathrm{O}(0,\ 0)$ .
좌표 (x좌표, y좌표): 가로 위치가 먼저, 세로 위치가 나중. 양수는 오른쪽·위, 음수는 왼쪽·아래.
사분면: 1 $(+,\ +)$ · 2 $(-,\ +)$ · 3 $(-,\ -)$ · 4 $(+,\ -)$ . 좌표에 0이 있으면(축 위의 점) 사분면 없음!
대칭이동: x축 대칭 $(a,\ b)\rightarrow(a,\ -b)$ , y축 대칭 $(a,\ b)\rightarrow(-a,\ b)$ , 원점 대칭 $(a,\ b)\rightarrow(-a,\ -b)$ .

스스로 풀어보기 (정답·풀이 모두 있음)

연필을 들고 먼저 스스로 풀어본 다음, 아래 풀이와 맞춰보세요. 좌표평면을 직접 그려서 점을 찍어보면 훨씬 잘 보여요.

문제 1. 점 $\mathrm{A}(4,\ 1)$ 은 원점에서 어느 쪽으로 몇 칸 간 점일까요? 문제 2. 점 $\mathrm{B}(-3,\ 5)$ 는 제몇사분면에 있을까요? 문제 3. 점 $\mathrm{C}(2,\ -6)$ 은 제몇사분면에 있을까요? 문제 4. 점 $\mathrm{D}(0,\ -4)$ 는 제몇사분면에 있을까요? 문제 5. 점 $(5,\ -2)$ 를 x축에 대칭이동한 점의 좌표를 구하세요. 문제 6. 점 $(-1,\ 7)$ 을 y축에 대칭이동한 점의 좌표를 구하세요. 문제 7. 점 $(4,\ -3)$ 을 원점에 대칭이동한 점의 좌표를 구하세요. 문제 8. (도전!) 순서쌍이 $(a - 1,\ 5) = (3,\ b + 2)$ 로 같을 때, $a$ 와 $b$ 를 구하세요.

풀이 1) 점 $\mathrm{A}(4,\ 1)$

점 $\mathrm{A}(4,\ 1)$ 에서

x좌표 $4$ (양수) : 원점에서 오른쪽으로 4칸
y좌표 $1$ (양수) : 거기서 위로 1칸

정답: 오른쪽으로 4칸, 위로 1칸 간 점.

풀이 2) 점 $\mathrm{B}(-3,\ 5)$ 는 제몇사분면?

점 $\mathrm{B}(-3,\ 5)$ 에서 x좌표 $-3$ → 음수 $(-)$ , y좌표 $5$ → 양수 $(+)$ . 부호 짝 $(-,\ +)$ → 제2사분면.

정답: 제2사분면

풀이 3) 점 $\mathrm{C}(2,\ -6)$ 은 제몇사분면?

점 $\mathrm{C}(2,\ -6)$ 에서 x좌표 $2$ → 양수 $(+)$ , y좌표 $-6$ → 음수 $(-)$ . 부호 짝 $(+,\ -)$ → 제4사분면.

정답: 제4사분면

풀이 4) 점 $\mathrm{D}(0,\ -4)$ 는 제몇사분면?

점 $\mathrm{D}(0,\ -4)$ 에서 x좌표가 0이다! → 이 점은 y축 위에 있는 점. 축 위의 점은 어느 사분면에도 속하지 않는다.

정답: 사분면에 속하지 않음 (y축 위의 점)

풀이 5) $(5,\ -2)$ 를 x축에 대칭

x축 대칭 규칙은 $(a,\ b) \rightarrow (a,\ -b)$ [x는 그대로, y만 부호 바꿈].

$(5,\ -2)\ \rightarrow\ (5,\ -(-2)) = (5,\ 2)$

정답: $(5,\ 2)$ 확인: 원래 y좌표 $-2$ 의 부호만 $+$ 로 바뀜, x좌표 $5$ 는 그대로.

풀이 6) $(-1,\ 7)$ 을 y축에 대칭

y축 대칭 규칙은 $(a,\ b) \rightarrow (-a,\ b)$ [y는 그대로, x만 부호 바꿈].

$(-1,\ 7)\ \rightarrow\ (-(-1),\ 7) = (1,\ 7)$

정답: $(1,\ 7)$ 확인: 원래 x좌표 $-1$ 의 부호만 $+$ 로 바뀜, y좌표 $7$ 은 그대로.

풀이 7) $(4,\ -3)$ 을 원점에 대칭

원점 대칭 규칙은 $(a,\ b) \rightarrow (-a,\ -b)$ [x, y 둘 다 부호 바꿈].

$(4,\ -3)\ \rightarrow\ (-4,\ -(-3)) = (-4,\ 3)$

정답: $(-4,\ 3)$ 확인: x좌표 $4 \rightarrow -4$ , y좌표 $-3 \rightarrow 3$ , 둘 다 부호가 바뀜.

풀이 8) $(a - 1,\ 5) = (3,\ b + 2)$ (도전 문제)

두 순서쌍이 같으려면, 첫 번째끼리 같고 두 번째끼리도 같아야 한다.

첫 번째 수는 $a - 1 = 3$ ( $-1$ 이항):

\begin{aligned} a - 1 &= 3 \\ a &= 3 + 1 \\ a &= 4 \end{aligned}

두 번째 수는 $5 = b + 2$ ( $+2$ 이항):

\begin{aligned} 5 &= b + 2 \\ 5 - 2 &= b \\ b &= 3 \end{aligned}

정답: $a = 4$ , $b = 3$ 검산: $(a - 1,\ 5) = (4 - 1,\ 5) = (3,\ 5)$ , $(3,\ b + 2) = (3,\ 3 + 2) = (3,\ 5)$ → $(3,\ 5) = (3,\ 5)$

틀린 게 있어도 괜찮아요. 풀이를 다시 보면서 어디서 부호가 갈렸는지 짚어보면 그게 바로 실력이 느는 순간이에요. 특히 4번(축 위의 점)과 대칭이동 부호를 한 번 더 확인해 두세요.

쉬어가기

좌표평면을 만든 사람, 데카르트

좌표평면은 약 400년 전, 프랑스의 수학자이자 철학자인 르네 데카르트가 생각해 냈어요. 재미있는 이야기가 전해져요. 어느 날 데카르트가 침대에 누워 천장을 바라보는데, 천장 구석에 파리 한 마리가 기어다니고 있었대요. “저 파리의 위치를 어떻게 하면 정확하게 말할 수 있을까?” 하고 고민하다가, 천장의 가로·세로 거리 두 개로 위치를 콕 집을 수 있다는 걸 깨달았다고 해요. 바로 그게 좌표의 아이디어예요.

그래서 좌표평면을 데카르트의 이름을 따서 “데카르트 좌표계”라고도 불러요. 모르는 수를 글자로 쓸 때 보통 x를 쓰는 것도 데카르트가 퍼뜨린 약속이래요.

사실 우리는 이미 일상에서 좌표를 쓰고 있어요. 지도 앱에서 위치를 찍을 때 쓰는 위도·경도도 가로·세로 두 수로 위치를 나타내는 좌표고요, 체스판이나 바둑판의 칸 이름, 게임 속 캐릭터의 위치도 전부 같은 원리예요. 가로 하나, 세로 하나, 이 두 수의 짝 하나면 넓은 평면 위 어디든 정확히 가리킬 수 있어요. 단순하지만 강력한 발명이죠.

다음 글에서는 이 좌표평면 위에 함수의 그래프를 그려볼 거예요. 점 하나하나가 모여서 선이 되는 모습을 보게 되는데, 오늘 배운 좌표 읽기와 점 찍기가 손에 익으면 그래프로 넘어가기가 한결 수월해요.

중학 함수 ② 좌표평면 — 순서쌍·사분면·대칭이동